（福建专用）高考数学总复习 第九章第2课时 排列与组合课时闯关（含解析）

一、选择题1．(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种 B．35种C．42种 D．48种解析：选A.总共有Ceq\o\al(3,7)＝35(种)选法，减去只选A类的Ceq\o\al(3,3)＝1(种)，再减去只选B类的Ceq\o\al(3,4)＝4(种)，故有30种选法．2．(2010·高考北京卷)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9) B．Aeq\o\al(8,8)Ceq\o\al(2,9)C．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,7) D．Aeq\o\al(8,8)Ceq\o\al(2,7)解析：选A.不相邻问题用插空法，先排学生有Aeq\o\al(8,8)种排法，老师插空有Aeq\o\al(2,9)种方法，所以共有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)种排法．3．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有()A．10种 B．20种C．30种 D．60种解析：选B.五个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有Ceq\o\al(2,5)，假如编号1、2号人坐的号为1、2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．∴符合题意的坐法有2×Ceq\o\al(2,5)＝2×10＝20(种)．4．(2010·高考山东卷)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种 B．42种C．48种 D．54种解析：选B.分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有Aeq\o\al(4,4)种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有Ceq\o\al(1,3)种排法，其他3个节目有Aeq\o\al(3,3)种排法，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)种排法，依分类加法计数原理，知共有Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝42种编排方案．5．有6名男同学和4名女同学自左至右站成一排，其中女同学不相邻而且最右端必须是女同学的排法种数为()A．Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(4,4) B．Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(6,6) D．Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,6)解析：选B.先从4个女生中取一人站在最右端有Ceq\o\al(1,4)种方法，把六个男生进行全排列，将3个女生插入6个男生的六个空中，有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,6)种，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(6,6)种排法．二、填空题6．某班由8名女生和12名男生组成，现要组织5名学生外出参观，若这5名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有________种．(用数字作答)解析：由题意按分层抽样应抽2名女生和3名男生，则有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(3,12)＝6160种组成方法．答案：61607．在连续自然数100,101,102，…，999中，对于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有________个．解析：分两类：①递减时，若有0，则0在个位，符合要求，从10个数字中选3个不相邻数字，相当于从10个位置中选3个不相邻的位置，故可将所选的3个位置插在其余7个位置的空位之中，故不同的情况共有Ceq\o\al(3,8)种；②递增时，不能有0，则应从1到9的9个数字中，选3个不相邻的数字，同①有Ceq\o\al(3,7)种，故所求的三位数有：Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,7)＝91(个)．答案：918．(2012·三明质检)某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________．(用数字作答)．解析：由题意知按投资城市的个数分两类：①投资3个城市即Aeq\o\al(3,4)种．②投资2个城市即Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)种共有不同的投资方案种数是Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60(种)．答案：60三、解答题9．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有Ceq\o\al(1,6)种选法；再从余下的5本中选2本有Ceq\o\al(2,5)种选法；最后余下3本全选有Ceq\o\al(3,3)种选法．故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60种不同的分配方式．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360种不同的分配方式．10．(1)以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，又因为AB上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？(2)在角A的一边上有五个点(不含A)，另一边上有四个点(不含A)，由这十个点(含A)可构成多少个三角形？解：(1)分类讨论：A、B只含有一个点时，共有2(Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4))＝160(个)；既含A又含B时，共有Ceq\o\al(2,6)＝15(个)；既不含A也不含B时，共有Ceq\o\al(4,10)－1－Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＝185(个)．所以共有160＋15＋185＝360(个)．(2)含A点时，可构成Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＝20个三角形；不含A点时，可构成Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝70个三角形．故共有20＋70＝90个三角形．一、选择题1．(2012·海淀质检)某班班会上准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为()A．360种 B．520种C．600种 D．720种解析：选C.若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝600(种)．2．(2010·高考重庆卷)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A．504种 B．960种C．1008种 D．1108种解析：选C.依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440种，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有Ceq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有Ceq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝48种．因此满足题意的方法共有1440－2×240＋48＝1008种．二、填空题3．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________种．解析：先从6双手套中任选一双，有Ceq\o\al(1,6)种取法，再从其余手套中任选2只，有Ceq\o\al(2,10)种取法，其中选一双同色手套的取法有Ceq\o\al(1,5)种．故总的取法有Ceq\o\al(1,6)(Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(1,5))＝240(种)．答案：2404．(2012·合肥调研)三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选正方体12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为________．解析：如图，任选正方体12条面对角线中的三条，组成一组“T型线”，则必有2条分别在相对的2个面上．以选出面对角线AC，B′D′为例，可得出“AC，B′D′，A′D”、“AC，B′D′，BC′”、“AC，B′D′，A′B”、“AC，B′D′，DC′”这4组“T型线”，即出现面对角线AC，B′D′的“T型线”的组数为4；同理，出现面对角线A′C′，BD的“T型线”的组数也为4；出现面对角线A′D，BC′的“T型线”的组数也为4；0出现面对角线AD′，B′C的“T型线”的组数也为4；出现面对角线A′B，DC′的“T型线”的组数也为4；出现面对角线AB′，D′C的“T型线”的组数也为4.故任选正方体12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为6×4＝24.答案：24三、解答题5．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)种测法，再排余下4件的测试位置，有Aeq\o\al(4,4)种测法．所以共有不同排法Aeq\o\al(4,6)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(4,4)＝103680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法Aeq\o\al(1,4)·(Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)＝576(种)．6．六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙之间恰间隔两人；(3)甲、乙站在两端．解：(1)法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有Aeq\o\al(5,5)种站法，再把甲、乙进行全排列，有Aeq\o\al(2,2)种站法，根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,2)＝240种站法．法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有Aeq\o\al(4,4)种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙站，有Aeq\o\al(1,5)种站法，最后让甲、乙全排列，有Aeq\o\al(2,2)种方法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝240种站法．(2)法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有Aeq\o\al(4,4)种站法，然后将甲、乙按条件插入，有3Aeq\o\al(2,2)种站法，故共有Aeq\o\al(4,4)·(3Aeq\o\al(2,2))＝144种站法．法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在