中考数学一模试卷 (三)（解析版）

中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1.-3的绝对值是（）

A.—B.——C.-3D.3

33

2.3月9日，谷歌人工智能ALPHAGO在与韩国棋手李世石的人机大战中获胜,

震惊世界，据资料记载，人工智能ALPHAGO的计算能力达到每秒275万亿次，

将275万亿用科学记数法表示为（）

A.275X1012B.2.75X1012C.2.75X1013D.2.75X1014

3.如图所示，该几何体的俯视图是（）

D.

A.(a2)3=a6B.a2+a2=a4C.(3a)•(2a)2=6aD.3a-a=3

5.如图，已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,

则下列选项正确的是（）

6.如图，直线l_Lx轴于点P,且与反比例函数yi=4-（x>0）及丫2=殳（x>0）

的图象分别交于点A,B,连接。A,0B,已知AOAB的面积为2,则％-IQ的值

为（）

7.已知二次函数y=（x-h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1WXW3的

情况下，与其对应的函数y的最小值为5,则h的值是（）

A.-1B.-1或5C.5D.-5

8.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科

技创新大赛，各组的平时成绩的平均数彳（单位：分）及方差S2如表所示：

甲乙丙丁

X7887

S211.211.8

如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

9.从-3,-1,1,3这五个数中，随机抽取一个数，记为a,若数a使关于x

的不等式组5（2x+7）>3无解，且使关于*的分式方程吟芈=-1有整数解,

lx-a<0x-33-x

那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）

9I

A.-2B.-3C.-4D.4

32

10.如图在坐标系中放置一菱形OABC,已知NABC=60°,点B在y轴上，OA=1,

先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60。，连续翻转次，点B

的落点依次为则的坐标为（）

Bi,B2,B3,B

区)C.(1345,亨)D.(1345.5,0)

A.(1345,0)B.(1345.5,

2

二、填空题

计算：）（）

11.G2+-0=.

12.在一个不透明的盒子中装有16个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，

其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率玄，则黄球的个数为一.

13.若关于x的一元二次方程（a-l）x2-x+l=0有实数根，则a的取值范围为一.

14.如图矩形ABCD中，AD=1,CD盗，连接AC,将线段AC、AB分别绕点A

顺时针旋转90。至AE、AF,线段AE与弧BF交于点G,连接CG,则图中阴影部

15.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点，点

E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折4DBE使点B落在点

F处，连接AF,则线段AF的长取最小值时，BF的长为.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

—a2-2a+l

（分）先化简），然后从的范围内选取一

16.8（ia+2a2_4-2WaW2

个合适的整数作为a的值代入求值.

17.（9分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文

化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写"大赛，赛后发现所

有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，

随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行

整理，得到下列不完整的统计图表：

成绩X/分频数频率

50GV60100.05

60WXV70300.15

70WXV8040n

804V90m0.35

900W100500.25

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）m=,n=；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）这次比赛成绩的中位数会落在—分数段；

（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为"优"等，则该校参加这次比赛的3000

名学生中成绩"优”等约有多少人？

18.（9分）如图，在RgABC中，ZACB=90",以AC为直径的。。，与斜边AB

交于点D、E为BC边的中点，连接DE.

（1）求证：DE是。0的切线；

（2）填空：①若NB=30。，AC=/3,则DE=；

②当NB=。时，以0,D,E,C为顶点的四边形是正方形.

19.（9分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,

C两点的俯角分别为45。，35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为

100m,请求出热气球离地面的高度.（结果保留整数）

757

（参考数据：sin35°y7,cos35°^,tan35。元）

20.（9分）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A,B两种树苗对某路

段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若

购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元.

（1）求购买A,B两种树苗每棵各需多少元？

（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这

两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购

买方案？

（3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B

种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪

一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？

21.（10分）阅读下面材料：

如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线yi=ax+b与双曲线丫2手交于A（1,3）

和B（-3-1）两点.

观察图象可知：

①当x=-3或1时,yi=y2；

②当-3VxV0或x>l时,yi>y2,即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b

—的解集.

有这样一个问题：求不等式x3+4x2-x-4>0的解集.

