2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第2讲：集合的表示5种题型总结 含解析

第2讲：集合的表示5种题型总结

【考点分析】

考点一：集合的表示方法

①列举法

把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号{}括起来表示集合的方法叫做列举法.例

如{α,>,c},{1,2,3}等。

②描述法

一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(X)的元素X所组成的集合表示

为{xeR∣p(x)},这种表示集合的方法称为描述法.例如{Λ∣X>1},{四大名著}等。

③Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.

【题型目录】

题型一：用列举法表示集合

题型二：用描述法表示集合

题型三：集合中元素个数

题型四：根据元素个数求参

题型五：集合新定义试题

【典型例题】

题型一：用列举法表示集合

[例1](2022.全国.高一专题练习)集合{xeN∣x-4<l}用列举法表示为()

A.{0,l,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{θ,l,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的描述法得到集合的列举法.

【详解】

'：x-4<i,

/.%<5.

XxeN,

Λ{x∈7V∣x-4<l}={0,l,2,3,4).

故选：A

【例2】(2021.全国•高一课时练习)集合A=3y=f-l,W≤2,xeZ}可用列举法表示为

，集合B={(x,y)Iy=X2-1,W≤2,X∈Z}可用列举法表示为.

【答案】{-l,0,3}{(-2,3),(-1,0),(0-1),(1,0),(2,3))

【解析】

【分析】

根据集合的描述法可得A中的代表元素为y,再结合满足条件即得，8中代表元素为(χ,y)结

合满足的条件即得.

【详解】

由y=f-l,W≤2,xeZ,知X可取的值为0,±1,±2,

当X=O时，J=-I,当x=±l时，y=0,当X=±2时，y=3,

所以集合A={T0,3};

由题知集合8表示点集，

所以8={(-2,3),(To),(0,T),(l,0),(2,3)}.

故答案为：{-l,0,3},{(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3)).

【例3］用列举法表示下列给定的集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合6；

(3)方程√-2x-3=0的实数根组成的集合C；

(4)方程组4J的解集£>.

X-y=2

解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,

所以4={0,2,4,6,8,10}.

(2)小于8的质数有2,3,5,7,

所以8={2,3,5,7}.

(3)方程x2-2x—3=0的实数根为一1,3,

所以C={-l,3}∙

x+y—4,x—3,

(4)方程组•的解为

所以方程组的解集D={(3,l)}.

【题型专练】

1.(2022・全国•高一课时练习)用列举法表示集合：{(x,y)∣x+y=4,x∈N,y∈N}为

【答案】{(0,4),(l,3),(20,(3,1),(4,0)}

【解析】

【分析】

因为X,y∈N^χ+y=4,所以X只能是0,1,2,3,4；N只能是4,3,2,1,0.用列

举法写出即可.

【详解】

由题知：

{(x,y)∣x+y=4,x∈N,y∈N!=∣(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)!

故答案为：{(0,4),(l,3b(2,2),(3,l),(4,0)}.

A-fɪ+y=lJ

2∙(2022∙全国•高一专题练习)方程组■的解集是()

[x-y=3

A.{2,-l}B.{x=2,y=-l)}

C.{(x,y)∣(2,-l)}D.{(2,-l)}

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可.

【详解】

JX+y=ι乍卜=2

[x-y=3[y=-]

即方程组构成的集合为{(2,T)}.

故选：D.

3.(2021・浙江•玉环中学高一阶段练习)设集合A={(x,y)∣x+y=3,xeN*,yeN*},则用列举法

表示集合A为.

【答案】{(1,2),(2,1)}

【解析】

【分析】

fx>0

根据题意可得CC，则0<x<3,对x=l,2代入检验，注意集合的元素为坐标.

[y=3-X>0

【详解】

.*fx>0

0x+j=3,x∈N,γ∈N,则可得〈C八，则0<x<3

[γ=3-X>0

又l3χ∈N*,则当X=Ly=2成立,当％=2,y=l成立,

0A={(1,2),(2,1)}

故答案为：｛(1,2),(2,1)｝.

4.用列举法表示下列集合：

(1)方程f=2x的所有实数解组成的集合；

(2)直线y=2x+l与y轴的交点所组成的集合；

(3)由所有正整数构成的集合.

解：⑴方程f=2r的解是X=O或x=2,所以方程的解组成的集合为｛0,2｝.

(2)将X=O代入y=2x+l,得y=l,即交点是(OJ),故交点组成的集合是｛(0,l)｝.

⑶正整数有1,2,3,…，所求集合为(1,2,3,…｝.

