河北省邯郸市2023届高三年级上册摸底考试数学试卷(含答案)

河北省邯郸市2023届高三上学期摸底考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.若集合A=k|d-2x<0},3={Wog2x20},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{Rx>o}B.{乂0<%<1}

C.-^x|l<%<2}口.何0<%<1或%22}

2.设复数z，则复数z的共辗复数I在复平面内对应的点位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知函数y=/（x）的图像在点P（3,/（3））处的切线方程是y=-2x+7,则

/（3）-/（3）=（）

A.-2B.2C.-3D.3

4.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该

校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形

统计图:

2021年该校高考统计2022年该校高考统计

下列结论正确的是（）

A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6:5

B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6:7

C.2022年该校本科达线人数增加了80%

D.2022年该校不上线的人数有所减少

5.已知向量a=(T,-=且夹角的余弦值为-1,则m=()

A.OB._iC.0或—2D.--

77

6.是“％+」一＞1”的()

X+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

7.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中,提出了已知三角形三

边长求三角形面积的公式,可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设。,瓦。分别为

△ABC内角43,C的对边,S表示△ABC的面积，其公式为S=-a2b2-[a+b~C

rii2J

若0=后,一竺"£—=则445。面积S的最大值为()

sinA+sinB+sinC2sinA

A.、5B.lc._D史

~33

8.从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为()

A.—B.—C.-D.-

636337

二、多项选择题

9.已知函数/(%)的局部图像如图所示，下列函数/(尤)的解析式与图像符合的可能是

()

D

A"（x）=、B./（九）=/C./（%）=%sinx-/（^）=^-

3XiI

22

10.已知双曲线c：=_2L=1（。>0）的左，右焦点分别为耳，K,离心率为2，P为C上一

a23

点，则（）

A.双曲线C的实轴长为2

B.双曲线C的一条渐近线方程为y=氐

C•阀H%=2

D.双曲线C的焦距为4

11.已知｛a,,｝为等差数列,S”为其前〃项和，则下列结论一定成立的是（）

A.若q=a5测a｛—a2==an

B.若a5>%，则^1<S2<<Sn

C.若%=2，则a；+口；28

D.若&=8,/=4，则Sp=66

12.如图，在正方体ABCD-AgCQ中，动点E在线段4G上，则（）

A.直线4G与BC所成的角为30。

B.对任意的点E,都有配>,平面ACE

C.存在点瓦使得平面ABE平面

D.存在点E,使得平面ABE,平面CDE

三、填空题

13.若抛物线J?=4%的准线与圆C:（x-a-+V=1相切，则a=.

14.已知（x+l）（x-l）5=%++。5炉+。6%6，则。0+。3值为

15.如图，在正四棱台ABCD-EFGH中,AB=4百,E尸=9百，且四棱锥E-ABCD的体

积为48,则该四棱台的体积为.

16.设函数“X）=sinox+sin［ox+2卜。〉0），已知/（九）在［0,兀］上有且仅有3个极值

点，则①的取值范围是_________..

四、解答题

17.在①廿+°2_/=2-fiacsvaB；

②sin25+sir?。-sin2A=^sinfisinC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作

答.

在△ABC中，内角A,5,C所对的边分别是a,b,c,.

（1）求角A；

⑵若。=82+c=10,求445。的面积•

18.设S,是等比数列｛4｝的前〃项和，且S3=14,$6=126.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）记々=（〃—1）%,数列｛%｝的前九项和为7；，求却

19.暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二，高三随机抽取200

名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表：

日均晨读时间/分钟[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

人数51025505060

将学生日均晨读时间在［30,60］上的学生评价为“晨读合格”.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2x2列联表，依据a=0.05的独立性检验,

能否认为“晨读合格”与年级有关联？

项目晨读不合格晨读合格合计

高二

iWj—15100

合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况，现在从该校所有学生中，随

机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量J,求4的分布列和数学

期望.

n(ad-be)，

参考公式:2=^中〃=a+Z?+c+d,

Z(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

20.如图在四棱锥P—ABCO中，底面ABC。为梯

形,AB=2AD=2OC，AB//DC，AB±AD，平面PCB±平面ABCD.

⑴证明:PfiLAC；

（2）若△PCfi为正三角形，求二面角5-Q4-C的正弦值.

22

21.已知椭圆。：=+3=1（。〉6〉0）的左,右焦点分别为片，F2，上，顶点分别为

a2b2

MN,月的面积为6,四边形M用N£的四条边的平方和为16.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若a>b>l,斜率为左的直线/交椭圆C于A,3两点,且线段A3的中点H在直线

x=-上，求证:线段AB的垂直平分线与圆f+2=!恒有两个交点.