某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2-x-4>0的解集进行了探

下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整:

（1）将不等式按条件进行转化：

当x=0时，原不等式不成立；

4

当x>0时，原不等式可以转化为x2+4x-lf；

4

当xVO时，原不等式可以转化为X2+4X-17；

（2）构造函数，画出图象

4

设y3=x2+4x-1,yq,在同一坐标系中分别ffll出这两个函数的图象.

4

2

双曲线yq如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x+4x-1；（不用列表）

（3）确定两个函数图象公共点的横坐标

观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足丫3=丫4的

所有x的值为；

（4）借助图象，写出解集

结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2-x-4>0的解

集为-.

22.（10分）（1）【问题发现】

如图1,在氐△ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,点D为BC的中点，以CD为一

边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为

（2）【拓展研究】

在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE,CE,AF,线段BE

与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题发现】

23.（11分）如图，直线y=-x-4与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点，其

中A,B两点的横坐标分别为-1和-4,且抛物线过原点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点C,使aABC为等腰三角形？若存在，求出点C的

坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点P是线段AB上不与A,B重合的动点，过点P作PE〃OA,与抛物线

第三象限的部分交于一点过点作轴于点交于点若

E,EEG±xG,ABF,SABGE=3S

河南省濮阳市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.-3的绝对值是（）

11

AyB.yC.-3D.3

【考点】绝对值.

【分析】根据绝对值的性质解答即可.

【解答】解：-3的绝对值等3.

故选：D.

【点评】此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝

对值是它的相反数；0的绝对值是0.

2.3月9日，谷歌人工智能ALPHAG。在与韩国棋手李世石的人机大战中获胜,

震惊世界，据资料记载，人工智能ALPHAG。的计算能力达到每秒275万亿次，

将275万亿用科学记数法表示为（）

A.275X1012B.2.75X1012C.2.75X1013D.2.75X1014

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中1W⑸V10,n为整数.确

定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点

移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n

是负数.

【解答】解：275万亿=27500000000000=2.75X1014,

故选D.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10n的

形式，其中lW|a|V10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.如图所示，该几何体的俯视图是（)

cD

【考点】简单组合体的三视图.

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图.

【解答】解：从上面看是三个矩形，符合题意的是C,

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

4.下列计算正确的是()

A.(a2)3=a6B.a2+a2=a4C.(3a)•(2a)2=6aD.3a-a=3

【考点】暴的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数暴的乘法.

【分析】根据同底数事的乘法的性质，幕的乘方的性质，积的乘方的性质，合并

同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、(a2)3=a2X3=a6,故本选项正确；

B、应为a2+a2=2a2,故本选项错误；

C、应为(3a)•(2a)2=(3a)•(4a2)=12a12=12a3,故本选项错误；

D^应为3a-a=2a,故本选项错误.

故选A.

【点评】本题考查了合并同类项，同底数暴的乘法，慕的乘方，积的乘方，理清

指数的变化是解题的关键.

5.如图，已知△ABC,ABVBC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,

则下列选项正确的是()

C

D

BPC

【考点】作图一复杂作图.

【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB,根据线段垂直平分线定理的逆

定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确.

【解答】解：；PB+PC=BC,

而PA+PC=BC,

，PA=PB,

...点P在AB的垂直平分线上，

即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.

故选D.

【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本

几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操

作.

klk2

6.如图，直线l_Lx轴于点P,且与反比例函数yi二（x〉0）及y2f（x>0）

的图象分别交于点A,B,连接OA,0B,已知aOAB的面积为2,则k1-1<2的值

D.-4

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

ki

【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：AAOP的面积T,ABOP的面

k2k।k2

积一T"，由题意可知AAOB的面积一一r.

kl

【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：^AOP的面积，ABOP

k2

的面积一如，

M_卜2

...△AOB的面积花一一r，

M_k2

~2T=2,

••ki-k2=4，

故选(C)

【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意

义，本题属于中等题型，

7.已知二次函数y=(x-h)2+i(h为常数)，在自变量x的值满足1WXW3的

情况下，与其对应的函数y的最小值为5,则h的值是()

A.-1B.-1或5c.5D.-5

【考点】二次函数的最值.

【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x>h时，y随x的增大而

增大、当xVh时，y随x的增大而减小，根据1WXW3时，函数的最小值为5

可分如下两种情况：①若hV14W3,x=l时，y取得最小值5；②若14W3

<h,当x=3时，y取得最小值5,分别列出关于h的方程求解即可.

