初中数学九年级下册《锐角三角函数》教学设计2

PAGEPAGE1《锐角三角函数》教学设计一、学习目标、重点、难点学习目标：初步了解正弦、余弦、正切概念．能较正确地用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数．重点难点：正弦，余弦，正切概念．用含有几个字母的符号组sinA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切．二、知识概览图锐角三角函数锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数锐角三角函数特殊角的三角函数值同角、互为余角的三角函数关系sin2A＋cos2A同角、互为余角的三角函数关系sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA锐角三角函数值的变化情况及取值范围正弦(正切)值随角度的增大而增大锐角三角函数值的变化情况及取值范围余弦值随角度的增大而减小O＜sinα＜1，0＜cosα＜1(0°＜α＜90°)tanα＞0(0°＜α＜90°)，三、新课导引生活链接：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在°，为了使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管?这个问题可以归结为：如右图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB．根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即，可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管?四、教材精华知识点1．当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值．(1)任意画一个锐角A，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，从而得到一个Rt△ABC，如图28－1所示．Rt△ABC中的三条边每两边构成一个比，一共可以得到如下六个比例式：．(2)在锐角A的AB边上再另取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，从而得到另一个Rt△AB1C1，Rt△AB1C1中的三条边也构成如下六个比例式：，．那么由两个直角三角形所得到的对应比有怎样的关系呢?∵BC⊥AC，B1C1⊥AC1，∴BC∥B1C1，∴Rt△ABC∽Rt△AB1∴…都为定值．∵点B1在AB边上是任取的，∴前面的操作方法具有普遍性．∴当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值．知识点2．正弦和余弦的定义．由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值，∠A的邻边与斜边的比值也是一个固定的值．在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图28－2所示．(1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA，即sinA＝．(2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦．记作cosA，即cosA＝．拓展：(1)正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值．(2)正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．(3)sinA，cosA是整体符号，不能写成sin·A，cos·A．(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠ABC．(5)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA(6)三角函数还可以表示成sinα，cosβ等．探究交流：计算30°，45°，60°角的正弦、余弦值．点拨：如图28－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．由在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知BC＝AB，再由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，得AB2＝AC2＋(AB)2，即AC2＝AB2，∴AC＝AB，∴sinA＝，cosA＝即sin30°＝，cos30°＝．类似地，sin60°＝，cos60°＝．如图28－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．∴CB＝CA，由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，得AB＝BC＝AC，即．∴sinA＝，cosA＝，即sin45°＝cos45°＝．知识点3．正切的定义．由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与邻边的比值是一个固定的值，如图28－5所示．在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tanA，即tanA＝．拓展：(1)正切是一个比值，是一个没有单位的数值．(2)正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．(3)tanA是整体符号，不能写成tan·A．(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC．(5)tan2A表示(tanA)2，而不能写成tanA2(6)三角函数也可以表示成tanα等．探究交流：计算30°，45°，60°角的正切值．点拨：如图28－6所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．∴BC＝AB，AC＝AB；∴tanA＝．类似地，tanB＝．即tan30°＝，tan60°＝．如图28－7所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．∴∠A＝∠B，∴CA＝CB，∴tanA＝＝1，tanB＝＝1，即tan45°＝1．知识点4．锐角三角函数的定义．锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．(1)三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化．(2)由定义可知，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．