福建省莆田第五中学2022-2023学年高一年级上册期末考试数学试题

莆田丑中2022-2023学年上学期高一期末考卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题6分，共计40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.己知/={-1,0,1,3,5},8={x|2x-3V0},=()

A.{0,1}B.{-1,1,3}C.{-1,0,1}D.{3,5}

2.函数/")=：-嗓2%的零点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+oo)

3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔

裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数

的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标八人中抽象出一个图象如图，其对

应的函数可能是()

A."'"EHB。⑺谄

c.D.

4.已知a=0.32,6=203,c=bgoJ?,贝lj()

A.b<c<a

B.h<a<c

C.c<a<b

D.a<b<c

5.若sin(.+a)=；,贝!|sin(^-a)-cos(/+a)=(

)

A.0B.1C.1+2近D.且

333

6.己知函数/(x)=a-+l(“>0且的图象恒过定点A,若点A的坐标满足关于x,y

试卷第1页，共4页

23

的方程njx+〃y=4(加>0,”>0),则一+一的最小值为()

tnn

A.4B.6C.12D.24

7.已知函数/(%)=-lg(3-6)(4工1)在区间(0,4］上是增函数,则实数。的取值范围为()

A.(0高B.(0,5C.(0,1)D.(1,+<»)

8.已知定义在R上的奇函数“X)满足/(2-x)=/(x),当0<x41时，/(x)=2,,则

/(l+log22022)=()

101110241011-1024

A.-----B.-----C.----D.----

1024101110241011

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错0

分.

9.在平面直角坐标系xQy中，角a以3为始边，终边经过点尸(-1,〃?)(〃?>0),则下列各式

的值一定为负的是()

A.sina+cosaB.sina-cosa

.sina

C.sin«cosaD.----

tana

10.已知命题P：VxeR,x2+ax+4>0,则命题P成立的一个充分不必要条件可以是下

列选项中的()

A.aB.ae(-4,4)

C.ae[-4,4]D.ae{0}

11.已知定义域为O的函数/(x),若对任意xe。，存在正数“，都有|/(x)归”成立,

则称函数/(x)是定义域为。上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是()

、2022，/、I-------2T，/、20223

A./(x)=—―B.y(x)=V2022-xC./(x)=-r-^D./(JC)=2022X-1

12.关于函数/(x)=EM二］的性质的描述，正确的是(

)

A.〃x)的定义域为(T,0)U(0,DB./(X)有一个零点

C./(x)的图像关于原点对称D./(X)的值域为(-8,0)

试卷第2页，共4页

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.已知偶函数/.(X)在区间[0,+功单调递增，则满足的x取值范围是

14.己知函数/(x)=3sin((ar-wJ®>0)和g(x)=3cos(2x+s)的图象完全相同，若

xe0,y,则/(x)的取值范围是.

15.已知函数=<''一1g(x)=/O)+x+a.若g(x)存在2个零点，则。的取值范围

inx,x>

是__________

X2+4

>2

16.已知函数/(x)=(x，若对任意的占e[2,+8),都存在唯一的电«口,2),

<2

满足/(超)=/(%)，则实数〃的取值范围是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.化简求值：

2

-I_______

5-(73-7t)0+0.0645+V(-2)4；

(1)O.252XO.5-4-|

8

(2)logr9+：lg25+lg2-k>g,9xlog8+如”+Infe.

18.己知角a的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点尸(1,-加-1),且

亚

cosa=——

5

⑴求实数机的值;

sin(3乃+a)tan

(2)若m>0,求-------------的值.

cos(a-乃)cos1]+a

19.设函数/(x)=sin(2x+e)(-兀<9<0),夕=/(x)图象的一个对称中心是(弓,0).

O

(1)求。；

(2)求函数y=/(x)的单调增区间.

试卷第3页，共4页

20.每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟

1Y

的飞行速度可以表示为函数丫=5183而-电/，单位是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗

氧量的单位数，常数X。表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(结果保留到整数位.参考数

据：1g5M.70,3|4=4.66)

(1)若x尸5,候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.

(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min,雌鸟的飞行速度为0.8km/min,那么此时雄鸟每分钟

的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.

21.己知函数/(x)=e*+e-'.

(1)当xe[0,+8)时,试判断/(x)单调性并加以证明.

⑵若存在In2,In3],使得/(2x)-W(x)+320成立，求实数机的取值范围.

