2023-2024学年北京市昌平区高一年级下册期中数学质量检测模拟试题

2023-2024学年北京市昌平区高一下册期中数学质量检测模拟试题

一、单选题

ɪ.i是虚数单位，若复数(l-2i)(α+i)是纯虚数，则实数4的值为()

A.2B.—2C.~D.—

22

【正确答案】B

【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解作答.

【详解】(l-2i)(α+i)=(α+2)+(l-2α)i,而αwR,且复数(I-2i)(α+i)是纯虚数，

[^α+2=0

所以八，解得α=-2.

[l-2α≠0

故选:B

2

2.AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知°=石，c=2,cosA=-,则b=

A.√2B.√3C.2D.3

【正确答案】D

【详解】由余弦定理得5-Zr+42>Λ>2×2.

3

解得/>=3(力=；舍去)，故选D.

余弦定理

【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方

程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

3.已知向量α,b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1,则°巧=()

A.4B.4√2C.-4D.-4√2

【正确答案】C

【分析】由图形可求得同，W，<a,b>,由向量数量积定义可求得结果.

【详解】由图形可知：回=百方=2JL∣⅛∣=2,〈a/〉.+?=今,

.∙.ab=∣α∣∙∣⅛∣cos<a,h>=4夜X卜=T■

故选：C.

4.已知3Z为非零向量，则”>0”是）与Z夹角为锐角”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【详解】根据向量数量积的定义式可知，若“.〃>（）,则“与人夹角为锐角或零角，若α与〃夹角为锐

角，则一定有“∙b>0,所以““力>0”是“〃与b夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.

5.如图，P是正方体ASS-AAGA面对角线AG上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的

是（）

A.直线ORB.直线qCC.直线4。D.直线4C

【正确答案】D

【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.

【详解】对于A,连接B28Q,设AGCBQ=Q,

由B4〃。〃，当户点位于点。时，BP与。。共面;

对于B,当点尸与G重合时，直线BP与直线BC相交；

对于C,因为A8〃GR且AB=GA,所以四边形ABGD为平行四边形,

所以AR〃BG，

当点P与G重合时，BP与AA共面;

对于D,连接AC,

因为Pe平面ABa>,BenABCD,ACU平面48CO,B^AC,

所以直线BP与直线4C是异面直线.

6.已知两个单位向量α和人的夹角为120。，则向量α-b在向量。上的投影向量为（）

11r3r3

A.——bB.-bC.--bD.-b

2222

【正确答案】C

【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.

【详解】因为两个单位向量α和〃的夹角为120。，

所以Q♦〃=WJHCOS120°=Ix1x（-；）=,

所以（Q=-I=-T,

a-h

故向量〃一〃在向量人上的投影向量为

W2

故选：C.

7.如图，在ABC中，点D,E满足BC=230,CA=3CE∙若。E=XA8+yAC(My∈R),则x+y=()

【正确答案】B

利用平面向量的线性运算可得。E=-:AB+,AC,再根据平面向量基本定理可得X=-IJ=从

2626

而可得答案.

221

【详解】因为f>E=AE-An=IAC-AB-BO=^AC-AB-QBC

=-AC-AB--（AC-AB）

32

=--AB+-AC,

26

5LDE=xAB+yAC,

所以X=-g,y=t,

,,111

所cr以x+y=-q+W=∖

26ɔ

故选：B

本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题.

8.已知在/BC中，ZB=60,⅛=√3,若满足条件的三角形有且只有一个，则4的取值范围是（）

A.{a∣0<a<√3}B.{M0<“<百或α=2}

C.{0∣0<a≤√3}D.{aIO<“≤百或”=2}

【正确答案】D

【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.

VVW.---ɪ.-a=­--sinA=sinA=2sinA

【r详tz解t7j】由正rn弦定理1ra可γ得zfisinB√3，

T

若满足条件的三角形有且只有一个，则O<A≤60或A=90,

所以O<sinA≤立或SinA=1,

2

可得0<α≤6或”=2.

故选：D.

9.已知。、方是异面直线，P是。、分外一点，经过点尸且与。、方都相交的直线有（）

A.至少1条B.最多1条

C.有且只有1条D.可能为O条也有可能多于1条

【正确答案】B

【分析】利用构造法说明可以存在1条或O条，利用反证法说明不存在2条以上的直线符合题意，即可

判断

【详解】解：设P与。所确定的平面为α,若a与匕交于点Q,当PQ不平行于。时，与异面直线。、

b都相交，

当PQ∕∕α或63时，过点P与异面直线”、人都相交的直线不存在；

假设有过点P的两条直线用、”都与异面直线。、b相交，相交直线〃?、”共面用，

则直线。、匕上分别有两点在面夕上，所以直线。、b在面夕内，与。、匕异面矛盾.

