湖北省荆州市夹竹园中学高二数学理期末试题含解析

湖北省荆州市夹竹园中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列能判定向量，垂直的是()A.·=0

B.=(1，0，3)，=(0，2，0)C.=λ

D.+=－参考答案：B2.观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x）参考答案：A【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．【解答】解：由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），故选A．3.已知集合，，则A∩B=(

)A.{－2,－1,0} B.{－1,0,1} C.{0,1} D.{0,1,2}参考答案：C4.三对夫妇去上海世博会参观，在中国馆前拍照留念，6人排成一排，每对夫妇必须相邻，不同的排法种数为(

)A.6B.24

C.48

D.72参考答案：C略5.在等差数列中，，则的值为：（

）A．20

B.

10

C.

0

D.

-10参考答案：D6.在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支”．古人用天干地支来表示年、月、日、时，十天干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅…一直到癸亥，共得到60个组合，称为六十甲子．如果2016年是丙申年，那么1958年是（）A．乙未年 B．丁酉年 C．戊戌年 D．己亥年参考答案：C【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．【解答】解：由题意，2016年是丙申年，2017年是丁酉年，2018年是戊戌年，1958年和2018相差60年，也是戊戌年．故选C．7.已知在平面直角坐标系中，点P是直线l：l=﹣上一动点，定点F（，0），点Q为PF的中点，动点M满足?=0，=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则?的最小值是（）A． B． C． D．﹣参考答案：A【考点】圆的切线方程；平面向量数量积的运算．【分析】由题意结合平面向量的数量积运算求得M在抛物线y2=2x上，则问题转化为过抛物线上一点，作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，求?的最小值，然后求出满足条件的点M，代入平面向量数量积求解．【解答】解：如图，设P（，m），∵F（，0），点Q为PF的中点，∴Q（0，），再设M（x0，y0），∴，，由=λ，得，即，∴M（），则，．再由?=0，得，即，∴M（），则M在抛物线y2=2x上，设以（3，0）为圆心，以r为半径的圆为（x﹣3）2+y2=r2，联立，得x2﹣4x+9﹣r2=0．由△=（﹣4）2﹣4（9﹣r2）=0，解得r2=5．∴r=．则抛物线y2=2x上的点M到圆心距离的最小值为，切线长的最小值为，且sin，cos∠SMT=1﹣2sin2∠SMC=1﹣．∴?的最小值为=．故选：A．【点评】本题考查了圆的切线方程，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，综合性较强，是难题．8.i是虚数单位，=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数的分母为实数，即可．【解答】解：i是虚数单位，=，故选A．9.如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为D

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.设为非零实数，若，则下列不等式成立的是 A． B．

C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆上一点P到左焦点的距离为3，则P到右准线的距离为

.参考答案：略12.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则=

.参考答案：4略13.已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线在点(1,－3)处的切线方程是

．参考答案：由题意,当时，则，,则,所以曲线在点(1,-3)处的切线的斜率,则切线方程为.

14.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.参考答案：315.已知两曲线，相交于点P，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值是

▲

．参考答案：由，即，即有，设交点，的导数为的导数为，由两曲线在点处的切线相互垂直，可得，且，则，分子分母同除以，即有，可得，解得或（舍去），故答案为.

16.若曲线y=在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是．参考答案：4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．【分析】求导数可得切线的斜率，进而可得切线的方程，可得其截距，由面积为2可得a的方程，解方程可得．【解答】解：对y=求导数可得y′=，∴曲线在P（a，）处的切线斜率为k=，∴切线方程为：y﹣=（x﹣a），令x=0，可得y=，即直线的纵截距为，令y=0，可得x=﹣a，即直线的横截距为﹣a，∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S=|||﹣a|=2，解得a=4故答案为：4【点评】本题考查直线的截距，涉及导数法求曲线上某点的切线，属基础题．17.已知等比数列满足，则_________.参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；∵an=bn+bn+1，∴an﹣1=bn﹣1+bn，∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）cn===6（n+1）?2n，∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]=12+6×﹣6（n+1）?2n+1=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，∴Tn=3n?2n+2．19.已知函数．（1）若函数在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令，是否存在实数a，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：．参考答案：20.如图：已知球的半径为定值，球内接圆锥的高为，体积为，(1)写出以表示的函数关系式；(2)当为何值时，有最大值，并求出该最大值.参考答案：解：(1)连接，设，有，，则有

，即.

分

分(2)

分

不等式取等条件为，即当时，.

分21.（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上。（1）求圆C的方程；(2)若圆C与直线交于A，B两点，且

，求a的值。参考答案：解：（1）曲线与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3+2,0），（3-2,0）。故可设C的圆心为（3，t），则有，解得t=1则圆C的半径为3所以圆C的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组消去y，得到方程由已知可得，从而由于可得又，所以由上可求得a=-1，满足，故a=-122.如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.参考答案：(Ⅰ)解法1:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依题意得

|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.

设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,

则c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.

∴曲线C的方程为.

解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|

|AB|=4.

∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为>0,b>0).

则由解得a2=b2=2,

∴曲线C的方程为

(Ⅱ)