(提示：户+°-2*=(优+(其中且4/1))

22.已知函数/(x)=x+log9(9，+l).

⑴若/'(x)-(2x+a)>0对于任意x恒成立，求。的取值范围；

(2)若函数g(x)=9«)T+2m3，+l,xe[0,log98],是否存在实数相，使得g(x)的最小值为

0?若存在，求出加的值，若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.D

【分析】

求出集合8,然后求出“c4B即可

【详解】

3

因为2x-3<0nx<一

2

所以”={X|XN|}

所以NnQB={3,5}

故选：D.

2.C

【分析】

先判断出函数的单调性，然后得出/（3）,/（4）的函数符号，从而得出答案

【详解】

由y=9在（0,+8）上单调递减，y=log2》在（0,+<»）上单调递增，

x

所以函数/（X）=g-10g2X在（0,+8）上单调递减，

431

又/（3）=2—log23=log2§>OJ0）=厂1/24=—二0,

所以由零点存在定理可得函数在（3,4）之间存在零点，

故选：C

3.B

【分析】

由图象知函数的定义域排除选项选项A、D,再根据/（0）=-1不成立排除选项C,即可得正

确选项.

【详解】

由图知“X）的定义域为{x|x#±l},排除选项A、D,

又因为当x=0时，/（O）=T，不符合图象/（0）=1,所以排除选项C,

故选：B.

答案第1页，共12页

4.D

【分析】

根据指数函数的单调性求出l<b<2,又c>2进而可得结果.

【详解】

根据指数函数的单调性知a=0.32<0.3°=1,即o<a<l；

2°<6=2°3<2l即l<b<2；

根据对数函数的单调性知c=logo生>log02=2,故c>2,

所以4cbec.

故选：D

5.B

【分析】

利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.

【详解】

..th+人兀r,.157t(7T।2兀7t7t7t

依题恩，令一+a=f,贝!Jsinf=-,------a=it-\—+a\=n-t,—+a=—+—+«■=—+f,

636^6)3262

所以sin(V-a)-cos+a)=sin(兀一r)-co[/j=sin/+sin，=2sinZ=.

故选：B.

6.B

【分析】

根据函数〃x)="'3+l的图象横过定点A得到/3,2),然后代入方程得到3机+2〃=4,最后

利用基本不等式求最值即可.

【详解】

函数/(x)=a-+l的图象横过定点A,所以留3,2),将点A代入方程可得35+2〃=4,所以

2+立[马+1(3)=46+6+乜也它/2+2口呵=6,

mn4\mn)41mnJ4yn)

当且仅4/?当9/H竺即2机"=1时等号成立.

mn3

故选：B.

7.A

【分析】

答案第2页，共12页

由xe(0,4］时,3-or>0恒成立，可得c=设，=3-ax,只需函数r=3-ox是减

函数即可得结果.

【详解】

因为xe(O,4］时,3-办>0恒成立，

所以I：'>

［3-4a>04

设,=3-ax,

因为函数y=igt是增函数，所以要使〃x)在(0,4］上是增函数，

则需函数，=3-奴是减函数，可得〃>0,

3

所以

4

实数0的取值范围为(0,；).

故选:A.

8.B

【分析】

推导出函数/(力是周期函数，且周期为4,利用对数的运算性质结合函数的周期性可求得

/(1+1呜2022)的值.

【详解】

因为2M=1024<2022<2"=2048,所以，11<l+log22022<12,且0<11-k)g22022<1,

由题意可得〃x)=/(2-x)=-/(x-2),所以，/(x+4)=_〃x+2)=/(x),

故函数/(x)为周期函数，且周期为4,

2022

所以,/(1+log22022)=/(log22022-ll)=-/(H-log22022)=-2"-^

2"1024

2022101T

故选：B.

9.CD

【分析】

答案第3页，共12页

首先确定a在第二象限，得到sina>0,cosa<O,tana<0,即得解.

【详解】

解：因为角a终边经过点P(-L加)(机>0),所以a在第二象限，

所以sina>0,cosa<0,tana<0,

如果a=]/r,所以sina+cosa=E-L>。，所以选项A不满足题意；

322

sina

sina-cosa>0；sinacosa<0；------<0,故CD正确.

tana

故选：CD

10.AD

【分析】

根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.

【详解】

若命题P：TxeR,x2+ax+4>0成立，则△=/-16<0,解得一4<a<4,

故命题P成立的充分不必要条件是。属于(-4,4)的真子集，因此选项AD符合要求，故AD

正确.

