2022-2023学年浙江省宁波市奉化区高一（下）期末数学试卷

2022-2023学年浙江省宁波市奉化区高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）已知向量Z=（2,3），b=（-l,-2）'则（）

A.(3,5)B.(-5,-7)C.(5,8)D.(3,4)

2.（5分）复数z=ai+6（a,ftGR）是纯虚数的充分不必要条件是（）

A.“WO且/?=0B.h=0C.〃=1且b=0D.a=b=O

3.（5分）水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正△人，

4C,则AABC的面积是（）

A.V3B.2V3C.V6D.276

4.（5分）某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%.若

从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则该产品都不是合格品

的概率为（）

A.2%B.30%C.72%D.26%

5.（5分）设加，〃是不同的直线，a,0是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若"?_L〃，n//a,则加_LaB,若能〃0,0_La,则m_La

C.若m_La,a±p,则m〃0D.若"?_La,m_L0,贝ija〃0

6.（5分）若数据xi+m、冗2+加、…、物+加的平均数是5,方差是4,数据3川+1、3x2+1、…、

3切+1的平均数是10,标准差是s,则下列结论正确的是（）

A.6=2,s=6B.m=2,s=36C.m=4,s=6D.m=4,s=36

7.（5分）在锐角aABC中，角A,B,。的对边分别为小b,c,且满足c-b=2bcos4.若

入sinA-cos（C-B）V2恒成立，则实数人的取值范围为（）

A.（-8,2A/2]B.（-8,2V2）C.（-8,]D.（-CO,）

33

・（分）二均为单位向量，且它们的夹角为,设;:满足

85t?1,C2a94D5°

口+口|建，E=U+k£aeR），则iZVl的最小值为（）

A.&B,亚C.匹D.3区

244

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）若复数z八行-i，则下列说法正确的是（）

A.z在复平面内对应的点位于第四象限

B.团=4

Cz2=4-2V3i

D.z的共扼复数W=«+i

（多选）10.（5分）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5

日均值在35阳加3以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在35〜75阳〃户，空气质量为二

级：PM2,5日均值超过75用〃/为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单

位：用/加3）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（）

B.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差

C.这10天的日均值的中位数为41

D.前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差

（多选）11.（5分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=3,C=2A,

4

则（）

A.ZVIBC为钝角三角形B.C为最大的内角

C.a：b：c=4：5：6D.A：B：C=2：3：4

（多选）12.（5分）如图，在多面体中A8DCE,BA,BC,3。两两垂直，四面体AECD是

正四面体，F,G分别为AE,8的中点，则下列结论正确的是（）

A.BA=BC=BDB.FG//ABC.BQ〃平面ACED.BELCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字.将这三张卡片随机排序

组成一个三位数，则该三位数是奇数的概率是.

14.（5分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=S,ZAPB=ZAPC=ZBPC=40c,

过点A作截面，分别交侧棱PB,PC于E,F两点，则△AEF周长的最小值

15.（5分）体积为近的三棱锥P-ABC的顶点都在球。的球面上，平面ABC,PA=

6

2,2：BAC=-'A8=l,则球。的表面积为.

3

16.（5分）德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边

三角形48c的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为

莱洛三角形.若该等边三角形48c的边长为1,P为弧AB上的一个动点，则证.（丽+正）

的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知复数2=(2/n2-7/n+6)+(m2-m-2)i(mGR).

(1)若复数z为纯虚数，求实数切的值；

(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数机的取值范围.

18.(12分)在△ABC中，角4,B,C所对的边分别小b,c,且bcosA+acosB=2ocosA.

(1)求角A的值；

(2)已知。在边8c上，且B£>=3Z)C,A£>=3,求△A8C的面积的最大值.

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，以_L平面ABC。，四边形4BCD为正方形，PA

=AB=4,G为PD中点.

(1)求证：AG_L平面PCD；

(2)求直线AC与平面PC。所成角.