【解答】解：•••当x>h时，y随x的增大而增大，当xVh时，y随x的增大而

减小，

二①若hV14W3,x=l时，y取得最小值5,

可得:(1-h)2+1=5,

解得：h=-1或h=3(舍)；

②若lWxW3Vh,当x=3时，y取得最小值5,

可得:（3-h）2+1=5,

解得：h=5或h=l（舍）.

综上，h的值为-1或5,

故选:B.

【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类

讨论是解题的关键.

8.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科

技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2如表所示：

甲乙丙T

X7887

S211.211.8

如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【考点】方差；算术平均数.

【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态

稳定，于是可决定选丙组去参赛.

【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，

而丙组的方差比乙组的小，

所以丙组的成绩比较稳定，

所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组.

故选C.

【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均

数，叫做这组数据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，

则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越

小，稳定性越好.也考查了平均数的意义.

9.从-3,-1,1,3这五个数中，随机抽取一个数，记为a,若数a使关于x

的不等式3''产无解，且使关于x的分式方43-x=-1有整数解,

x-a<CO

那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是()

21

A.-2B.-3Dy

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组.

【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，由不等式组无解确定出a的值，代

入分式方程判断，求出满足条件a的值，求出之和即可.

(x)l

【解答】解：不等式组整理得jxCa,

由不等式组无解，得到aWl,即a=-3,-1,1,

当a=-3时，分式方程春=-1,

去分母得：X-5=-x+3,

解得:x=4,

经检验x=4是分式方程的解，且为整数解，满足题意；

Y3

当a=-l时，分式方程有星豆=-1，

去分母得：x-3=-x+3,

解得：x=3,

经检验x=3是增根，分式方程无解，不满足题意；

X1

当a=l时，分式方程备力=-1，

去分母得：x-1=-x+3,

解得：x=2,

经检验x=2是分式方程的解，且为整数解，满足题意，

则这5个数中所有满足条件的a的值之和为-3+1=-2,

故选A

【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，确定出a的值是

解本题的关键.

10.如图在坐标系中放置一菱形OABC,已知NABC=60。，点B在y轴上，OA=1,

先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60。，连续翻转次，点B

的落点依次为Bi，B2,B3,…，则B的坐标为（）

A.（1345,0）B.（1345.5;）C.（1345号）D.（1345.5,0）

【考点】菱形的性质；规律型：点的坐标.

【分析】连接AC,根据条件可以求出AC,画出第5次、第6次、第7次翻转后

的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4.由于=336X6+1,因此

点Bi向右平移1344（即336X4）即可到达点B,根据点Bs的坐标就可求出点B

的坐标.

【解答】解：连接AC,如图所示.

•••四边形OABC是菱形，

AOA=AB=BC=OC.

VZABC=60°,

.二△ABC是等边三角形.

JAC=AB.

/.AC=OA.

VOA=1,

AAC=1.

画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示.

由图可知：每翻转6次，图形向右平移4.

7=336X6+1,

...点B向右平移1344（EP336X4）到点B

：Bi的坐标为（L5号），

，B的坐标为（1.5+1344号）,

；.B的坐标为（1345.5孚）.

【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、

探究、发现规律的能力.发现"每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键.

二、填空题

11.计算：6)一2+(-)。=5.

【考点】实数的运算；零指数累；负整数指数累.

【分析】原式利用零指数幕、负整数指数幕法则计算即可得到结果.

【解答】解:原式=4+1=5,

故答案为：5

【点评】此题考查了实数的运算，零指数累、负整数指数累，熟练掌握运算法则

是解本题的关键.

12.在一个不透明的盒子中装有16个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，

其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率去，则黄球的个数为8.

【考点】概率公式.

X1

【分析】设黄球的个数为X个，根据概率公式得党y,然后解方程即可.

【解答】解：设黄球的个数为x个，

X1

根据题意得而■y，

解得x=8,

经检验：x=8是原分式方程的解，

故答案为8.

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结

果数除以所有可能出现的结果数.

13.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-x+l=O有实数根，则a的取值范围为

5.c,

a®且aWl.

【考点】根的判别式.

【分析】由一元二次方程(a-1)x2-x+l=0有实数根，则a-1W0,即aWl,

且△NO,即4=(-1)2-4(a-1)=5-4aN0,然后解两个不等式得到a的取

值范围.