5.下列命题中正确的()

①O与｛0｝表示同一个集合；

②由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,2,1｝；

③方程(Λ-1)2(Λ-2)=O的所有解的集合可表示为｛1,1,2｝；

④集合｛x14<X<5｝可以用列举法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上语句都不对

【答案】C

【详解】

①｛0｝表示元素为O的集合，而。只表示一个元素，故①错误；

②符合集合中元素的无序性，正确；

③不符合集合中元素的互异性，错误；

④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示.

故选：C.

题型二：用描述法表示集合

【例U用描述法表示下列集合：

(1)不等式2x-3<1的解组成的集合A；

(2)被3除余2的正整数的集合B；

⑶C=｛2,4,6,8,10｝；

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合O.

解：(1)不等式2x—3<1的解组成的集合为A,则集合A中的元素是数，设代表元素为X,则

X满足2χ-3<l,则A=｛x∣2r—3<1｝,即A=｛x∣x<2｝.

(2)设被3除余2的数为X,则x=3"+2,"∈Z.但元素为正整数，故x=3"+2,"∈N.所以

被3除余2的正整数的集合8=｛Rx=3"+2,n∈N｝.

(3)设偶数为X,则x=2〃，"∈Z.但元素是2,4,6,8,10,所以x=2〃，n<5,"∈N*.所以C=｛x∣x

=2n,n<5,"∈N*}.

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0,y>0,故第二象

限内的点的集合为Q={(x,y)∣x<0,y>0).

【例2】(2021•全国•高一单元测试)所有正奇数组成的集合是.

【答案】⅛=2k+l,keN}

【解析】

【分析】

直接根据正奇数的定义得到集合.

【详解】

所有正奇数组成的集合是{H"=2k+l,keN}.

故答案为：{〃|〃=2A+l,&wN}.

【题型专练】

1.用描述法表示下列集合：

(1)比1大又比10小的实数组成的集合；

(2)不等式3x+4N2x的所有解；

(3)到两坐标轴距离相等的点的集合.

解：(1)可以表示成{x∈R∣lα<10}.

(2)可以表示成{x∣3x+4≥2r},即{x∣x>-4}.

(3)可以表示成{(x,y)∣x±y=O}.

2∙(2021∙全国•高一单元测试)所有正偶数组成的集合是.

【答案】{“〃=2Z,左GN*}

【解析】

【分析】

直接根据正偶数的定义得到集合.

【详解】

所有正偶数组成的集合是{4〃=2匕攵∈N*}.

故答案为：{^n=2k,keN*}.

3.(2022•江苏•高一专题练习)集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为()

A.卜卜是不大于9的非负奇数}B.{x∣x=2Z+l,ZwN,且％≤4}

C.∣x∣.r≤9,x∈N'^D,{x∣0≤x≤9,xwZ}

【答案】AB

【解析】

【分析】

利用描述法的定义逐一判断即可.

【详解】

对A,卜卜是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9},故A正确；

对B,{小=2斤+1,匹%,且心4}表示的集合是{1,3,5,7,9},故B正确；

对C,{xk≤9,x€N*}表示的集合是{l,2,3,4,5,6,7,8,9},故C错误；

对D,卜|（^^59»《2}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D错误.

故选：AB.

4.（2022•全国•高一）用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A=.

【答案】{〃旧=4Z+3,%∈N}

【解析】

【分析】

用数学式子表示出自然语言即可.

【详解】

被4除余3的自然数即为4的整数倍加3,

因此A={〃∣"=4左+3,Z∈N）.

故答案为：{"I"=4%+3∕GN}.

5.（2022・全国•高一专题练习）集合M={（x,y）故>0,x+y<0,x∈R,yeR}是（）

A.第一象限的点集B.第二象限的点集

C.第三象限的点集D.第四象限的点集

【答案】C

【解析】

【分析】

利用不等式的性质可得X<0,y<0,进而判断出集合的意义.

【详解】

由xy>0,x+γ<0<≡>x<0,y<0,

故集合M={（χ,y）∣冲>0,*+^<066尺八心是第三象限的点集.

故选：c.

题型三：集合中元素个数

【例1】设集合A={l，2,3},3={4,5},C={x+y|x€A,y€3},则C中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】

x∈AyeB时,x+y的值依次为5,6,6,7,7,8,有4个不同值，即C={5,6,7,8},因此

C中有4个元素.

故选：B.

【例2】(2022•全国•高三专题练习)已知集合A={(x,),)∣Y+y2≤3,xeZ,yeZ},则A中元

素的个数为()

A.9B.8C.5D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据χ,y为整数，分析所有可能的情况求解即可

【详解】

当X=T时，y2<2,得y=T,0,l,

当X=O时，j2≤3,得y=-l,O,l

当X=I时，y2≤2,得y=-l,0,l

即集合4中元素有9个，

故选：A.