2-4

22.已知函数/(x)=x-aliix(awO).

(1)讨论函数八%)的单调性；

(2)若g(£)=xe、-a(lnx+x),且a〉e,证明:g(x)有且仅有两个零点.(e为自然对数的

底数)

参考答案

I.答案：C

解析：由题设A={x[0<x<2},3={Rx21},

题图阴影部分为AB={x|l<x<2}.

故选:C

2.答案：D

解析：2=.="^^^=[+$厕"。一小

..二在复平面内对应的点为，位于第四象限

故选:D.

3.答案：D

解析：函数/(%)的图像在点P(3,/(3))处的切线的斜率就是在该点处的导数，即/'(3)

就是切线y=-2x+7的斜率，所以/'⑶=-2.

又“3)=—2*3+7=1,

所以“3)-(⑶=1-(-2)=3.

故选:D

4.答案：C

解析：不妨设2021年的高考人数为100,则2022年的高考人数为150.

2021年本科达线人数为50,2022年本科达线人数为90,得2022年与2021年的本科达线

人数比为9:5，本科达线人数增加了80%，故选项A不正确，选项C正确；

2021年专科达线人数为35,2022年专科达线人数为45,所以2022年与2021年的专科达

线人数比为9:7,选项B错误；

2021年不上线人数为15,2022年不上线人数也是15,不上线的人数无变化，选项D错误.

故选:C

5.答案：A

2

解析：由已知恸=J(—4)2+(—3)2=5,忖=Vm+1,a-b=-4m-3，所以

"*前=^^=一，即4帆+3=3而石2故心;，且

、24

16/H2+24/?7+9=9m2+9,角牛得加=0或---（舍去），所以m=0

7

故选:A

6.答案：A

解析：因为i+，〉o=工〉Onx〉-1且"0,充分性成立，

x+1x+lX+1

所以"0<X<1”是“X+」一〉1”的充分不必要条件.

X+1

故选:A

7.答案：C

解析：由正弦定理得3=一上口—=^,得c=2a，

sinAsinA+sinB+sinC2sinA

因为匕=JL/vWC的面积S=-=\，—9/+20片—4,

收I2J」4

所以当/=12,即巫时,的面积s有最大值为二.

933

故选:C

8.答案：D

解析：从正方体的8个顶点和中心中任取4个，有C；=126个结果,4个点恰好构成三棱

锥分两种情况：

①从正方体的8个顶点中取4个点，共有C；=70个结果，

其中四点共面有两种情况:一是四点构成侧面或底面，有6种情况,

二是四点构成对角面(如平面A41GC),有6种情况.

在同一个平面的有6+6=12个,构成三棱锥有70-12=58个；

②从正方体的8个顶点中任取3个，共有C；=56个结果，

其中所取3点与中心共面，则这4个点在同一对角面上，共有6C；=24个结果，

因此，所选3点与中心构成三棱锥有56-24=32个.

故从正方体的8个顶点和中心中任选4个，

则这4个点恰好构成三棱锥的个数为58+32=90,故所求概率

一一一1267

故选:D.

9.答案：AC

解析：对于A:/(—x)=g(—x)2=/(x)为偶函数，图像为开口向上的抛物

线与题干图像相符；

对于B:“X)=/为偶函数，但/⑴=1,与题干图像不相符；

对于C/(一%)=(一%)sin(—x)=xsiwc=/(x),所以/(x)为偶函数.

由/'(x)=sinx+xcosx,当。<犬<］时，/'(%)>。，/(%)单调递增，且八1)=$1111<1.

t己g(%)=sinx+xcosx,g'(x)=2cosx-xsiwc.

记/z(x)=2cosx-xsiwc,(x)=-3sinx-xcosx在(0,1)小于0,所以g'(%)在(0,1)上单调递

减，而且'(1)=28$1-51111>0(因为tan1<tany=<2),所以g'(x)>0在(0,1)上恒成立，

所以/(%)在(0,1)上为下凸函数.

与题干图像相符.故C正确；

对于D:f(-x)=(二:+i=-f(x)为奇函数,与题干图像不相符.

故选:AC

10.答案：ABD

解析：由双曲线方程知：6=百，离心率为e=£=YE亘=2,解得。=1，故Lx?-2=1，

aa3

实半轴长为1,实轴长为2a=2,A正确；

因为可求得双曲线渐近线方程为y=士瓜，故一条渐近线方程为y=氐,B正确；

由于P可能在C的不同分支上，则有归片|-归阊|=2,c错误；

焦距为2c=2y1a2+b2=4Q正确•

故选:ABD.

