2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结（解析版）

2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结考点一：已知Sn=f(n)，求an【精选例题】【例1】已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2n+1一1，则数列{an}的通项公式为()n=2n-1D．an=2n+1【答案】【答案】BnSn1nn.故选：B.【例2】定义np1n为n个正数p1,p2,p3,...,pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，则a10等于()A．85B．90C．95【答案】【答案】C10239C前n项和为Sn，下列关于数列{an}的描述正确的有()A．数列{an}为等差数列B．数列{an}为递增数列C．=25，S6成等差数列【答案】ABC2n1，②得nn1ann1n1，即n - -n，故选：C.an=n+1，当n=1时，由①知a1=2，满足an=n+1．所以数列{an}是首项46S2，S4，S6不是等差数列，故D错误，故选：ABC.A．2n-1B．2n+1C．2n【答案】C2【跟踪训练】2-1 1 1，即an=2n-1，综上，an=〈n-11-21.无穷数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2n，则下列结论中正确的有()A．{an}为等比数列B．{an}为递增数列C．{an}中存在三项成等差数列D．{an}中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解：无穷数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2n：n之2，an=Sn-Sn-1=2n1(2,nn1(2,n所以{an}不是等比数列，故A错误；又a1=a2=2，所以{an}不是递增数列，故B错误；假设数列{an}中存在三项ar,am,as成等差数列，由于a1=a2=2，则m-1=2r-1+2s-1：2m=2r-1+2s-1，则：1=2r-m-1+2s-m-1，又s-m-1之0牵2s-m-1之1且2r-m-1>0恒成立，故式子1=2r-m-1+2s-m-1无解，{an}中找不到三项成等差数列，a an故C错误a2n=22n-1(nENa an故C错误a2n=22n-1(nEN*)正确.故选：D.2．对于数列{an}，定义Hn=为{an}的“伴生数列”，已知某数列{an}的“伴生数列”为Hn=(n+1)2，则an=；记数列{an-kn}的前n项和为Sn，若对任意nEN*,Sn<S6恒成立，则实数k的取值范围为.a2a3a2a3a201（22【答案】【答案】3n+1；≤k≤.23223*nEN，令bn=ankn=(3k)n+1，则bn+1bn=3k，可知{bn}为等差数列，又因为对任意nEN*，Sn<S6恒成立，考点二：叠加法（累加法）求通项若数列{an}满足an+1一an=f(n)(nEN*)，则称数列{an}为“变差数列”，求变差数列{an}的通项时，利用恒nan1)公式的方法称为累加法。【精选例题】A.201B.400201200201D.200【答案】【答案】Annanan1n22 n=1时也符合，则a=an a +…+31n【例2】已知数列{an}的首项a1=2，且满足an+1=an+n(nEN*).若对于任意的正整数n，存在M，使得an<M恒成立，则M的最小值是.【答案】【答案】3当当n=2时，a3-a2=2，当n=3时，a4-a3=3，……当n=n-1又：a1=2，:an=3-n-1，：n-1>0，:an<3，若对于任意的正整数n，存在M，使得an<M恒成立，则有M>3，:M的最小值是3.故答案为：3.【答案】【答案】82【跟踪训练】*．求数列{an}的通项公式；11ann-an-1=上式，所以数列{an}的通项公式an=.故答案为：【答案】【详解】-，所以an1 n(n+1)所以an+1-an=-ana-a=……(1)求证：数列{an+1-an}为等差数列，并求{an}的通项公式；(2)设bn=ancosnπ,求数列{bn}的前n项和Tn.n-2)2-a12nnnTT 2,,n为偶数2.|l-2,n为奇数考点三：叠乘法（累乘法）求通项若数列{an}满足a1=f(n)(neN*)，则称数列{an}为“类比数列”，求变比数列{an}的通项时，利用累乘法。具体步骤：=f(1)，=f(2)，=f(3)，…,=f(n-1)a2a2a343 annan-1=f(1).=f(1).f(2)f(3).….f(n-1)f(2)f(3).….f(n-1)【精选例题】），n22an1，因为nn1牵一 a2n1*n121，当n2n1②n牵an+1一aa21【跟踪训练】1.设{an}是首项为1的正项数列，且(n+2)an+12一nan2+2an+1an=0(neN*)，求通项公式an=【答案】【答案】nn+1annnn1 an234nnan1aa2nneN*)，则{an}的通项公式为.22nan12n21 nn12aaaa2n+112n1n，即 an2n+1一22n3一12n1一1n1n2n31a.3．已知数列{an}满足a1=1(1)求数列{an}的通项公式；=n2n1n22.设Sn为数列{bn}的前n项和，求S20.n1n当n=1时，也成立，所以an=n.），20考点四：用“待定系数法”构造等比数列形如an+1=kan+p（k,p为常数，kp子0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为an+1+m=k(an+m)（其中：m=由此构造出新的等比数列{an+m}，先求出{an+m}的通项，从而求出数列{an}的通项公式。【精选例题】【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1且an+1=2an+1，若λ<Sn+2n对任意的neN*恒成立，则实数λ的取值范围为.【答案】【答案】λ<3+n2在neN*上递增，所以+12=3，要使λ<Sn+2n恒成立，则λ<3.