20.(12分)根据空气质量指数(AQI,为整数)的不同.可将空气质量分级如表：

AQI[0,50J(50,100J(100,150J(150,200](200,250J(250,300J

级别一级二级三级四级五级(A)五级(B)

现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQ/数据(每个数据均不同)，统计绘

得频率分布直方图如图所示.

(1)请由频率分布直方图来估计这30天AQ/的平均数；

(2)若从获得的“一级”和“五级(8)”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一

级”和“五级(8)”数据恰均被选中的概率；

(3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与4。/(记为3)的关系

式为

sjo,0<«<100

143-400,100<W<300

若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的

概率.

050100150200250300AQI

21.（12分）如图，为测量鼓浪郑成功雕像A8的高度及景点C与尸之间的距离（B,C,D,

产在同一水平面善个，雕像垂直该水平面于点B,且B,C,O三点共线），某校研究性学

习小组同学在C,D,尸三点处测得顶点A的仰角分别为45°,30°,30°,若NFCB

=60°,CD=16（V3-1）米

（1）求雕像AB高度；

（2）求景点C与尸之间的距离.

22.（12分）如图，直四棱柱ABCD-AiBiCiOi的底面A8CZ）是菱形，E是4Q1的中点,

厂为线段BC上一点，AB=2,A4i=l,NBAD=60°.

（1）证明：当BF=FC时，O1F〃平面4EB；

（2）若BF八BC求二面角A--尸的余弦值为.

B

2022-2023学年浙江省宁波市奉化区高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

••（5分）己知向量之=（2,3）-b=（-l,~2y则WV=（）

A.（3,5）B.（-5,-7）C.（5,8）D.（3,4）

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解作答.

【解答】解：因为向量之=（2,3），羡（-1,-2），

则224=2（2,-2）=（4,6）-（-1,-2）=（5,8）-

故选：C.

【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题.

2.（5分）复数z="i+%（dfeGR）是纯虚数的充分不必要条件是（）

A.“W0且Z?=0B.b=0C.a—1Jib=0D.a—b—0

【分析】运用纯虚数的定义求出参数的范围，结合集合的包含关系即可求得结果.

【解答】解：因为复数z=ai+b（a,旄R）是纯虚数的充要条件是a#0且b=0,

又因为”=1且6=0是“#0且6=0的充分不必要条件，

所以。=1且6=0是复数z=ai+b（a,beR）为纯虚数的充分不必要条件.

故选：C.

【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

3.（5分）水平放置的AABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正

B'C,则△ABC的面积是（）

A.V3B.273C.氓D.276

【分析】首先计算AA'B'C的面积，然后乘以2&可求得原三角形ABC的面积.

【解答】解：:△ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，

且正B'C'的面积为：1X2X2X—

22

二ZUBC的面积为2&S直观图=2&X百=2&.

故选：D.

【点评】本题考查直观图面积问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题.

4.（5分）某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%.若

从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则该产品都不是合格品

的概率为（）

A.2%B.30%C.72%D.26%

【分析】利用相互独立事件的概率公式求解即可.

【解答】解：设该产品都不是合格品为事件A,

则尸（A）=（1-90%）X（1-80%）=0.1X0.2=0.02=2%.

故选：A.

【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题.

5.（5分）设,小〃是不同的直线，a,0是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若根n//a,则w_LaB.若加〃0,0J_a,则，"J_a

C.若，"J_a,a±p,则m〃0D.若根J_a,则a〃0

【分析】由直线、平面的位置关系逐一判断即可得解.

【解答】解：对A选项，由〃?_L",〃〃a可得〃?〃a或加与a相交或n?ua,故A选项错

误；

对B选项，由加〃0,0_La可得zn〃a或，〃与a相交或"?ua,故8选项错误：

对C选项，若机_La,a±p,则〃z〃B或故C选项错误；

对。选项，若?n_La,则a〃0,故。选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查空间中直线、平面间的位置关系，考查空间想象力，属基础题.