令y＝sinA，y＝cosA，y＝tanA，则函数中自变量的取值范围均为0°＜A＜90°．函数的增减性分别为：①y＝sinA在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．②y＝cosA在自变量的取值范围内，y随A的增大而减小．③y＝tanA在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．(3)常见的特殊角的三角函数值如下表：锐角α三角函数30°45°60°sinαcosαtanα1拓展：(1)锐角的三个三角函数都是一个比值．当锐角不变时，该角的正弦、余弦、正切值也不变．(2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关．(3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sinA，cosA，tanA．知识点5．同角三角函数之间的关系．如图28－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠A＝α，则sinα＝，cosa＝，tanα＝．(1)平方关系．∵sin2α＋cos2α＝()2＋()2＝，又∵a2＋b2＝c2，∴sin2α＋cos2α＝＝1．(2)商数关系．∵，tanα＝，∴＝tanα．拓展：对公式sin2α＋cos2α＝1(α为锐角)的理解与应用要注意：sin2α代表的含义是sinα的平方(即比值的平方)，书写格式应为sin2α，而不是sinα2．知识点6．互为余角的三角函数关系．观察下列等式：sin30°=cos60°＝，sin45°＝cos45°＝．cos30°=sin60°＝，cos45°＝sin45°＝．不难发现等式有下面三个特点：(1)三角函数名称互换，即正弦变余弦，余弦变正弦；(2)角度互余；(3)三角函数值相等．上述规律可以推广到任意锐角，即sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)．用语言叙述上述规律为：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．拓展：对公式sinA＝cos(90°－A)和cosA＝sin(90°－A)的理解要注意以下两点：(1)∠A为锐角．规律方法小结：求锐角三角函数值时，应构造一个直角三角形，运用数形结合思想来解决数量问题．五、课堂检测1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosB的值为()A．B．0C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC：AC等于()A．3：4B．4：3C．3：5D．4：53．在Rt△ABC中，如果各边都缩小4倍，则锐角A的正切值()A．缩小4倍B．扩大4倍C．没有变化D．不能确定4．如图28－10所示，在Rt△OPQ中，求sinP，cosP，sinQ，cosQ的值．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．(1)求AB的长；(2)求sinA，cosA的值；(3)求sin2A＋cos2(4)比较sinA与cosB的大小；(5)比较tanA与的大小．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为()A．B．C．D．7．sin30°＋cos60°－cos45°－tan60°·tan30°＝．8．若sinα＝2m－3(α为锐角)，求m9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)和点B(0，－4)，则cos∠OAB等于()A．B．－C．0D．10．如图28－12所示，已知△ABC的两边长AC＝3，AB＝5，且第三边长BC为关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根之一，求sinA的值．11．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别是一个直角三角形两锐角的余弦值，且－n＝，求m，n的值．12．已知△ABC的三边a，b，c中，b＝5，c＝3，锐角θ的正弦值是关于x的方程5x2－15x－ax＋3a＝0的一个根，试求a13．已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x2－2xtanθ－3＝0的两个根的平方和等于10，求以tanθ，为根的一元二次方程．14．如图28－13所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝2－，求BC的长．15．如图28－14所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，sinB＝，求四边形AECD的周长．16．用几何方法求tan15°的值．17．曙光中学有一块三角形形状的花圃，现可直接测得∠A＝30°，AC＝40米，BC＝2518．阅读下面的材料，再回答问题．三角函数中有常用公式：sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，求sin(A＋B)的值．例如：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝．试用公式cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB求cos75°的值．19．(1)如图28－18所示，在△ABC中，∠B，∠C均为锐角，其对边分别为b，c，求证；(2)在△ABC中，AB＝，AC＝，∠B＝45°，则这样的△ABC有几个?请作出来(不写作法和理由)，并求出∠C的度数．参考答案课堂检测1．分析由勾股定理可知AB＝＝5，根据余弦的定义可知cosB＝，即cosB＝＝．故选B．2．分析根据题意画出图形，如图28－9所示，由正弦的定义可知sinA＝，即sinA＝＝，故可设BC＝3k，AB＝5k(k＞0)，由勾股定理可知AC＝＝＝4k，∴BC：AC＝(3k)：(4k)＝3：4．故选A．解题策略：本题中BC：AC的值实际上是∠A的正切值，即tanA，可借助图形来解决问题．3．分析锐角A的正切值是一个比值，它只与∠A的大小有关，而与△ABC的大小无关．故选C．4．分析无论直角三角形如何放置，其顶点字母如何标记，正弦值总是等于这个锐角的对边比斜边，余弦值总是等于这个锐角的邻边比斜边，本题已知直角边长，应先求斜边长．解：在Rt△OPQ中，∠O＝90°，OP＝，OQ＝2，由勾股定理，得PQ＝，∴sinP＝，cosP＝，同理，sinQ＝，cosQ＝．解题策略：此类问题考查的是三角函数的定义与特征，数形结合思想是解决此类问题时常用的思想方法．5．解：(1)∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．(2)sinA＝＝，cosA＝＝．