【解答】解：•••一元二次方程(a-l)x2-x+l=O有实数根，

Aa-1W0即aWl,且△》()，即有△=(-1)2-4(a-1)=5-4a20,解得a

5..

4：，

5

，a的取值范围是且aWl.

5

故答案为：且aWl.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO,a,b,c为常数)的根的

判别式△=b2-4ac.当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两

个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.同时考查了一元二次方程的定义.

14.如图矩形ABCD中，AD=1,CDq，连接AC,将线段AC、AB分别绕点A

顺时针旋转90。至AE、AF,线段AE与弧BF交于点G,连接CG,则图中阴影部

分面积为耳噂.

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；旋转的性质.

【分析】根据勾股定理得到AC=2,由三角函数的定义得到NCAB=30。，根据旋转

的性质得到NCAE=NBAF=90。，求得NBAG=60。，然后根据图形的面积即可得到

结论.

【解答】解：在矩形ABCD中，

VAD=1,CD如,

/BCADV3

・AC=2,tanNCAB^,

ZCAB=30°,

•••线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90。至AE、AF,

/.ZCAE=ZBAF=90o,

AZBAG=60°,

VAG=AB'^,

1V360'TTX（A/3）21M

••・阴影部分面积=SMBC+S扇形ABG-SMCG2XXI标2XX2=

工返

2T，

故答案为耳噂.

【点评】本题考查了扇形的面积计算，矩形的性质，旋转的性质，正确的识别图

形是解题的关键.

15.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点，点

E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折4DBE使点B落在点

F处，连接AF,则线段AF的长取最小值时，BF的长为丝度.

5------

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【分析】由题意得：DF=DB,得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作。D；

连接AD交。D于点F,此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD=BD=3；

而AC=4,由勾股定理得到AD=5,求得线段AF长的最小值是2,连接BF,过F

作FHLBC于H,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：由题意得：DF=DB,

...点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作。D；连接AD交。D于点F,此时

AF值最小，

•点D是边BC的中点，

.,.CD=BD=3；而AC=4,

由勾股定理得：AD2=AC2+CD2

；.AD=5,而FD=3,

；.FA=5-3=2,

即线段AF长的最小值是2,

连接BF,过F作FHLBC于H,

VZACB=90",

.•.FH〃AC,

.,.△DFH^AADC,

DFDHHF

AD-CD-AC，

129

/.HF~,DHy,

24

BH—,

2+HF2乌⑥

5

M田士生12旗

故答案为亍.

【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及

其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量

关系.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

工a2-2a+l

16.先化简（ia+2）a2_4，然后从-2WaW2的范围内选取一个合适的

整数作为a的值代入求值.

【考点】分式的化简求值.

【分析】首先对括号内的分式进行通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可

化简，然后代入。或-1求解.

a+2-3（x+2）（--2）

［解答］解：原式』Q-1答

a-2

a-1.

当a=°时，原式?=2.

【点评】本题考查了分式的化简求值，正确进行通分、约分是关键，本题中要注

意a不能取-2,2以及1.

17.中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校

团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写"大赛，赛后发现所有参赛学

生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取

了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得

到下列不完整的统计图表：

成绩X/分频数频率

50WxV60100.05

60<x<70300.15

70WxV8040n

80Wx<90m0.35

90WxW100500.25

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）m=70,n=0.2；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）这次比赛成绩的中位数会落在80WXV90分数段;

（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为"优"等，则该校参加这次比赛的3000

名学生中成绩"优”等约有多少人？

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；统计量

的选择.

【分析】（1）根据第4组的频率是0.35,求得m的值，根据第3组频数是40,

求得n的值；

（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；

（3）根据总人数以及各组人数，即可得出比赛成绩的中位数；

（4）利用总数3000乘以“优"等学生的所占的频率即可得出该校参加这次比赛的

3000名学生中成绩"优"等的人数.

【解答】解：（1）由题可得，m=200X0.35=70；n=404-200=0.2；

故答案为:70,0.2；

（2）频数分布直方图如图所示,

(3)•.•前三组总数为10+30+40=80,前四组总数为10+30+40+70=150,而80V

100<150,

,比赛成绩的中位数会落在80^x<90分数段；

故答案为：80WXV90；

(4)该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：

3000X0.25=750(人).