故选：B

10.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1,

顶角为ɑ的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，

该八边形的面积为

A.2sina-2cos(z+2；B.Sina-石CoSa+3

C.3sina-∖∕3cosα+lD.2sina-cosα+l

【正确答案】A

【详解】试题分析：禾U用余弦定理求出正方形面积SI=(12+"2CoSa)=2-2COS利用三角形知识

得出四个等腰三角形面积S2=4xgχlχlχsine=2sinc;故八边形面积

S=S∣+S?=2sinα-2cosα+2.故本题正确答案为A.

余弦定理和三角形面积的求解.

【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先

根据三角形面积公式S=gχlχlχsinα=gsina求出4个三角形的面积4S=2sinα;接下来利用余弦

定理可求出正方形的边长的平方(F+F-2CoSa),进而得到正方形的面积

Sl=(I-+F—2CoSC)=2—2COSα,最后得到答案.

二、填空题

11.设Z=*,则I*等于__________

1+1

【正确答案】√5

【分析】利用复数除法运算求出复数z,再利用共规复数与模的意义计算作答.

(l+3i)(l-i)4+2i

【详解】依题意,2^(l+i)(l-i)=2+i,

所以IWl=J22+(-1)2=石.

故。

12.已知。为坐标原点，A(l,2),B(w,6),若OA,AB，则实数，〃的值为.

【正确答案】-7

【分析】由题设得。4=(1,2),AB=G4),应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可.

【详解】由题设OA=(1,2),AB=(W-1,4),又OAj.4?,

所以QA∙AB=m-l+8=0,可得M=-7.

故-7

三、双空题

o

13.在ΔA8C中，A=120,b=3,c=5,则；若。为5C中点，则AD=

【正确答案】7叵

22

【分析】由余弦定理可求出“；再由AD=；(AB+AC),两边同时平方代入可求出

【详解】因为A=120。，b=3,c=5,由余弦定理可得：

a2=h2+c2-2⅛ccosA=9+25-2×3×5×f-∙^)=49,贝IJa=7.

。为BC中点，则AO=g(A8+AC),两边同时平方可得，

AD2=^AB2+AC3+2∣AB∣∙∣AC∣COSZBAC)=^25+9-2×5×3×∣^=∙^,

则M=字

故7：亚.

2

14.已知函数AX)=2sin(x+m)xe[0,3τt].则函数/(x)的一个零点为；若

玉,七,玉∈≠x≠x,使得则x+x+X的最小值与最大值之和为

I[0,3π],xl23/(ΛI)=∕(Λ⅛)=∕(X3),l23

【正确答案】y吟和日均可)等

【分析】令/(x)=2Sin(X+g)=0,Λ∙e[0,3π],即可得出函数的零点，作出函数

/(尤)=2皿+3》40,3兀]的图象，结合图象分别求出占+々+£的最小值和最大值，即可得解.

TrTrlOTr

【详解】由x∈[θ,3π:],得x+ʒ-,ʒ-,

令/(X)=2sin(x+g)=0,JI∈[θ,3π],

则X+]=兀或2π或3兀，所以x=g或冷或?

即函数F(X)的一个零点为耳(争片均可)，

ɔɔɔ

如图，作出函数/。)=2$皿1+?),*€[0,3兀]的图象，

当/(x)的图象与直线y=K相交时，前3个交点依次为χ,%,x5,

此时4+々+当最小，

令/(x)=2Sin[X+1)=6,解得&=0,x2=^,x3-2π,

π7TT

所以玉+々+工3的最小值为0+]+2π=∙y,

当/(x)的图象与直线y=-G相交时，交点依次为内M2，不，此时王+W+%3最大，

x3π

令/(x)=2Sin[X+1)=-6，解得玉=π,x2=~~^3=，

所以玉+刍+毛的最大值为兀+£4π+3兀=16詈ττ，

所以玉+%+七的最小值与最大值之和为曰+等=咨.