故选：AD.

11.BC

【分析】

由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是

“有界函数”，每个选项依次判断即可.

【详解】

选项A：显然"0,7(x)H0,对任意xe{#H0},不存在正数使得故

/(力=一詈不是“有界函数，，：

选项B：显然-而正4x4正砺，04/(x)4j55万，所以对任意xe[一②五，廊T|,

存在正数A/,都有成立，故/")=J2022-M是“有界函数”:

选项C：显然xe/?,0</(x)41011,所以对任意xeR,存在正数M,都有|/(力伯河成

立，故〃》)=7资0??!是“有界函数”；

选项D：显然xeR,f(x)wR,所以对任意xeK,不存在正数M,使得|/(x)|4加，故

答案第4页，共12页

/(x)=2022X3-]不是“有界函数”.

故选：BC

12.AC

【分析】

对于A：由卜一卜1：°'得出定义域；对于B：由/(力=0,便可求出零点；对于C：先化

[1—厂>0,

简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断：对于D：由奇偶性以及对数函数的单调性求值

域.

【详解】

|xlog,(l-x2)|[|x-l|-1^0,

对于A：由题意可知，函数/(刈=一^—^有意义，则满足।n

解得,且XKO,即函数的定义域为(TO)U(0,1),所以选项A正确;

对于B：因为〃x)的定义域为(T0)U(0,l),所以/(X)」"：驾二x)1

=卜噫(1-)|,由/(x)=o得log?。—/)：。，解得x=o(舍)，

-X

即/(X)没有零点，所以选项B不正确；

对于C：由上可知"X)='四式J'Y,则满足/(-x)=~f(x),

—X

所以函数/(X)为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C正确：

对于D：当xe(O,l)时，1—所以/(x)=)bg2(l二厂”

-X

2

=log2(l-x)e(-oo,0),又由函数〃x)为奇函数，可得〃x)的值域为(-8,0)。(0,+8),所

以选项D不正确.

故选：AC

【解析】

答案第5页，共12页

利用偶函数可得图象关于y轴对称，结合单调性把转化为|2x-U<g求解.

【详解】

••・/（X）是偶函数，=

...不等式等价为/（|2x-1|）</

••・/（X）在区间[0,+8）单调递增，

112

.-.|2x-l|<-,解得

I2

故答案为：

33

【点睛】

本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不

等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.

「35

14.--,3

_2_

【分析】

利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出再利用正弦函数的图象即可求出值域.

【详解】

解：因为./"（xhSsinltyx-e）=3cos[*|-[ex-=3cos,

所以0=2,则〃x）=3sin（2x-W.

IT

因为0,—,

”t、i7i」入7t57r

所以一^4—，

666

所以-；4sin12x-高41,

所以-14〃x）V3.

'3'

故答案为：-于3.

15.卜1,+8）

【分析】

由g（x）有两个零点，得^=/（》）与卜=1-。的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出a

答案第6页，共12页

的取值范围.

【详解】

解：画出函数“X)的图像，y=，在夕轴右侧的去掉，再画出直线>=-x,之后上下移动，

可以发现当直线过点/时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以

保证直线与函数的图像有两个交点，即方程/(x)=-x-a有两个解，

也就是函数g(x)有两个零点，此时满足-aWl,即

2

I♦/

-4~^3-2^161234

HI甲-2Y

故答案为：卜1,田).

【点睛】

本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解,

属于基础题型.

16.0<a<4

【分析】

由题意可得函数/(x)在[2,+oo)时的值域包含于函数/(x)在(-co,2)时的值域，利用

基本不等式先求出函数/(x)在xd[2,+oo)时的值域，当xd(-00,2)时，对〃分情况

讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出“的取值范围.

【详解】

解：设函数g(x)=£¥，xN2的值域为A,函数分(》)=2卜4,x<2的值域为8,

因为对任意的王e[2,+8),都存在唯一的ze(-8,2),满足/(%)=/(占)，

则力右8,且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.

当X|W[2,+8)时，g(x)=x+4=x+M

XX

答案第7页，共12页

因为工+&22、%m=4,当且仅当x=±,即x=2时，等号成立,

X\XX

所以1=[4,”)，

当々€(-8,2)时，MX)=2，T,

X<2

①当心2时，〃卜)=2"、x<2,此时B

2所2V4，解得2<67<4,

②当"2时，比"。*…’

此时〃(x)在上是减函数，取值范围是(1,+8),

“(X)在团2)上是增函数，取值范围是口,22-"),

22-fl<4.解得04a<2,

综合得04a<4.

