新教材选择性3.2.2双曲线的几何性质课件（14张）

3.2.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质.a,b,c以及e的几何意义.3.会利用双曲线的几何性质解决简单的问题.

1|双曲线的几何性质 焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)图形

几何性质范围x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a对称性关于x轴,y轴,原点对称中心O(0,0)顶点A2(a,0),A1(-a,0)A2(0,a),A1(0,-a)轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,长度为①2a

,线

段B1B2叫作双曲线的虚轴,长度为②2b

渐近线直线③

y=±

x

直线④

y=±

x

离心率e=⑤

,e∈(1,+∞)2|等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴与虚轴相等的双曲线叫作等轴双曲线,其方程为x2-y2=a2或y2-x2=a2(a≠0).等轴双曲线的渐近线方程为y=±x,离心率等于

,两条渐近线互相垂直.2.以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.

例如,双曲线

-

=1(a>0,b>0)与双曲线

-

=1(a>0,b>0)互为共轭双曲线,它们有共同的渐近线,它们的离心率e1,e2满足

+

=1.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.

(

✕)

-

=1与

-

=1(a>0,b>0)的形状相同.(√)

-

=1与

-

=1(a>0,b>0)的渐近线相同.

(

✕)提示:双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为

±

=0,双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为

±

=0,所以两双曲线的渐近线不相同.4.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率e=

.

(√)提示:等轴双曲线中,a=b,渐近线方程为y=±x,所以两渐近线相互垂直,又c=

a,所以离心率e=

.5.双曲线的离心率越大,双曲线的开口越大.

(√)提示:双曲线的离心率决定双曲线的开口大小,离心率越大,开口越大.

1|根据双曲线方程研究几何性质

由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式;(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;(3)由c2=a2+b2求出c值,从而研究双曲线的几何性质.提醒:研究性质时一定要注意焦点的位置.

求双曲线

-

=1的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程.解析由题意,得双曲线的焦点在x轴上,a=7,b=5,则c=

,所以双曲线的实轴、虚轴的长分别为14,10,顶点坐标为(7,0),(-7,0),焦点坐标为(-

,0),(

,0),离心率e=

=

,渐近线y=±

x.2|由几何性质求双曲线的标准方程

不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲

线的方程为mx2-ny2=1(mn>0).(1)渐近线为y=±

x的双曲线方程可设为

-

=λ(λ≠0,m>0,n>0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).(2)与双曲线

-

=1或

-

=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为

-

=λ或

-

=λ(λ≠0).(3)与双曲线

-

=1(a>0,b>0)离心率相等的双曲线方程可设为

-

=λ(λ>0)或

-

=λ(λ>0),这是因为由离心率不能确定焦点位置.(4)与椭圆

+

=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为

-

=1(b2<λ<a2).

(1)已知双曲线是等轴双曲线,且它的一个焦点为F1(-6,0),求双曲线的标准方程;(2)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)与双曲线

-

=1有相同的渐近线,且经过点M(

,-

).求双曲线C的方程.思路点拨(1)由题可得a=b,再由c=6即可求出a,b.(2)先求出双曲线

-

=1的渐近线方程为y=±

x,从而由题意可得

=

,所以双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的方程可化为

-

=1,再把M的坐标代入方程中求出a的值,从而可得双曲线C的方程.解析(1)由题意可得a=b,c=6,焦点在x轴上,∵a2+b2=c2,∴a2=b2=18,故双曲线方程为

-

=1.(2)在双曲线

-

=1中,a'=2,b'=

,则渐近线方程为y=±

x=±

x,∵双曲线C:

-

=1与双曲线

-

=1有相同的渐近线,∴

=

,∴方程可化为

-

=1,又双曲线C经过点M(

,-

),∴

-

=1,解得a=1,∴双曲线C的方程为x2-

=1.3|双曲线的渐近线与离心率

双曲线的渐近线与离心率是双曲线最重要的两个几何性质,需注意以下几点:x轴上的双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±

x,焦点在y轴上的双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±

x,注意区分.2.双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数.3.渐近线与离心率的关系:

=

,e=

.a,c(或

a,b或b,c)的关系式,结合c2=a2+b2进行求解.

(1)已知双曲线

-

=1(b>0)上任意一点P到两条渐近线的距离之积等于3,则该双曲线的离心率等于()A.

B.

C.

D.

(2)若双曲线

+

=1的离心率等于3,则其渐近线方程为

;(3)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线

-

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足PA=PB,则该双曲线的离心率是

.解析(1)易知双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±

x,即bx±

y=0,设P(x0,y0),则P到两条渐近线的距离之积为

·

=

,而

-

=1,所以|b2

-5

|=5b2,因此

=3,解得b2=

,故双曲线的离心率e=

=

=

=

,故选D.(2)由题意得2m(m-4)<0,解得0<m<4,所以双曲线的焦点在y轴上,于是

=

=

=

=2

,所以

=

,故双曲线的渐近线方程为y=±

x.(3)双曲线的渐近线方程为y=±

x,分别与x-3y+m=0联立,解得A、B两点的坐标