数理经济学 总论及第一篇

第一篇导论第1章数理经济学的实质1.1数理经济学与非数理经济学1.2数理经济学与经济计量学第2章经济模型2.1数学模型的构成2.2实数系2.3集合2.4关系与函数2.5函数的类型2.6两个或两个以上自变量的函数2.7一般性水平第二篇静态（或均衡）分析第3章经济学中的均衡分析3.1均衡的含义3.2局部市场均衡：线性模型3.3局部市场均衡：非线性模型3.4一般市场均衡3.5国民收入分析中的均衡第4章线性模型与矩阵代数矩阵与向量矩阵运算对向量运算的注释交换律、结合律、分配律单位矩阵与零矩阵矩阵的转置与逆有限马尔科夫链第5章线性模型与矩阵代数(续)矩阵非奇异性的条件用行列式检验非奇异性行列式的基本性质求逆矩阵克莱姆法则克莱姆法则在市场模型和国民收入模型中的应用里昂惕夫投入-产出模型静态分析的局限性第三篇比较静态分析第6章比较静态学与导数的概念比较静态学的性质变化率与导数，曲线的斜率极限，极限定理关于不等式和绝对值的讨论函数的连续性与可微性第7章求导法则及其在比较静态学中的应用求导法则偏微分导数在比较静态分析中的应用雅可比行列式的注释第8章一般函数模型的比较静态分析微分，全微分，微分法则全导数隐函数的导数一般函数模型的比较静态分析比较静态学的局限性第四篇最优化问题第9章最优化：一类特殊的均衡分析最优值与极值相对极大值和极小值：一阶导数检验二阶及高阶导数二阶导数检验麦克劳林级数与泰勒级数一元函数相对极值的n阶导数检验第10章指数函数与对数函数指数函数与对数函数的性质自然指数函数与增长问题进一步应用第11章多于一个变量的情况最优化条件的微分形式两个变量函数的极值二次型具有多个变量的目标函数与函数凸性，凹性相关的二阶条件经济应用第12章具有约束方程的最优化约束的影响求稳定值二阶条件拟凹性和拟凸性效用最大化与消费需求齐次函数投入的最小成本组合第13章最优化问题的其他主题非线性规划和库恩-塔克条件约束规范经济应用非线性规划中的充分性定理极大值函数和包络定理对偶和包络定理一些结论性的评论第五篇动态分析第14章动态经济学与积分学动态学与积分不定积分定积分广义积分积分的经济应用多马增长模型第15章连续时间：一阶微分方程具有常系数和常数项的一阶线性微分方程市场价格的动态学可变系数和可变项恰当微分方程一阶一次非先行微分方程定性图解法索洛增长模型第16章最优控制理论最优控制的特性其他终止条件自治问题经济应用无限时间跨度动态分析的局限性第1章数理经济学的实质数理经济学不是经济学的分支学科经济学的分支学科很多，诸如，公共财政，国际贸易等等数理经济学是一种经济分析方法！利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理分析对象可以是宏观或者微观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或者其他经济学科数理经济学运用的数学工具不仅是简单几何学矩阵代数，微积分，微分方程，差分方程……1.1

数理经济学与非数理经济学数理方法与非数理方法的分析目的相同从一些给定的假设或公理出发，通过推理过程得出一组结论或定理数理经济学与“文字经济学”(literaryeconomics)的主要区别在于下列事实表达方式不同：前者用的是数学符号、方程描述假设和结论，运用大量数学定理进行推理；而后者则主要采用语句描述和文字逻辑运用数学推理有优势数学定理按照“如果-那么”的形式陈述，为导出“那么”,分析者必须保证每个分析阶段中“如果”与其采纳的假设相一致超越几何学分析方法是完全有必要的：方程工具打破维数限制，分析更一般的情况,如无差异曲线的一般图形讨论时，标准假设是消费者只能得到2种商品，因为要绘出3维或更多维的图形是基本不现实的数学方法具有如下优点：运用的“语言”更为简练、精确有大量的数学定理可为我所用迫使我们明确陈述所有假设，作为运用数学定理的先决条件，这能使我们戒除不自觉地采用不明确假设的缺点使我们能够处理n个变量的一般情况本课程的目的就是将经济学文献中相关的数学方法汇聚到一处，按逻辑顺序组织，完整地解释，并阐述其在经济学中的应用1.2

数理经济学与经济计量学根本区别经济计量学主要与经济数据的量度有关，运用估计和假设检验的统计学方法进行经验观测的研究数理经济学则是把数学应用于经济分析的纯理论方面，基本不关心也不涉及诸如所研究的变量的度量误差这类统计问题相关性：经验研究和理论分析相辅相成理论在有把握地应用之前必须用经验数据进行有效性检验要确定关系最为密切和最富有成效的研究方向，统计工作必须有理论作为指南数理经济学更具有基础性！第2章经济模型经济理论是对现实世界的必要抽象由于现实经济的极端复杂性，我们不可能一下子理解其全部内在联系内部关联对于我们所研究的特殊经济现象也不具有同样的重要性合理的研究程序根据我们的目的选择与我们研究问题相关的基本因素和基本关系，然后将我们的研究集中于这些因素这种精心简化的分析结构被称为经济模型，是现实经济的结构性的粗略表示2.1数学模型的构成经济模型仅仅是一种理论框架，而当模型是数学模型时，那么它通常包括一组用以描述模型结构的方程，这些方程以某种方式把一定数量的变量联系在一起，并给出所采用的一组分析假设的数学形式，然后通过对这些方程进行相应的数学计算，可推导出一系列在逻辑上服从这些假设的结论.变量、常数和参数变量是大小可以变化的量，即可以取不同的值经济学中经常使用的变量包括：价格、利润、收益、成本、国民收入、消费、投资、进口、出口等等.常用P表示价格,