【点评】本题考查频数(率)分布直方图，中位数的定义以及利用样本估计总体

的运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出

正确的判断和解决问题.

18.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。0,与斜边AB交于点

D、E为BC边的中点，连接DE.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)填空：①若NB=30。，AC=/3,则DE=3；

②当NB=45。时,以0,D,E,C为顶点的四边形是正方形.

【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；正方形的判定.

【分析】(1)运用垂径定理、直角三角形的性质证明NODE=90。即可解决问题；

(2)①直接利用锐角三角函数关系得出BC的长，再利用直角三角形的性质得出

DE的长；

②当NB=45。时，四边形ODEC是正方形，由等腰三角形的性质，得到NODA=N

A=45。,于是NDOC=90。然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接OD.

••.AC是直径，

/.ZADC=90o,

/.ZCDB=90°,

又TE为BC边的中点，

ADE为直角4DCB斜边的中线，

1

.*.DE=CEy.

，NDCE=NCDE,

VOC=OD,

AZOCD=ZODC,

/.ZODC+ZCDE=ZOCD+ZDCE=ZACB=90°,

.,.ZODE=90"

ADE是G)0的切线.

(2)解：@VZB=30°,AC=/3,NBCA=90°,

..,noAC273M

•-tan3°BC文三,

解得:BC=6,

1

则nlDE,BC=3；

故答案为：3；

②当NB=45。时，四边形ODEC是正方形，

VZACB=90°,

，ZA=45°,

VOA=OD,

/.ZAD0=45o,

/.ZAOD=90o,

/.ZDOC=90°,

VZODE=90°,

二四边形DECO是矩形，

VOD=OC,

，矩形DEC。是正方形.

故答案为：45.

【点评】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进

行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决

有关问题.

19.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的

俯角分别为45。，35。.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m,请

求出热气球离地面的高度.（结果保留整数）

757

（参考数据：sin35。衣，cos35o-^,tan35。元）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】作ADLBC交CB的延长线于D,设AD为X,表示出DB和DC,根据正

切的概念求出x的值即可.

【解答】解：作ADLBC交CB的延长线于D,设AD为X,

由题意得,ZABD=45°,ZACD=35°,

在RtAADB中，NABD=45°,

DB=x,

在Rt^ADC中，ZACD=35°,

AD

.♦.tanNACD而，

x7

x+100IO'

解得，233m.

9A

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角

三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形.

20.我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A,B两种树苗对某路段道路进

行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种

树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元.

（1）求购买A,B两种树苗每棵各需多少元？

（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这

两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购

买方案？

（3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B

种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪

一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？

【考点】一次函数的应用.

【分析】（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，根据总

价=单价义数量，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗100-m棵，根据总价=单价X数

量，可列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，

由此可得出结论；

（3）设种植工钱为W,根据植树的工钱=植A种树的工钱+植乙种数的工钱，列

出W关于m的函数关系式，根据一次函数的单调性即可解决最值问题.

【解答】解：（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，

,,,f8x+3y=950

由已知得小.，

[5x+6y=800

.//x=100

解得《.

ly=50

答：购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元.

(2)设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗100-m棵，

根据已知，｛ioom+5o(ioo-m)4765C'

解得：50WmW53.

故有四种购买方案：1、购买A种树苗50棵，B种树苗50棵；2、购买A种树苗

51棵，B种树苗49棵；3、购买A种树苗52棵，B种树苗48棵；4、购买A种

树苗53棵，B种树苗47棵.

(3)设种植工钱为W,由已知得：

W=30m+20(100-m)=10m+,

...当m=50时，W最小，最小值为2500元.

故购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500

元.

【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等

式组的应用，解题的关键是：(1)列出关于x、y二元一次方程组；(2)根据

数量关系列出关于m的一元一次不等式组；(3)根据数量关系找出W关于m

的函数关系式.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系

列出方程(方程组或函数关系式)是关键.

21.(10分)(•濮阳一模)阅读下面材料：

如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线yi=ax+b与双曲线丫2^交于A(1,3)

和B(-3,-1)两点.

观察图象可知：

①当x=-3或1时，yi=y2；

②当-3VxV0或x>l时，yi>y2,即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b

7的解集.

有这样一个问题：求不等式x3+4x2-x-4>0的解集.