6.（5分）若数据xi+，"、X2+，"、…、的平均数是5,方差是4,数据3x1+1、3x2+1、…、

3初+1的平均数是10,标准差是s,则下列结论正确的是（）

A.m—2,s=6B.m—2,s=36C.m—4,s=6D.in—4,s=36

【分析】根据题意，设数据可、地、•、尤”的平均数为7,标准差为。，利用平均数、方

差的计算公式分析〃八s的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，设数据XI、X2、…、物的平均数为7,标准差为。，

数据3力+1、3x2+1、…、3%+1的平均数是10,

(3XI+1)+(3X+1)+---+(3X+1)3(xi+x+---+x)_

贝U―!----------2---------------=―1---2------—+1=3x+l=10，可得

nn

x=3,

而数据Xl+m、X2+〃?、…、即?+"?的平均数是5,

++

七+(x2+m)+…+%-)x<+x2--x_一下.

贝I布---------------------------——=------------+m=x+m=5，可得〃?=2，

nn

由方差公式可得

222

4

[(xj+m)-(x+m)]+[(X2m)-(x+m)]+・•・+[(xn+m)-(x+m)]

n

*2+22

[(3X1+1)-(3X+1)]+[(3X21)-(3X+1)]+*••+[(3xn+l)-(3x+l)]

n

2—22

9(xj-x)+9(X2~x)+---+9(x-x)

n=902=36,解得s=6.

n

故选：A.

【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，注意数据平均数、方差的计算公式，属

于基础题.

7.(5分)在锐角aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=26cos4.若

AsinA-cos(C-B)<2恒成立，则实数人的取值范围为()

A.(-8,2&]B.S，2^2)C.(-8,阻]D.(-8,蓊)

33

【分析】由c-6=2灰x)sA可得A=28,从而有C=TT-38,由不等式Asiivl-cos(C-8)

<2恒成立，可得2sii?2B-入sin2B+l>0恒成立，其中(―,2L),设r=sin2B,正

_64

(近，1),则有2尸-人/+1>0在土(近，1)上恒成立，结合二次函数的性质，列出

22

不等式组求解即可.

【解答】解：因为c-b=2比osA,

所以sinC-sinB=2sinBcosA,

即有sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA,

所以sirbAcosB-sinB=sinBcosA,

sinAcosB-sin8cosA=sin8,

sin(A-B)=sinB,

又因为A,B,C均为锐角,

所以A-Be(-—,2L),

22

所以A-8=8,A=2B,

C=n-A-B=it-3B,

所以cos(C-B)=cos(n-48)=-cos4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1,

0<A=2B<^~

0<B<^

因为1'所以看<2号

0<c=7T-3B<^

又因为入sinA-cos(C-B)<2恒成立,

即Asin2B-(2sin22B-1)<2<=>-2sin22B+Asin2B+l<2<=>2sin22B-Asin2B+l>0恒成立,

其中Be（乙，士），

64_

因为加（―,2L）,所以2%（―,2L）,sin2BG（亚，1）,

64322

设，=$抽23,/G（返•，1）,

2_

则有2a-笛+1>0在正（返，1）上恒成立，

2

由二次函数的性质可得:

a

2-入+］》0

解得入wEl.

3

故选：C.

【点评】本题考查了三角恒等变换、正弦定理、二次函数的性质及转化思想，属于中档

题.

8.（5分）式，最均为单位向量，且它们的夹角为45°,设之，三满足

|Z+1|=g,B=U+k£（&eR），则戛-El的最小值为（）

14'4JL4

A.&B.叵C.叵D.

244

【分析】依题意求出Z，E的终点的轨迹，再由点到直线的距离公式求解.