表示利润,R表示收益,C表示成本,Y表示国民收入,等等.通过解一个适当构建的经济模型，我们可以得到一组变量的解值如市场出清时的价格水平、利润最大化时的产出水平等其解值可以通过模型求出的变量称为“内生变量”(源于模型内部)；但模型也包含一些由模型外部因素所决定的变量，其大小仅被视为给定的数据，这样的变量称为“外生变量”(源于模型之外)一个模型中的内生变量可能是另一个模型的外生变量，如分析小麦市场价格(P)的决定时，变量P无疑是内生的；但在消费者支出理论的分析框架内，P对于个别消费者而言是常数，因此必然被视为外生的常数与参数与变量结合在一起的常量常被称为该变量的系数，系数可以是符号也可以是数字在模型中常用

代表给定常数，但我们并没有赋予其具体的数值，它实际上可以取任何值，即它是一个可变的常数，我们称它为常参数（简称为参数）.尽管参数可以取不同的值，但在模型中仍要将其视为已知数！符号说明：参数通常用字母a,b,c，或相应的希腊字母

,,表示；外生变量则与内生变量相区别，用加下标0的方式来表示，如P表示价格，则P0表示外生的价格方程和恒等式在经济学范围内我们需要三种类型的方程定义方程：在两个具有完全相同含义的不同表达式之间建立恒等式，通常用恒等符号表示，如总利润定义为总收益与总成本之差，写作行为方程：规定当其他变量变化时某一变量相应的变化方式.这可能包括人类行为，比如当国民收入变化时总消费模式的变化；也可能不包括人类行为，比如厂商的总成本如何随产出的变化而变化.广义上，行为方程可以用于描述一般的制度性模型，包括技术方面(如生产函数)的模型，也包括法律方面的模型(如税收结构),但在写出行为方程前必须对所研究的变量的行为模式做出明确的假设！正是通过归行为方程形式的设定，我们才给出模型所采纳的假设的数学表达式均衡条件：如果模型中包含均衡这一概念，则均衡条件就是描述现实均衡前提条件的方程经济学中人们最为熟悉的两个前提条件是：Qd=Qs[需求量=供给量]（市场均衡模型）S=I[合意储蓄=合意投资]（国民收入均衡模型）类似地，一个优化模型则推导和应用了一个或更多的最优化条件，如厂商理论中的MC=MR[边际成本=边际收益]2.2实数系整数分数有理数无理数实数2.3集合集合的书写方法：列举法和描述法集合间的关系：相等，子集，交集，不相交集合的运算及其法则：并，交，补并和交的交换律：并与交的结合律：并与交的分配律：2.4关系与函数有序偶与笛卡儿集（直积）令x,y包括所有的实数，则相应的笛卡儿积为：x

y={(a,b)|a

R且b

R}上述笛卡儿积中的有序偶集与平面直角坐标系中的点集之间存在一一对应！关系与函数关系可用有序偶表示函数是一类特殊的关系，称为映射或变换，意味着将一对象与另一对象联系起来的行动在经济模型中，行为方程通常以函数形式引入例：厂商每日的总成本C为其日产出Q的函数：C=150+7Q.该厂商日最大产出为100单位，那么成本函数的定义域和值域是什么？因为Q可以在0到100之间变化，所以定义域为集合0

Q

100或记为{Q|0

Q

100};因为函数的图形为一条直线，C的最小值为150(当Q=0),最大值为850(当Q=100)，所以值域为{C|150

C

850}注：当未特别设定时，我们将定义域和值域理解为仅包括使函数具有经济意义的那些数值.2.5函数的类型常值函数在平面直角坐标系中这样的函数表现为一条水平线在国民收入模型中，当投资（I）为外生决定的，可以有下述形式的投资函数：I=1亿美元，或I=I0多项式函数具有一个变量x的多项式函数的一般形式为：y=a0+a1x+a2x2+…+anxn依赖于整数n的值，可以有以下几种多项式函数的子类别当n=0,y=a0[常值函数]当n=1,y=a0+a1x[线性函数]当n=2,y=a0+a1x+a2x2[二次函数]有理函数变量x的两个多项式的比率：经济学中重要的特殊有理函数：等轴双曲线表达式：y=a/x或xy=a,即两个变量之积为固定常数可以用于表达一种特定的需求曲线，价格P和需求量Q作为两轴，在所有价格水平上，总支出不变.曲线上每一点都有单位需求弹性.另一个应用是平均固定成本曲线(AFC)，令AFC为一个轴，产出Q为另一个轴，由于总固定成本（=AFC

Q）恒定，所以AFC曲线一定为等轴双曲线非代数函数代数函数：任何以多项式和多项式的根表示的函数均是代数函数非代数函数：指数函数，对数函数，三角函数……2.6两个或两个以上自变量的函数两个自变量的函数函数y=f(x)是一个有序偶的集合，而函数z=g(x,y)是一个有序三元组的集合在经济领域中，假设产量由资本K和劳动L的数量决定，则生产函数可以写成Q=Q(K,L)三个自变量的函数可以用来表示消费者效用函数，即消费者的效用是其消费的三种不同商品的函数2.7一般性水平为获得高层次的一般性描述，可以运用一般函数形式y=f(x)或z=g(x,y)，这样的形式下，函数不局限于某种具体类型，因此，基于这种一般公式的分析结论更具有一般性为了获得具有经济意义的结果，常需要对纳入模型的一般函数施加某些性质上的约束，如，需求函数的斜率应为正，消费函数具有小于