某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2-x-4>0的解集进行了探

下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：

（1）将不等式按条件进行转化：

当x=0时，原不等式不成立；

4

当x>0时，原不等式可以转化为X2+4X-1『；

当x<0时，原不等式可以转化为x2+4x-l］；

（2）构造函数，画出图象

4

设y3=x2+4x-l,yq,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.

4

双曲线丫4：如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-l；（不用列表）

（3）确定两个函数图象公共点的横坐标

观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足丫3=丫4的

所有X的值为±1和-4；

（4）借助图象，写出解集

结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2-x-4>0的解

集为x>l或-4VXV-1.

【考点】二次函数与不等式（组）.

【分析】（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数

的图象；

（3）根据图象即可直接求解；

4

（4）根据已知不等式x?+4x2-x-4>0即当x>0时，x2+4x-1—,；当xVO

4

时，X2+4X-1；，根据图象即可直接写出答案.

【解答】解：（2）

（3）两个函数图象公共点的横坐标是土1和-4.

则满足丫3=丫4的所有X的值为±1和-4.

故答案是：±1和-4；

4

（4）不等式X?+4X2-x-4>0即当x>0时，x2+4x-1—,此时x的范围是：x

>1:

4

当xVO时，x2+4x-1-：,贝U-4VXV-L

故答案是：x>l或-4<x<-1.

【点评】本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式x3+4x2-x-4>0即当

44

x>0时，X2+4X-1—,；当xVO时，x2+4x-1—：,分成两种情况讨论是本题

的关键.

22.（10分）（•濮阳一模）（1）【问题发现】

如图1,在RtaABC中，AB=AC=2,NBAC=90。，点D为BC的中点，以CD为一

边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为BE后

AF

（2）【拓展研究】

在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE,CE,AF,线段BE

与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题发现】

【考点】四边形综合题.

【分析】⑴先利用等腰直角三角形的性质得出ADa,再得出BE=AB=2,即

可得出结论;

（2）先利用三角函数得陪小，同理得彩率，夹角相等即可得出4ACF

CDZCDZ

saBCE,进而得出结论；

（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2,先利用勾股定理求出

EF=CF=AD&，BF捉，即可得出BE加正，借助（2）得出的结论，当点E

在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论.

【解答】解：（1）在Rt^ABC中，AB=AC=2,

根据勾股定理得，BC&AB=/2,

点D为BC的中点,

AADyBC/,

•••四边形CDEF是正方形,

.•.AF=EF=AD五，

VBE=AB=2,

，BE贝AF,

故答案为BE灭AF；

（2）无变化;

如图2,在Rt/XABC中，AB=AC=2,

,ZABC=ZACB=45°,

..,CAV2

..sinNABCT^-z-,

CD2

在正方形CDEF中,ZFECyZFED=45°,

在Rt/XCEF中，sin/FEc££=零

LIL，

CF_CA

CE^CB，

VZFCE=ZACB=45°,

AZFCE-ZACE=ZACB-ZACE,

/.ZFCA=ZECB,

AAACF^ABCE,

，BE灭AF,

线段BE与AF的数量关系无变化；

(3)当点E在线段AF上时，如图2,

由(1)知，CF=EF=CDa,

在RtABCF中，CF正，BC=/2,

根据勾股定理得，BF捉,

；.BE=BF-EM料，

由(2)知，BE灭AF,

-1,

当点E在线段BF的延长线上时，如图3,

在RtZkABC中,AB=AC=2,

，ZABC=ZACB=45°,

../CAV2

・・sinNABC7^~-r-,

CD2

在正方形CDEF中，ZFECyZFED=45°,

在RtACEF中，sin/FEC/,

CF_CA

CE^CB，

VZFCE=ZACB=45",

/.ZFCB+ZACB=ZFCB+ZFCE,

/.ZFCA=ZECB,

.,.△ACF^ABCE,

BECB_

AF=CAr^，

，BE灭AF,

由（1）知，CF=EF=CD贝，

在RtABCF中，CF正,BC=/2,

根据勾股定理得，BF迷，

，BE=BF+EF提版,

由（2）知,BE爽AF,

.,.AFb+1.

即：当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候,线段AF的长存-1亚+1.

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了，等腰直角三角形的性质，正方形的

性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）（3）的关键是判断出^

AC