【解答】解：设水=7,OB=b，以7所在直线为X轴’垂直于7所在直线为y轴建立

平面直角坐标系,

则@1=(1,0),e2=

；|；+了|二巨，则点A(x,y)满足(2

24+

工上,

即A的终点在圆足（x2)2

+’8

b=T'+ke->(A€R)，则点B(/,y')满足(/，<)=(1+返_K

1222

故/=1,则8的终点在直线X-〉-1=0时,

则IZ-EI=I赢-祈I=I就I，其最小值为V2V2

V2

故选：C.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化思想，是中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）若复数z=JE-i，则下列说法正确的是（）

A.z在复平面内对应的点位于第四象限

B.|z|=4

c-z2=4-2V3i

D.z的共扼复数W=JE+i

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，复数模公式，复数的四则运算，共飘复

数的定义，即可求解.

【解答】解：复数Z=F-i，

则Z在复平面内对应的点（料，-1）位于第四象限，故A正确；

Iz|=V（V3）2+（-l）2=2,故B错误；

z2=（V3-i）2=3-l-2V3i=2-2V3故C错误；

z的共辗复数W=F+i，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，复数模公式，复数的四则运算，共规复数的定

义，属于基础题.

（多选）10.（5分）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5

日均值在35掰/»?3以下，空气质量为一级：PM1.5日均值在35~75用/加3,空气质量为二

级：PM2.5日均值超过75照/〃产为超标.如图是某地12月1日至10日PA/2.5的日均值（单

B.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差

C.这10天的日均值的中位数为41

D.前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差

【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.

【解答】解：10个数据为:30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,10X0.8=8,

故80%分位数为四箸=69,A选项错误.

5天的日均值的极差为41-30=11,后5天的日均值的极差为80-45=35,8选项正确.

中位数是空匹1=43,C选项错误.

2"

根据折线图可知，前5天数据波动性小于后5天数据波动性，所以。选项正确.

故选：BD.

【点评】本题考查百分位数、极差、中位数、方差等知识，属于基础题.

（多选）11.（5分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为.，b,c,cosA=3,C=2A,

4

则（）

A.aABC为钝角三角形B.C为最大的内角

C.ci：h：c=4：5：6D.AiB：C=2：3：4

【分析】对A,根据同角三角函数和两角和与差的余弦公式即可判断；对8和C,利用

正弦定理即可判断；对利用反证法即可.

【解答】解：对A,由COSC=COS24=2COS2A-1=」>0,得4,C均为锐角，

________________8

则sinA=Ji一号）2斗,sinC=J『（•1）2

因为cosB--cos（A+C）--cosAcosC+sinAsinC=x-X=^->0,

484816

所以B为锐角，^ABC为锐角三角形，A错误；

由cosB=-5-,得sinB=J[_,

sinA<sin8<sinC,根据正弦定理得则A<B<C,

所以C为最大的内角，故8正确；

对C,根据正弦定理有“：b：c=siaA：sinB：sinC=4：5：6,故C正确；

对。，若A：B：C=2：3：4,A+B+C=TT,贝！]R/L,cosB=—,不符合题意，故。错

32

误.

故选：BC.

【点评】本题考查正弦定理的应用，是中档题.

（多选）12.（5分）如图，在多面体中A8OCE,BA,BC,8。两两垂直，四面体AEC。是

正四面体，F,G分别为4E,CC的中点，则下列结论正确的是（）

A.BA=BC=BDB.FG//ABC.BQ〃平面ACED.BELCD

【分析】利用勾股定理判断A,将多面体ABDCE补形成如图所示的正方体AMEN-

BCHD,利用正方体的性质判断B,C,连接BH,即可证明CDJ_平面8EH,从而判断D

【解答】解：对于4由BA,BC,8。两两垂直，四面体AECO是正四面体，

可得BA^BD2=B^+BC2=BC2+BD2,

所以54=BC=BO,则选项A正确.

将多面体ABDCE补形成如图所示的正方体AMEN-BCHD,

对于B：因为尸，G分别为AE,C。的中点，

所以由正方体的性质可得/G〃A8,故B正确.