11.答案：ACD

解析：设等差数列的公差为〃因为囚=%，所以。1=q+4小所以d=0,则

%=a。==a“，故A正确;

因为名〉%，所以囚+41〉。1+2』，所以d〉0，｛4｝为递增数歹U,但百<52<.<5〃不一定

成立，如q=—2,g=T，%=0，S]=—2,邑=—3,'=—3,故B不正确；

因为a：+a；N2c广[==8，当且仅当q=%=2时取等号，故C正确；

因为卜=4+3d=8,解得『=-1,则％2=%+初=8_8=0，得%="^义12=66,故

用=勾+7d=4q=ll2

D正确.

故选:ACD

12.答案：BC

解析：因为AC//AG，所以ZACB即为直线AG与所成的角，ZACB=45°，故A错误;

因为AA，平面ABCD,皮）u平面A3CD,所以AA（±BD，

又因为=A,

所以3£），平面4。。14，故瓦），平面4。区故8正确；

当点石在A处时，平面ABE〃平面CG2。，

所以存在点E,使得平面ABEH平面CCRD，故C正确.

如图，过点E作MN//A4,则MN为平面ABE与平面CDE的交线，

正方体中,44，平面5。。1片，所以，平面BCGBi，所以BN人MN，

CNLMN，所以NBNC即为平面ABE与平面CDE所成的夹角，

方法一:因为点N一定在以3C为直径的圆外，

所以NBNC<90°，所以不存在点E,使得平面ABE，平面CDE,故D错误.

方法二:设正方体的棱长为l,B1N=x厕tanZB,BN=x,tanZC.CN=1-x,

、x+(l—x)11

tanZBNC=tan(zZB,BN+ZCCN)=———<=------=-----------

V1172

所以l-x(l-x)x-x+l(1J+3

当x='时,tanZBNC取得最大值，-，此时ZBNC为锐角，故D错误.

23

故选:BC

13.答案:_2或0

解析：抛物线/二船的准线方程为X=-1,

圆C:(x-a)2+V=1的圆心为(a,01半径r=1，

由于圆C与准线x=-1相切，

所以卜1—4=1,

解得a=—2或0.

故答案为:―2或0

14.答案：-1

解析：令x=0=>%=-1,

由(X-1)5的展开式的通项为=C"5f(_1)「，

令5-r=2,得厂=3,令5-r=3,得厂=2，

所以%=C；(—1)3+C；(—If=0,

所1以%+%=—1•

故答案为:―1

15.答案：399

解析：方法一油题意，设点E到平面ABCD的距离为人,由四边形ABCD面积为

S=(4后=48,

得四棱锥E—ABCD的体积为48=工弟=、48/1,得/1=3-

33

所以棱台体积为V=g/i(S上+JS上S下+S下)=；>3x(48+j48>243+243)=399.

方法二:由题意，设点E到平面ABCD的距离为力,由四边形ABCD面积为s=(473)2=48，

得四棱锥£-ABCD的体积为48=』/zS」x48/i,得人=3・

33

由棱台定义知，延长EA,FB,GC,HD交于一点，设为P,设棱锥P-ABCD的高为％

则棱锥P-EFGH的高为x+3,由三角形相似可得上=丝=土得x=U

x+3EF95

127112

-x——x243——x—x48=399.

3535

故答案为：399

16•答案：

解析：/(%)=sinox+sina)x+—

..Tl.71

=sincox+sincoxcos—+coscoxsin—

33

=』sins+338=3(@sins+'osox

22I22

7C7171

当尤e［0,兀xH—e—,a)n+—

666

令t=（wx+巴，贝1ke色,。兀+巴

6166

作出函数y=y/3sintI—<t<am+—,a>>01的图象如图所示:

由于函数/（x）在［0,兀］上有且仅有3个极值点，

则9兀<am+—<—7t，解得—<&><—■

26233

故答案为:任,w

（33J

17.答案：（1）A=-

6

（2）9（2-V3）

解析：⑴选择①:因为82+°2_储=2点心皿8,

由余弦定理可得2bccosA=2陋acsinB，

所以结合正弦定理可得sinBcosA=也sinAsinB-

因为5e（0,兀卜则sinB>0>

所以cosA=V3sinA，即tanA=，

3

因为Ae（O,兀），所以A=g；

选择②:因为sin"+sir^C-sin2A=V3sinBsinC'

由正弦定理得62+。2—储=.c，

由余弦定理得cosA=护+c°—a2=虫.