ɪf2兀,5兀H8τtit—f、23兀

故7(T和rJ了均可)；—•

四、填空题

15.关于函数/(x)=4sin(2x+1)(xeR),有下列结论：

①y=f(χ)的图象关于点(-E°)对称；

②y=/(X)的图象关于直线X=-F对称；

O

③y=f(χ)的表达式可写成y=4COS(2X-[)；

6

④若F(占)=∕U2)=0,则XLX2必是兀的整数倍.

其中所有正确结论的序号是.

【正确答案】①③

【分析】根据给定条件，代入验证判断①②；利用诱导公式变形判断③；求出/(X)=O的解判断④作

答.

【详解】函数/。)=4$皿2》+1)。€口)，

TrTrTrJT

因为A-二)=4sin[2(-：)+；]=0,y=∕(x)的图象关于点(-二,0)对称，①正确，②错误；

6636

fM=4sin[(2x—-)+—]=4cos(2x——■),③正确；

626

IrTrkττTT

由/(X)=O,得sin(2x+2)=0,则2x+'=E,keZ,^x=---,k≡Z,

3326

而/(占)=/(々)=。，贝∣J±=竺一^/2=竺一?，&i#，eZ,Bpx-x,=ʌ'-π,

2626l2

而K,%eZ,有匕一包eZ,"⅛不一定是整数，因此④错误，

所以所有正确结论的序号是①③.

故①③

16.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别

以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三

角形，已知A,B两点间的距离为2,点P为AB上的一点，则PA∙(PB+PC)的最小值为

【正确答案】10-4√7

.23

【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为2尸£-；，再利用三角形的

几何意义求解即可.

【详解】设。为BC的中点，E为AO的中点，如图所示,

则PA∙(P8+PC)=2Λ4∙PD=2(尸£+£4)∙(PE+即)

=2(∕JE+E4)(PE-E4)=2(PE2-E42J,

在正三角形ABC中，AD=^JAB2-BD2=√22-l2=√3-

所以AE=OE=且，

2

•>2\23

PE'-EAj=2PE'--

(t

因为CE=JCZ)2+DE?=ɪ=',

所以附=2-∣CE∣=2-y-,

所以PA∙(PB+PC)的最小值为:

2

2PE2--=22----=10-4√7.

2I2J2

故答案为.10-4√7

五、解答题

17.如图，四棱锥尸-ABCO中，底面ABCz）为平行四边形，E是PO上的点.

⑴若E、尸分别是尸力和BC中点，求证：E/〃平面以&

（2）若P8//平面AEC,求证：E是P3中点.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）取24中点G,连接BG,EG,证明四边形BEEG为平行四边形，可知EF//BG,利用

线面平行的判定定理可证EFH平面PAB；

（2）连接3。，交AC于，，连接因为PH/平面4CE,利用线面平行的性质定理可得P，

且〃为8£）中点，可证E是尸。中点.

【详解】（1）证明：取Q4中点G,连接3G,EG,

在，皿＞中，因为E,G分别为所在边的中点，所以EG"AD,且EG=；AD,

又因为底面ABeD为平行四边形，F为8C的中点，

所以BF〃AD,且BF=LAZ）,

2

所以EG"BF,SEG=BF,

所以四边形BFEG为平行四边形，

所以EF//BG,因为EFa平面R4B,BGU平面R4B,

所以EF〃平面PA8；

(2)连接BO,交AC于”，连接EH,

因为PBH平面ACE,Pbu平面PBD,平面PBD^平面ACE=EH,

所以PB//EH,在皿中，H为BD中点,

所以E为PO中点.

⑴求的值;

(2)求/(B的最小正周期；

(3)求/(处在区间Oe上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)0；

⑵兀；

⑶最大值叵Ll,最小值0.

2

【分析】(1)根据给定条件，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x),再代入求值作答.

(2)由(1)中函数/(x),结合正弦函数周期性求出最小正周期作答.

(3)求出/O)的相位的范围，瑞利用正弦函数的性质求出最值作答.

【详解】(1)依题意，/(x)=ɪsin2x+ɪcos2x+—=sin(2x+—)+ɪ,

222242

所以/(-：)=告sin[2(-()+(I+；=ɪsin(-^)+^=^y×(-^)+^=0∙

(2)由(1)知，函数/(X)=冬in(2x+?+；的最小正周期7号=π

(3)由(1)知，函数/(X)=①sin(2x+3+L当xe[O,g]时,2x+feJ当，

2422444

因此当2x+J=[,即X=S时，/a3=冬1,当2x+J=手，即X=B时，/(x)min=0,

42o2442

所以/(X)在区间[0,多上的最大值和最小值分别为立上1,0.