对于C：易知BD〃CH,C77C平面ACE=C,

所以80与平面ACE不平行，故C错误.

对于。：连接易知CDVEH,

因为BHCIEH=H,BH,EHu平面BE”，

所以CD_L平面BEH,

又8Eu平面BEH,

所以C£>_LBE,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于基

础题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字.将这三张卡片随机排序

组成一个三位数，则该三位数是奇数的概率是2.

-3-

【分析】计算出这三张卡片随机排序包含的所有基本事件的个数以及末位是2包含的基

本事件个数，计算出偶数的概率，再用对立事件知识即可解.

【解答】解：依题意，这三张卡片随机排序包含的所有基本事件的个数为A,=6个，

而该三位数是偶数包含A2=2个基本事件，

所以该三位数是偶数的概率是尸=2=工，

63

则三位数是奇数的概率为1-1=2,.

33

故答案为：2.

3

【点评】本题考查了古典概型的概率计算，考查了排列数的计算，属于基础题.

14.（5分）如图，在三棱锥尸-ABC中，PA=PB=PC=S,ZAPB=ZAPC=ZBPC=40°,

过点A作截面，分别交侧棱PB,PC于E,尸两点，则△AEF周长的最小值为_873_.

【分析】画出侧面展开图，不难求得结果.

【解答】解：将三棱锥由雨展开，如图，

则图中NAM=120°,

AAi为所求，

由余弦定理可得^i=^82+82+2X8x8Xy=8V3>

故答案为：8日.

【点评】本题考查棱锥的侧面展开图，表面距离的最小值的求法，是基础题.

15.（5分）体积为限的三棱锥P-ABC的顶点都在球。的球面上，物，平面ABC,PA=

6

2,NBAC=22L，A8=l,则球。的表面积为87T.

3

【分析】利用体积公式推出AB・3C=1,再利用余弦定理求出AC的最小值，再求出外接

球半径R的最小值，代入求出即可.

【解答】解：由三棱锥P-ABC的体积为近，且％=2,

6

得到V=•JL8A・8Csin27r=近,

3236

：.AB'BC=\,

AC

设三角形A8C的外接圆的半径为八则2r=-,

Slrrl-

则由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB-BC-COS^L=AB2+BC2+AB'BC^3AB'BC=3,当

3

且仅当A8=8C=1成立，

故AC的最小值为我，

a

所以2r》臀=2,r的最小值为1,

V3

2

球的半径/?='1+=2的最小值为R=百互=&.

则球。的表面积的最小值是4n/?2=8n.

故答案为：8n.

【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，是中档题.

16.（5分）德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边

三角形A8C的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为

莱洛三角形.若该等边三角形ABC的边长为1,P为弧AB上的一个动点，则寇.（丽+正）

的最小值为1-V7.

-2-

A

【分析】可设/PCB=e,0<0《告，然后得出

PA*(PB+PC)=(CA-CP)*(CB-2CP)，进行数量积的运算即可得出

(PB+PC)=y-2cos0-V3sin0，然后根据辅助角公式即可求出最小值.

-11.■•,,•

【解答】解：设/PCB=。，0<6<-^，则：PA-(PB+PC)=

3

(CA-CP)-(CB-CP-CP)=(CA-CP)*(CB-2CP)=

Ck-CB+2CP2-2CA-CP-CP-CB=y+2-2cos)-cos6

2cos6-V5sin9=sin(8+Q)，其中tan@=，二

。<萼，

62

•兀/G/K/5兀

66

.••8+0号时，瓦•痂+五)取最小值■Iw?.

故答案为：1-77.

【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，辅助角公式，考查了计算能力，属

于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知复数2=(2/M2-7/n+6)+(m2-m-2)i(wGR).

(1)若复数z为纯虚数，求实数〃?的值；

(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数机的取值范围.

【分析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解.