2bc2

因为A£(0,兀),所以A=巳

(2)由(1)知4=工,又已知〃=82+C=10,

6

22

由余弦定理得,〃2=b?+c-2bccosA=(b+c)一(2+百)Z?c,

即64=100—(2+6))。,所以6。=^1^,

所以ZiABC的面积为gbcsinA=gz?csin^=9(2-6).

18.答案：(1)4=2"；

(2)7；=4+(〃-2)x2"，

解析：(1)设等比数列｛%｝的公比为名显然qwl,

由业0=14，s如二Q)=i26，

31—q61-q

相除可得1+/=9,解得q=2,所以q=2,

n

所以数列｛«„｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，即an=2；

(2)由(1)得:々=(〃——1)2",

所以＜=1X22+2X23++(〃—2)X2"T+(N—1)x2"①，

/=1X2+2X22++(〃-2)x20"+(〃—1)义2'1②，

n2n,n

②—①得：一!7；=2+2?++2-+2--(n-l)x2=20—2")之”,

21-2I7

所以/=4+(“—2)X2"+L

19.答案：(1)列联表见解析，依据。=0.05的独立性检验不能认为“晨读合格”与年级

有关联；

(2)分布列见解析，数学期望为

5

解析：(1)列联表如下:

项目晨读不合格晨读合格合计

高二2575100

iWj—1585100

合计40160200

2_200x(25x85-15x75)2

100x100x40x160

所以依据a=0.05的独立性检验，不能认为“晨读合格”与年级有关联.

（2）由题设，学生晨读合格的概率为史2=士易知&〜5（2,勺，

2005I5）

所以

16

Pq=2)=C>

25

J的分布列为

4012

1816

P

252525

^T^E(^)=0x—+lx—+2x—=-

',2525255

20.答案：(1)证明见解析

(2)里

7

解析：（1）证明油题意，设AB=2AD=2£>C=2,又AB//OC，AB，AD，

得AC=BC=万又AB=2，

所以AC?+2，所以a。，BC，

BC=ABI

又平面PCB1平面ABCD=CB，且平面PCB±平面ABCD,ACu平面ABCD,

所以AC,平面PC3,

又PBu平面PCB,所以AC，PS；

（2）方法一（向量法）:取3c的中点。为坐标原点，以0P的方向为z轴正方向，过点0

分别作AB和AD的平行线,分别为x轴和y轴，建立如图所示空间直角坐标系O-孙z,

由△尸ce为正三角形,BC=JL得P。=孚，

则呜川d

则AB=(―2,0,0),AP=——,——卜AC=(―1,—1,0),

n-AB-0

设〃=（斗如zj为平面A5尸的法向量，则有＜

n,AP-0

一2%二0

即，31y/6，可取“=（0,而』）,,

--^i--yi+—zi=0

设机=（X2，%，Z2）为平面ACP的法向量，

同理机=I1,-13,J,

---A/6+—A

所以侬（〃,斜=竽=——s，

\/胴瓜』7

设二面角的平面角为a,

则sina=J1-(cos(九,m^)2=

故二面角B-PA-C的正弦值为叵.

7

方法二（几何法）:如图，取心的中点M连接CM在平面PAB中作MN±P4连接CN,

由（1）知AC=BC=夜，又△PCS为正三角形,

所以pc=BC=PB=拒，所以PC=AC,

所以又肱V，PA，

所以NCW为二面角5-K4-C的平面角,

因为AC，平面PC3,PCu平面PC3,所以AC_LPC，

所以PA==2,CM=AM=1，

在△ABP中,PB=VLAB=B4=2,

尸屋+人笈一瓶24+4-23

所以cos/84P=

2PAAB-8--4

所以sinZBAP="，tanNBAP=里，MN=AM•tanZBAP=业，AN=--------=一

433cosZBAP3

在△A&V中,NC47V=45。，

所以CN=VAC2+AN2-2AC-AN-cosZCAN=典

在4！NC中,MMNJN〜CM「CM

2MN-CM

所以sinNC2W=Jl—1近］=—，

\l7J7

即二面角台—丛―。的正弦值为更1.

7

222

21.答案：（1）土+2L=1或土+丁=1

434-

（2）证明见解析

解析：⑴由△行心的面积为G,得gx2cxz7=6,

又四边形哂N片的四条边的平方和为16,

所以a?=44=3,c~=1或"=4,b~—1,c2=3,

222

即椭圆C的方程为工+匕=1或土+y2=l.

434'

22

（2）设由