22

19.现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥尸-AAG。，

下部分的形状是正四棱柱ABCz）-A4G。，正四棱柱的高。。是正四棱锥的高PO,的4倍.

⑴若AB=6m,POl=2m,则仓库的容积（含上下两部分）是多少？

（2）若上部分正四棱锥的侧棱长为6m,当Pa为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是

多少？

【正确答案】（1）312m'

（2）当Pq=30m时，正四棱柱侧面积最大，最大为288√∑m2

【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式计算；

（2）设Pa=Xm,正四棱柱侧面积用X表示，利用基本不等式求最大值.

【详解】（1）VPO1=2m,正四棱柱的高。。是正四棱锥的高Pa的4倍，.∙.qθ=8m.

所以仓库的容积V=LX62χ2+62χ8=312n√

3

（2）若正四棱锥的侧棱长为6,〃，设Pq=Xm,

2

则0∣0=4xm,Aq=J36-χ2m，/I1B1=√2√36-xm∙

正四棱柱侧面积S=4∙4x∙⑸36-f=16√2X∙√36-X2（O<x<6）,

.X2+（∖∣36-X2∖

,∙S≤I6√2×——ʌ------------,=288√2,

2

2

当且仅当X=历三，即x=3应时，Snax=288√2m.

所以当Pq=3&m时，正四棱柱侧面积最大，最大为288√ΣΓ∏2.

20.若存在AABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件

并解答下列问题：

(1)求A的大小；

⑵求CoSB和"的值.

条件①：sinC=£ɪ;

14

条件②：b-a=1；

条件③：⅛cosA=-∣；

„7

条件④.α=ʒ∙c

【正确答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【分析】若选择①②④：

TT

⑴由正弦定理可得SinA的值，结合A—4=],可求0<A<,,即可得解A的值；

TT

(2)由题意可得α>c,可得0<C<,,利用同角三角函数基本关系式可求COSC的值，利用三角形内

角和定理，两角和的余弦公式可求cos8,进而可求sin8,利用正弦定理即可求解“的值.

若选择①③④：

TT

(1)利用正弦定理可得SinA的值，由于6C0SA5=-可得范围]<A<τ,即可求解A的值；

(2)由题意利用大边对大角可求0<C<∣^,利用同角三角函数基本关系式可求CoSC的值，利用两角和

的余弦公式可求COSB,进而可求SinB,由于。CoSA=-二，可求b的值，根据正弦定理可得

2

【详解】(1)共有①②③、①②④、①③④、②③④四种选法，

根据条件②可知6>α,B>A,则A为锐角；根据条件③可知CoSA<0,A为钝角；

故②和③不能同时选择，故仅可选①②④或①③④.

若选择①②④：

,：a=<c,SinC=述，由正弦定理可得SinA=空史C=立，

314C2

•：b-a=I,J.a<b,可得0<A<三，可得A=^.

23

若选择①③④：

'：a^-C,SinC=-,由正弦定理可得SinA=ZC=在，

314C2

5τr24

在一ABC中，*∙⅛cosA=—,.∙.—<A<乃，**.A=—.

223

(2)若选择①②④：

7π

在一ABC中，a=-c,：.a>c,.∙.0<C<-,

32

VSinC=-,可得CoSC=JI-Sin2C=与,

1414

・ŋrzλɪdfΛΛ.Γ'∖4.厂Λ厂63用1131

..cosB=COS[Λ∙-(A+C)]=-cos(A+C)=sɪnAsmC-cosAcosC=——X---------×——=——,

2142147

sinB=ʌ/l-eos2B=,

7

4√3B

由正弦定理可得〒=2，可得7b=84,

•：b-a=∖,：.a=l.

若选择①③④：

7TT

在..ABC中，'Ja=-c,：.a>c,.∙.0<C<-,

32

VSinC=-,可得CoSC=JI-Sin2C=U,

1414

I]3ɪɪ

+X=

.*.cosB=COS[Λ∙-(A+C)]=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=—×21414，

.∙.sinB=ʌ/l-cos2B=,

14

5√3V

S-彳h■A---x5

VbcosA=-f/.⅛=-f=5,由正弦定理可得"T-二誉τ=7.

21SinB5√3

~214

21.集合A中的元素个数记为1川，若MUA且IMl=2,则称M为集合4的二元子集.已知集合

A={l,2,,n}(n≥3).若对集合A的任意加个不同的二元子集A，A2,4,均存在集合B同时