故答案为：λ<3n+1【例2】（多选题）数列{an}的首项为1，且an+1=2an+1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()【答案】【答案】AB等比数列，故B正确；则an+1=2n，∴an=2n-1，故C错误；则a31-2n)-n=2n+1n2，故D错误.故选：AB.n1-2【例；】已知数列{an}满足递推公式an+1=2an+1,a1=1.设Sn为数列{an}的前n项和，则an=，4n+7-n-Snn的最小值是.423n-nn+-2，由对勾函数的性质可得，当n=1时，2n=2，2nnn+-2单调递增，当n=2时，2n【答案】2n-1；【详解】因为an+1=2an+1，数列，所以an+1=2n，所以an=2n-，所以-1；所以Sn【跟踪训练】.则{an}的通项公式an=；设Sn为{an}的前n项和，则S2023=.（结果用指数幂表示）【答案】【答案】(|3221013-6079【详解】当n为奇数时an+1=an+2，令n=2k-1,keN*，则a2k=a2k-1+2，当n为偶数时an+1=3an+2，令所以{a2k-1+4}是以9为首项，3为公比的等比数列，所以a2k-1+4=9根3k-1=3k+1，所以a2k-1=3k+1-4，则|3l a_ a_3a_ aa2k2k_1+2k+1_2，当n为奇数时，由n=2k__1,keN*，则k=，所以 2_4=32_4，n所以S2023202322022231013_4)231012_21013_6079)1013_6079故答案为：)an+1an+1n（2）求数列{an}的通项公式.【答案】（1）证明见解析2）an= 【详解】（1）1：a=3+neN*)，:a_a+_ a_a_以为公比的等比数列，以为公比的等比数列，考点五：用“同除指数法”构造等差数列an+1nnq形如an+1=qan+p.qn+1(nan+1nnqq【精选例题】【例1】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3n，求数列{an}的通项公式.【答案】【答案】an=3n2n.+λ=(bn+λ)=数列{bn1}是以为首项，为公比的等比数列，n，得an=3n2n【精选例题】【答案】（1）an=n.2n；【详解】解1）由an+1一2an=2n+1左右两边同除以2n+1）可得-=1，nn；考点六：用“同除法”构造等差数列形如anan+1=kan+1an(k士0)，的数列，可通过两边同除以an+1an，变形为n}的通项公式 an+1ank的形式，从而构造 = = =+ an+1anqan+1anq【精选例题】【精选例题】【答案】Cann4n3n37解得<n<10，因为n为正整数，所以n的最大值为9；故选：C,(nEN)，则满足a>的n的最大取值为()【例2】已知正项数列{an}满足a1=1，且an-an+1=anan+1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn=，记数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn<.【答案】【答案】(1)an=，(2)证明见解析(2)由（1）知an=，则bn===(-)则数列{bn}的前n项和Snn,则数列{an}的通项公式为an【跟踪训练】1.（多选题）已知数列{an}满足a1=1，an-3an+1=2an.an+1(nEN*)，则下列结论正确的是()n}的通项公式为an=n-n【答案】ABan+1（an)a1lanJan+1（an)a1lanJA1B．2C．D2【答案】【答案】BCD【详解】A：当λ=-1时，an+2=-an+1-an，得a3=-a2-a1=-3,a4=-a3-a2=1,a5=-a4-a3=2,a6=-a5-a4=-3，所以数列数列{an}是以3为周期的周期数列，则a2024=a2=2<2024，不符合题意，故A错误；B：当λ=2时，3a254a365a4n2,a434,a65，a32a143a254a365a4=6068>2024，符合题意，故D正确.故选：BCD考点七：取对数法构造等比数列求通项n>0)的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.n>0)的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.【精选例题】A．2204an+1=an6的值为()D．24096【答案】【答案】C=2，易知an>0，故lnan+1=4lnan，故{lnan}是首项为ln2，公比为4的等比数列，51024，故a6=22014.故选：C.【跟踪训练】1．已知数列{an}满足an+1=a一an+4，a1=1，则下列说法正确的有()A．数列{an}是递增数列nn2【答案】【答案】ACD2n，所以数列{an}是a433，故B项错误；对于C项，因为数列{an}是递增数列，所以n之2时，有an>1.TnTnnnn+nn时，有 4nn+1n+1n+12又log2an=l2n1.….log2a2<2n2x2=2n1，所以2a22an2n1n2.当n=1时，有log2ACD.2．已知正项数列{an}的前n项积为Tn，且4Tn2=a+2，则使得>2024的最小正整数n的值为() n*，两式相除可得a=a，上式两边取n1一化简得=n1，解得an=2n+1，又4T=a，即a1=4，所以{an}的通项公式为an=所以满足题意的最小正整数n的值为6.故选：C.考点八：已知通项公式an与前n项的和Sn关系求通项问题解题思路：遇到an与Sn关系，要么把an换为Sn，要么把Sn换为an，利用an=Sn一Sn一1【精选例题】2=a【例1】若数列{an}2=a+nEN*，则数列{an}的通项公式是an=.【答案】(2)n12=a【详解】解：因为Sn2=a【详解】解：因为Snn12=a+23a+1)3n13n1【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=2Sn+2（n=N*则下列说法中错误的是()4n}是等比数列D．{Sn+1}是等比数列【答案】【答案】C【详解】由题意数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=2Sn+2，则a2=2S1nn+1annann+1Sn+1Snn公比为3的等比数列，D正确，故选︰C.nn32224．记各项均为正数的数列{an}的前n项和是Sn，已知a+an=2Sn