江苏省盐城市五校联考2023-2024学年高二下学期第一次学情调研检测（3月）数学试题含答案

江苏省盐城市五校联考2023-2024学年高二下学期第一次学情调研检测（3月）数学试题联盟校第一次学情调研检测高二年级数学试题命题人：（总分150分考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）1．已知向量，且，那么实数k的值为（）A． B．2 C． D．2．已知，则等于（）A． B． C． D．3．如图，在四面体OABC中，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（）A． B． C． D．4．已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（）A． B． C． D．65．若数列满足，则（）A． B．11 C． D．6．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A． B． C． D．7．已知长方体中，若，E是CD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段AP长度的取值范围为（）A． B． C． D．二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）9．下列命题中正确的是（）A．，与夹角为钝角，则x的取值范围是B．在空间直角坐标系中，已知点P（1，2，3），点P关于坐标原点对称点的坐标为C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D．任意空间向量满足10．已知函数，下列说法正确的是（）A．f（x）的单调递减区间是（0，e）B．f（x）在点处的切线方程是C．若方程只有一个解，则D．设，若对，，使得成立，则11．如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E在同一个平面内．若点M在四边形BCDE内（包含边界）运动，N为AE的中点，则（）A．当M为DE的中点时，异面直线MN与CF所成角为B．当平面ACD时，点M的轨迹长度为C．当时，点M到BC的距离可能为D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入Ω内第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12．已知，则______．13．若向量，则______．14．用[x]表示不超过x的最大整数，已知数列满足：，．若，则______；若，则______．四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知向量，O为坐标原点，点．（1）求；（2）若点E在直线AB上，且，求点E的坐标．16．（本小题满分15分）等差数列中，，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．17．（本小题满分15分）已知函数在处取得极值．（1）求实数a的值；（2）当时，求函数f（x）的最小值．18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．（1）证明：平面PAD；（2）若，（i）求二面角P—DM—B的余弦值；（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）已知点为双曲线上的动点．（1）判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；（2）（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；（ii）将双曲线C：的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若T（m，n）为双曲线C上一点，直线l：与C的两条渐近线分别交于点P、Q，则T为线段PQ的中点．2023/2024学年度第二学期联盟校第一次学情调研检测高二年级数学参考答案第Ⅰ卷一、单选12345678DBACADBC二、多选91011BCBDACD第Ⅱ卷三、填空12． 13． 14．，2四、简答题15．（本小题满分13分）解：（1），则故（2）点E在直线AB上，则可设∵，∴，即，解得故点E的坐标为．16．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d∵，∴解得，∴（Ⅱ）∵∴17．（本小题满分15分）解：（1），又函数f（x）在处取得极值，则即，此时f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；所以当时满足条件，所以；（2）由（1）可知f（x）在上单调递增，单调递减所以当时，函数f（x）的最小值是，f（1）中的较小者；；故函数f（x）的最小值为．18．（本小题满分17分）（1）证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点，∴，∵，∴，∴四边形ABMN是平行四边形，∴，又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．（2）解：∵，∴，∴，∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，∴平面ABCD，又AD，平面ABCD，∴，又，由，∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则P（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），∵M为棱PC的中点，∴（i）设平面BDM的一个法向量为，则，令，则，∴，平面PDM的一个法向量为，∴，∴二面角P—DM—B的余弦值为（ii）假设在线段PA上是存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，设则，由（2）知平面BDM的一个法向量为，，∴点Q到平面BDM的距离是，∴，∴．19．（本小题满分17分）解：（1）∵点在双曲