(3)sin2A＋cos2A＝()2＋()2＝＝1(4)∵cosB＝＝，∴sinA＝cosB．(5)∵tanA＝＝，＝，∴tanA＝．解题策略解答本题的关键是正确理解锐角三角函数的概念，并找准相应的边．6．分析利用特殊角的三角函数值即可求得cosB的值．在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴cosB＝cos30°＝．故选C．解题策略任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sinA＝cos(90°－A)．任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cosA＝sin(90°－A)，同时有sin2α＋cos2α＝1(α为锐角)，tanα＝．7．分析sin30°＋cos60°－cos45°－tan60°·tan30°＝＋－－×＝1－－1＝－．故填－．解题策略解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．8．分析由α为锐角，0＜sinα＜1，知0＜2m－3＜1，由此可求得m解：∵0°＜α＜90°，∴0＜sinα＜1，即0＜2m－3＜1，∴＜m＜2．解题策略当α为锐角时，正弦值随着a的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着α的增大(或减小)而减小(或增大)．9．分析如图28－11所示，易知OA＝3，OB＝4，则AB＝＝5，此时cos∠OAB＝．故选C．解题策略本题从表面上看是三角函数与平面直角坐标系的综合应用，实际上还是在直角三角形中研究边与角的关系，注意运用转化思想来求解．10．解：设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根，由根与系数的关系可知x1＋x2＝4，x1x2＝m．又∵x是正整数，∴x1＝1，x2＝3，或x1＝x2＝2，或x1＝3，x2＝1，∴BC只能取1，2，3．根据三角形三边之间的关系可知5－3＜BC＜5＋3，即2＜BC＜8，∴BC＝3．过点C作CD⊥AB，垂足为D，∴AC＝BC＝3，AD＝AB＝×5＝2.5．在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CA＝3，AD＝2.5，∴CD＝，∴sinA＝．解题策略解题的关键是先根据根与系数的关系求出BC的值，再构造直角三角形求出sinA的值．11．分析利用两锐角的余弦值、根与系数的关系组成方程组，求得m，n的值，再检验m，n是否符号题意．解：设方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别为cosα，cosβ(α＋β＝90°)，由根与系数的关系得∵α＋β＝90°，∴cosβ＝sinα，∴将①两边同时平方，得1＋2sinαcosα＝m2，③把②代入③，得1＋2·n＝m2，∴m2－2n－1＝0．④又∵－n＝，即m＋5n－1＝0，⑤∴解得或当m1＝1，n1＝0时，sinα＋cosα＝－m＝－1＜0，应舍去，即解题策略此题综合运用根与系数的关系以及锐角的三角函数值来求解．12．分析对于a，实际上有两个限制条件：(1)a是△ABC的一边，则5－3＜a＜5＋3，即2＜a＜8；(2)由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0，因为sinθ是该方程的根，所以必有5sinθ－a＝0，即a＝5sinθ，再由sinθ来确定a解：由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0∴x1＝3，x2＝．∵sinθ是该方程的根，且0＜sinθ＜1(θ是锐角)，∴＝sinθ，即a＝5sinθ，∴0＜a＜5．①又∵a是△ABC的一边，∴b－c＜a＜b＋c，即5－3＜a＜5＋3，∴2＜a＜8，②由①②得a的取值范围是2＜a＜5．解题策略此题综合运用了锐角正弦值的取值范围以及三角形的三边关系，这些都是确定不等关系的依据．13．分析构造一元二次方程的关键是求tanθ＋和tanθ·的值，故应由已知条件求出θ的度数．解：设x1，x2是方程x2－2xtanθ－3＝0的两个根．由根与系数的关系可知x1＋x2＝2tanθ，x1x2＝－3．∵x12＋x22＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，即(2tanθ)2－2×(－3)＝10，∴4tan2θ＝4，tanθ＝±1．又∵0°＜θ＜90°，∴tanθ＝－1不符合题意，舍去，∴tanθ＝1，θ＝45°，∴＝＝＝，∴tanθ＋＝1＋，tanθ·＝1×＝，∴以tanθ，为根的一元二次方程是x2－(1＋)x＋＝0．解题策略此类题是锐角三角函数与一元二次方程的有关知识相结合的题目，主要考查综合运用知识的能力．14．分析BC不在直角三角形中，故应作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作AD⊥BC，垂足为D，此时分BC的两条线段CD，BD可分别在Rt△ACD和Rt△ADB中求得．解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ACD中，sinC＝，∠C＝45°，∴AD＝AC·sinC＝AC·sin45°＝AC．①在Rt△ADB中，sinB＝，∠B＝30°，∴＝sin30°，∴AD＝AB·sin30°＝AB．②由①②可知AC＝AB，∴AB＝AC③又∵AB－AC＝2－，∴AC－AC＝2－，∴AC＝．∵cosC＝，∴CD＝AC·cosC＝·cos45°＝×＝1．∵cosB＝，∴BD＝AC·cosB＝×·cos30°＝2×＝．∴BC=CD＋DB=1＋．解题策略对于非直角三角形，常通过添加辅助线构造直角三角形来求解．15．分析要求四边形的周长，就要知道各边长，利用勾股定理及三角函数值可求得各边长．解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．在Rt△ABE中，sinB＝，设AE＝5x，则AB＝13x，由勾股定理得BE＝12x，∵EC＝1，∴BC－BE＝1，即AB－BE＝1，∴13x－12x＝1，x＝1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝13，AE＝5，EC＝1，∴四边形AECD的周长为AE＋EC＋CD＋DA＝5＋1＋13＋13＝32．解题策略解此类问题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个三角形中，然后根据图形并结合已知条件选择合适的方法来求解．16．分析同求30°，45°，60°角的三角函数值一样，要把15°角放在一个直角三角形中，如图28－15所示，考虑到15°＝×30°，所以可以通过构造∠BDC＝30°，从而表示出各边长．解：作如图28－15所示的直角三角形，使∠C＝90°，∠A＝15°，在AC上取一点D，使∠BDC＝30°，∵∠BDC＝∠A＋∠DBA，∴∠DBA＝15°，∴DA＝DB．设BC＝x，则BD＝DA