2023版新教材高中数学第五章数列5.2等差数列5.2.1等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课时作业新人教B版选择性必修第三册

第1课时等差数列的概念与通项公式必备知识基础练1.已知数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，则下列说法正确的是()A．数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列B．数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列C．数列{an}是以－3为首项，3为公差的等差数列D．数列{an}是以－3为首项，－3为公差的等差数列2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．43．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－3＝an，若an＝2020，则n＝()A．671B．672C．673D．6744．(多选题)下列说法错误的是()A．若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列B．若an－an－1＝n(n∈N＋，且n>1)，则{an}是等差数列C．等差数列是相邻两项中的后项与前项之差等于非零常数的数列D．等差数列的公差是该数列中任意两项的差5．已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则a＝________，b＝________，c＝________.6．在数列{an}中，a1＝3，eq\r(an＋1)＝eq\r(an)＋eq\r(3)，则数列{an}的通项公式为________．关键能力综合练7.(多选题)下列说法正确的是()A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列B．等差数列{an}的单调性与公差d有关C．若三个数a，b，c成等差数列，则a－1，b－1，c－1一定是等差数列D．{an}是等差数列，则{2020an}也是等差数列8．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b2023＝()A．4044B．4046C．4048D．40509.首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是________.10．已知数列{an}满足：aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.11．已知数列{an}是等差数列，且a1＝11，a2＝8.(1)求a13的值；(2)判断－101是不是数列中的项；(3)从第几项开始出现负数？(4)在区间(－31，0)上有几项？12．已知在递增的等差数列{an}中，a3a7＝55，a4＋a6＝16.(1)求a3和a7；(2)求{an}的通项公式．核心素养升级练13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n(1)求{an}的通项公式；(2)求证数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列．14．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{eq\r(Sn)}是等差数列，证明：{an}是等差数列．15．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列{eq\f(1,an＋1)}是等差数列，则a4＝________，an＝________．

第1课时等差数列的概念与通项公式必备知识基础练1．答案：B解析：因为数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，即an＋1－an＝－3(n∈N*)，所以数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列．故选B.2．答案：B解析：设公差为d，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋4d＝10，,a1＋3d＝7，))解得d＝2.故选B.3．答案：D解析：∵a1＝1，an＋1－3＝an，∴an＋1－an＝3∴数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝2020，解得n＝674.故选D.4．答案：BCD解析：对于A，由a－b＝b－c，可得b－a＝c－b，因此a，b，c成等差数列，所以A正确；对于B，n不是固定常数，该数列不是等差数列，所以B错误；对于C，公差d可以等于0，所以C错误；对于D，应为相邻两项，所以D错误．故选BCD.5．答案：5－1－4解析：依据等差数列的定义，且8，a，2是等差数列，得2－a＝a－8，①由a，2，b是等差数列，得2－a＝b－2，②同理，由2，b，c是等差数列，得b－2＝c－b.③①②③联立，解得a＝5，b＝－1，c＝－4.6．答案：an＝3n2解析：由题设可得eq\r(an＋1)－eq\r(an)＝eq\r(3)，故{eq\r(an)}为等差数列，故eq\r(an)＝eq\r(a1)＋(n－1)×eq\r(3)＝eq\r(3)＋(n－1)×eq\r(3)＝eq\r(3)n，故an＝3n2.关键能力综合练7．答案：BCD解析：A错误，若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列；B正确，当d>0时为递增数列，d＝0时为常数列，d<0时为递减数列；C正确，若a，b，c成等差数列，即b－a＝c－b，所以b－1－(a－1)＝b－a，c－1－(b－1)＝c－b，故a－1，b－1，c－1一定是等差数列；D正确，因为{an}是等差数列，设an－an－1＝d(n≥2)，所以2020an－2020an－1＝2020d(n≥2)，所以{2020an}也是等差数列．故选BCD.8．答案：B解析：设数列{bn}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5－b1＝a2－a1＝8＝4d1，故d1＝2，故bn＝2n，则b2023＝2023×2＝4046.故选B.9．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))解析：设an＝－24＋(n－1)d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a9＝－24＋8d≤0，,a10＝－24＋9d>0，))解得eq\f(8,3)<d≤3.10．答案：eq\r(4n－3)(n∈N＋)解析：根据已知条件aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋4，即aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝4.所以数列{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}是公差为4的等差数列，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋(n－1)·4＝4n－3(n∈N＋).因为an>0，所以an＝eq\r(4n－3)(n∈N＋).11．解析：(1)由题意知a1＝11，a2＝8，d＝a2－a1＝8－11＝－3，所以an＝a1＋(n－1)d＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.所以a13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝an，则－101＝－3n＋14，所以3n＝115，n＝eq\f(115,3)＝38eq\f(1,3)∉N＋.所以－101不是数列{an}中的项．(3)设从第n项开始出现负数，即an<0，所以－3n＋14<0，所以n>eq\f(14,3)＝4eq\f(2,3).因为n∈N＋，所以n≥5，即从第5项开始出现负数．(4)设an∈(－31，0)，即－31<an<0，所以－31<－3n＋14<0，所以4eq\f(2,3)<n<15，因为n∈N＋，所以n＝5，6，7，…，14，共10项．12．解析：因为a4＋a6＝a3＋a7＝16，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3a7＝55,a3＋a7＝16))，解得a3＝5，a7＝11或a3＝11，a7＝5,又因为数列{an}为递增数列，所以a3＝5，a7＝11.(2)设数列{an}的公差为d(d>0)，由a3＝5，a7＝11，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5,a1＋6d＝11))，解得a1＝2，d＝eq\f(3,2)，所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(3,2)n＋eq\f(1,2).核心素养升级练13．解析：(1)由题知Sn＝n2＋2n，∴S1＝a1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，将n＝1代入上式可得a1＝3，故n＝1时满足上式，∴an＝2n＋1.(2)证明：由题知Sn＝n2＋2n，∴eq\f(Sn,n)＝n＋2，∴eq\f(Sn,n)－eq\f(Sn－1,n－1)＝n＋2－(n－1)－2＝1，且eq\f(S1,1)＝3，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以3为首项，1为公差的等差数列．14．证明：因为数列{eq\r(Sn)}是等差数列，设公差为d，则d＝eq\r(S2)－eq\r(S1)＝eq\r(a2＋a1)－eq\r(a1)＝eq\r(,a1)，所以eq\r(,Sn)＝eq\r(,a1)＋(n－1)eq\r(,a1)＝neq\r(,a1)(n∈N＋)，所以Sn＝a1n2(n∈N＋).所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1n2－a1(n－1)2＝2a1n－a1.当n＝1时，2a1×1－a1＝a1，满足an＝2a1n－a1，所以数列{an}的通项公式为an＝2a1n－a1(n∈N＋)，所以an－an－1＝(2a1n－a1)－[2a1(n－1)－a1]＝2a1，所以数列{an}是等差数