2022年辽宁省抚顺市第一高极中学高二数学理期末试题含解析

2022年辽宁省抚顺市第一高极中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是A.2

B.6

C.

D.12参考答案：C2.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.以下四个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40．②线性回归直线方程=x+恒过样本中心（，），且至少过一个样本点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】①系统抽样时将整个的编号分段要确定分段的间隔，当总体个数除以样本容量是整数时，则间隔确定，当不是整数时，通过从总体中删除一些个体（用简单随机抽样的方法）使剩下的总体中个体的个数能被样本容量整除；②根据样本点中心（，）点必在回归直线上，不一定过样本点，即可分析真假；③根据ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），则正态分布图象的对称轴为x=2，根据在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，进而得到随机变量ξ在（2，3）内取值的概率．【解答】解：①由题意知本题是一个系统抽样，总体中个体数是800，样本容量是40，根据系统抽样的步骤，得到分段的间隔K==20，故①是假命题；②线性回归直线方程=x+恒过样本中心（，），但不一定过样本点，故②是假命题；③由于ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），则正态分布图象的对称轴为x=2，故ξ在（﹣∞，2）内取值的概率为0.5，又由ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（1，2）内取值的概率为0.4故ξ在（2，3）内取值的概率为0.4，故③是真命题；故选：B【点评】本题考查系统抽样、回归直线以及正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解决本题的关键是掌握相关概念，属于基础题．4.过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】当直线与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有两条，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有1条，数形结合即可．【解答】解：如图：当直线l与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4根据双曲线的对称性可知，若|AB|=4，则当直线与双曲线左右各有一个交点时，这样的直线可有两条，当直线与双曲线的一支有两个交点时，这样的直线只有1条，所以若|AB|=4，则这样的直线有且仅有3条，故选：B5.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个,则互斥但不对立的两个事件是（

）

A至少一个白球与都是白球

B至少一个白球与至少一个红球

C恰有一个白球与恰有2个白球

D至少有1个白球与都是红球参考答案：C6.已知函数，则函数f(x)的图象在处的切线的斜率为（

）A.－21 B.－27 C.－24 D.－25参考答案：A【分析】由导数的运算可得：，再由导数的几何意义，即函数的图象在处的切线的斜率为，求解即可.【详解】由题得，所以，解得，所以.故选A【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.7.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在()A.圆x2+y2=2上

B.圆x2+y2=2内

C.圆x2+y2=2外

D.以上三种情况都有可能参考答案：B8.如图，是双曲线：（）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若则双曲线的离心率为(

)

A．

B．

C．2

D．参考答案：A略9.直线被圆截得的弦长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.编号为1，2，3，4，5的5人，入座编号也为1，2，3，4，5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为（）A．120 B．130 C．90 D．109参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意分析可得，“至多有两人对号入座”的对立为“至少三人对号入座”，包括“有三人对号入座”与“五人全部对号入座”两种情况，先求得5人坐5个座位的情况数目，再分别求得“有三人对号入座”与“五人全部对号入座”的情况数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，“至多有两人对号入座”包括“没有人对号入座”、“只有一人对号入座”和“只有二人对号入座”三种情况，分析可得，其对立事件为“至少三人对号入座”，包括“有三人对号入座”与“五人全部对号入座”两种情况，（不存在四人对号入座的情况）5人坐5个座位，有A55=120种情况，“有三人对号入座”的情况有C53=10种，“五人全部对号入座”的情况有1种，故至多有两人对号入座的情况有120﹣10﹣1=109种，故选：D．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要明确事件间的相互关系，利用事件的对立事件的性质解题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点（0，），（2，0）的直线的方程为______________．参考答案：略12.执行右图的程序框图，如果输入，则输出的值为

.参考答案：略13.设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（c为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是

参考答案：14.已知随机变量X服从正态分布，，则__________．参考答案：0.22.【分析】正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．15.曲线在处切线的斜率是

.参考答案：116.不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为

．参考答案：{x|x＜5}17.命题：“若且，则”的逆否命题是_________命题；（填“真”或“假”）参考答案：真

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知为实数，.（1）求导数；（2）若是函数的极值点，求在区间上的最大值和最小值；（3）若在区间和上都是单调递增的，求实数的取值范围．参考答案：（1），．………………3分（2）由，得.，．……………………6分由，得或．…………………7分又，，，，在区间上的最大值为，最小值为．……………9分（3）的图象是开口向上且过点的抛物线.由已知，得……………11分，的取值范围为．……………13分19.（Ⅰ）若，，求证：；（Ⅱ）证明：．参考答案：（Ⅰ）证明∴，∴．（Ⅱ）证明：要证成立，只需证，即证，只需证，即证显然为真，故原式成立.20.函数对任意a,b都有当时，.（1）求证：在R上是增函数.（2）若,解不等式..（3）若的解集是-3，2），求的值.参考答案：解：（1）略（2）（3）略21.某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄段在的人生活习惯是否符合环保理念进行调查。现随机抽取人进行数据分析，得到如下频率分布表和频率分布直方图：（1）求出频率分布表中的值（2）现从第三、四、五组中，采用分层抽样法抽取12人参加户外环保体验活动，则从这三组中应各抽取多少人？

组数分组人数频率第一组[10,20)5

第二组[20,30)

x第三组[30,40)

第四组[40,50)y

第五组[50,60]

合计

n

参考答案：解：（1）由条件可知，第四组的频率为所以

……….6分（2）第三组的人数为第四组的人数为第五组的人数为三组共计60人，从中抽取12人每组应抽取的人数为：第三组（人）第四组（人）第五组（人）所以第3,4,5组分别抽取6,4,2人。

……….12分

略22.已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间．（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为k＜对任意x＞1恒成立，令g（x）=，根据函数的单调性求出k的最大值即可．【解答】解：（1）∵a=2，∴f（x）=2x+xlnx，定义域为（0，+∞），∴f′（x）=3+lnx，由f′（x）＞0得到x＞e﹣3，由f′（x）＜0得到x＜e﹣3，∴函数f（x）=2x+xlnx的增区间为（e﹣3，+∞），减区间为（0，e﹣3）．（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）?k＜，即k＜对任意x＞1恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