故答案为：04"4

【点睛】

关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关

系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.

73

17.(1)—；

18

(2)4.

【分析】

(1)根据指数塞的运算法则计算可得；

(2)根据对数的运算法则及换底公式计算可得;

【详解】

⑴0.252XO.y4--(73-7T)0+0.064M(3)4

73

=1----1+—+2

9278

答案第8页，共12页

(2)log^9+-^-1g25+1g2-log9xlog8+^23T+lns/~e

i2脸31

2222

=log3+—lg5+lg2-log：3xlog------1-Ine

32L222

31

=41og33+lg5+lg2-Iog23x31og32+-+-

,31

=4+lg(5x2)-log23x3log32+-+-

=4+1—3+2=4.

18.(1)m=1或加=-3

⑵当

【分析】

(1)利用三角函数的定义可求加的值.

(2)利用诱导公式可求三角函数式的值.

【详解】

(1)由题意可得工=1/=一掰一1,〃=+(加+1＞，

V51

所以cosa=-^-=-^=整理得(加+1)2=4,

解得加=1或〃7=-3.

(2)因为加＞0,所以由(1)可得加=1,

所以cosa=^-,s\na=-^^~,

55

71cosa

sin(3〃+a)tan——a-sina-----

21

所以-------------_______sina

71-cosaina)sina2

COS(a-;r)cos|三+a

2

IT7T3兀

19.(1)--；(2)单调增区间为：k7t--,k7t+—,kez.

4L88_

【分析】

(I)将代入解析式，再根据-兀＜0＜0,即可求得；

(2)由(1)得到y=sin(2x-』，令弧-宜2x-=42桁+;，keZ,解出x写成区间

V4J242

形式即可.

【详解】

答案第9页，共12页

(1)因为是函数y=/(x)的图象的对称中心,

[7t]7TTT

所以sin2x—+夕=0,则—+*=kit(keZ),所以0=%兀——(keZ)

\8J44

TT

所以一兀<夕<0,则9=__，

4

(2)由(1)y=sin(2x-：TTTTTT

令2kn--<2x-—<2kn+—,kwZ,

即：kit—-------,k£Z,

88

所以函数y=sin(2x-：J的单调增区间为:.7t.3n

kit------,kitH---(AeZ).

88

20.(1)466个单位

(2)3倍

【分析】

(1)将%=5,〃=0代入函数解析式，求出工的值即可答案；(2)设出雄鸟每分钟的耗氧

量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到±=3,得到答案.

【详解】

|Y1y

(1)将x°=5,v=0代入函数丫=5嗟3荷-1g%,得：2108,100-185=0；

因为反5。0.70,所以噬3志=21g5g1.40,所以志=3"°々4.66,所以x=466.

答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.

(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为为，雌鸟每分钟耗氧量为巧，由题意可得:

1

1.3=—log,-^—-lgx«>

23100

0.8=—log,

23100~igx。

两式相减可得：/驷仁，所以啕/，即:3,

答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.

21.⑴见解析

109

(2)mw—00,--------

30

【分析】

答案第10页，共12页

(1)由定义结合指数的运算求解即可；

(2)由/(X)的奇偶性以及单调性得出2</(X)<y,

21

f(2x)-mf(x)+3=(er+e-')-m［ex+e-x)+1,令/=/+尸，得出m+由对勾函数

的单调性得出/+1的最大值，进而得出实数m的取值范围.

t

【详解】

(1)函数/(x)=e、+e-'在［0,+8)上单调递增，证明如下：

任取玉,匕e［0,+oo),且玉<七，则

./'(X2)-〃xJ=e*+ef-e+ef)=自-&+三《=伫一营)(亲口

由占,丫2w［0,+8)得，e--e*>0，eX2+x,-1>0,即/(丫2)>/(刘).

即函数/(x)=e'+尸在［0,+8)上单调递增.

(2)/(-X)=e-'+eH-x,=e'+=,f(x),即/(x)为偶函数.

由(1)可知，函数/(x)在［-In2,0］上单调递减，在［0,ln3］上单调递增.

又/(-In2)=：</(ln3)=学，/(0)=2,所以24/(x)4；.

ZDJ

f(2x