(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：(1):复数z=(m2-5m+6)+(m2-m-2)i(mGR)为纯虚数,

/.2m2-7〃z+6=0且川-机,-2¥0,解得m=~；

2

(2)二•复数z在复平面内对应的点在第四象限,

.2m2-7m+6>0加曰

.J,解得-1<根<亘；

<02

故实数m的取值范围(-1,3).

2

【点评】本题考查了复数的几何意义的应用和纯虚数的概念，属于基础题.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,h,c,且反osA+〃cosB=2ccosA.

(1)求角A的值；

(2)已知。在边8c上，且BO=3OC,AO=3,求△ABC的面积的最大值.

【分析】(1)利用正弦定理与三角形的内角和定理，即可求出cosA和A的值.

(2)根据平面向量的线性表示，用藤、正表示标，用数量积求模长，根据基本不等式

求出炉的最大值，由此求出△A8C面积的最大值.

【解答】解：(1)△ABC中，bcosA+acosB=2ccosA,

由正弦定理得sin8cosA+sirt4cosB=2sinCcosA,

所以sin(4+8)=2sinCcosA,

因为A+8+C=TI,所以sin(4+8)=sinC,

所以sinC=2sinCcosA,

又因为C是△ABC的内角，所以sinC#0,所以cos4=』；

2

又因为4是△ABC的内角，所以A=三.

3

(2)因为玩=3而所以标-瓦=3(菽-元i)，所以无iq疝号记

所以9=上标2+且它2+旦族.菽，

16168

即9==-^c2+-^-b2+-^-bc,

161616_

由基本不等式得：9,耳c+3bc=^hc,当且仅当人=生应，c=4«时等号成立；

816163

所以AABC面积的最大值为2X16义返=4料.

22

【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题.

19.(12分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，%J_平面A8C£>,四边形4BCD为正方形，PA

=4B=4,G为P。中点.

(1)求证：AG_L平面PCD；

（2）求直线AC与平面尸CQ所成角.

【分析】（1）由题意可证得AGJ_PD,CO_L面出力，进而可证得CDJ_4G,再由线面垂

直的条件可证得结论；

（2）由（1）及题意可知/ACG为直线AC与平面PCD所成角，再由所给的线段长度，

可得NACG的正弦值，进而求出它的大小.

【解答】解：（1）证明：因为南，平面4BC£>,%u面出，

所以面以。，面ABCD,而四边形A8C£>为正方形，所以CD1.AD,

又面PADn面ABCD=AD,CDcfflABCD,

可证得C£）_L面PAD,

因为4Gu面PAD,

所以CDLAG,

因为a=AB=4,G为PC中点，所以AGLPD,

由CDCPD=D,

可证得AG_L平面PCD；

（2）连接CG,由（1）可得CG为AC在面PC。内的投影，

所以/ACG为直线AC与平面PCO所成角，ZACGe[O,—],

2

因为四边形ABC。为正方形，fi4=AB=4,

AryPD|'V2AD1

所以sinZACG=—=-^=——=-------=—,

ACV2ABV2AD2

所以NACG=30°.

所以直线AC与平面PC。所成角30°.

D

B

【点评】本题考查线面垂直的证法及线面角的求法，属于中档题.

20.（12分）根据空气质量指数（AQ/,为整数）的不同.可将空气质量分级如表：

AQ1[0,501（50,100]（100,150]（150,200]（200,250]（250,3001

级别一级二级三级四级五级（4）五级（B）

现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个A。/数据（每个数据均不同），统计绘

得频率分布直方图如图所示.

（1）请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数；

（2）若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一

级”和“五级（B）”数据恰均被选中的概率；

（3）假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQ/（记为3）的关系

式为

’0,0<«<100

s=W

40）-400,100<W<300

若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的

概率.

磊

9丽

x

g

7两

面

儡

4呼

丽

曲

册

进行求

列算式

法直接

值的方

求平均

直方图

分布

频率

利用

件，

的条

给定

根据

】(1)

【分析

答；

；

解答