【例3】(2022.全国•高一课时练习)已知集合A={l,2,3},B={(x,y)∣x∈AyeA∣x-ykA}中

所含元素的个数为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意利用列举法写出集合B,即可得出答案.

【详解】

解：因为A={l,2,3},

所以8={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素.

故选：C.

【题型专练】

1.(2022.湖南衡阳.高二期末)已知集合A={1,2,3},则集合8={∣x-MXeAyeA}中元素

的个数是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

讨论χ,y取相同数和不同数时，∣χ-)，|的取值即可得出答案.

【详解】

当％y取相同数时，χ-y=θ;当χ,y取不同数时，∣χ-乂的取值可能为1或2,

故B中共有3个元素.

故选:B.

2.(2022・陕西・交大附中模拟(理))已知N*表示正整数集合，若集合

A={(x,γ)∣x2+∕≤21,x∈N∖y∈N*},则A中元素的个数为()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合描述的几何意义，列举出第一象限内符合要求的点坐标，即可知元素的个数.

【详解】

由题设A={(x,y)∣0≤"f+y2≤√^i,χwN*,yeN*},又JΣTw(4,5),

由“2+42=夜>扬'，贝∣J(4,4)任A,

由“2+32=4>国，则(4,3),(3,4)任A，

由"2+2?=回〈国，则(4,2),(2,4)eA，

同理，(4,1),(1,4),(3,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,3),(2,2),(2,1),(2,1),(1,1)均属于集合A,

所以第一象限中有13个点属于集合4

故选：D

3.(2023•全国•高三专题练习)已知集合A={1,2},B={2,4},C={z∣z=x'›∈Ay∈β},

则C中元素的个数为()

A.ɪB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意写出集合C的兀素，可得答案.

【详解】

由题意，"jx=l时，z=xy=1>'ɪX=2,y=2时，Z=XV=4,

当x=2,y=4时，Z=X>'=16,

即C中有三个元素，

故选：C

4.(2022・云南师大附中高三阶段练习(理))已知集合A={0,1,2},

8={(x,y)∣xeAywA,x+yeA,x-yeA},则集合B中元素的个数是()

A.1B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据所给定义求出集合8,即可判断；

【详解】

解：因为A={0,l,2},B={(x,y)∣x∈Ay∈A,x+y∈A,x-y∈A∣,所以

B={(0,0),(1,0),(2,0),(1,1)},即集合8中的元素有(0,0),(1,0),(2,0),(1,1)共4个，

故选:B.

5.已知集合A={1,2},6={2,4},则集合用=卜|2=十、％£44€8}中元素的个数为

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】

因为集合A={1,2},β={2,4}.

所以集合M={2,4,8},

故选：C

6.设集合4={(乂刈凶+卜归1/€乙”2},则A中元素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【详解】

因为xcZ,所以当X=On寸，由k∣+IylWLyeZ可得：y=0,±ls

当X=I时，由∣x∣+∣y∣≤l,y∈Z可得：y=0；

当X=-I时，由国+∣y∣≤l,y∈Z可得：y=0,

当x∈Z,凶＞1时，由W+3≤l,y∈Z可知：不存在整数y使该不等式成立，

所以A={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(—1,0)},

因此A中元素的个数为5.

故选：C

题型四：根据元素个数求参

【例1】已知集合A={x∣0r2+2χ+l=0,αeR}只有一个元素，则”的取值集合为()

A.{1}B.{0}C.{O,-l,l}D.{0,1}

【答案】D

【详解】

解：①当α=0时，A={—；},此时满足条件；

②当α≠0时，A中只有•个元素的话，A=4-4α=0,解得α=l,

综上，4的取值集合为{0,1}∙

故选：D.

【例2】(2022•全国♦高一课时练习)已知集合A={x∣αχ2-3χ+l=0,β∈R),若集合A中至

多只有一个元素，则”的取值范围是.

9

【答案】{0}“:，+∞).

4

【解析】

【分析】

分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围.

【详解】

当α=0时，方程可化为-3x+[=0,

解得x=g,故成立；

当存0时，A=9-4〃&0,

9

解得

4

Q

综上所述，〃的取值范围是{0}U[7，+∞).

4

9

故答案为：{()}U[[÷∞).

4

【例3】已知集合A=EaX2+2x+l=0,α∈7?}.

(I)若A中只有一个元素，求。的值;

（2）若A中至少有一个元素，求。的取值范围；

（3）若A中至多有一个元素，求。的取值范围.

【答案】（1）α=0或。=1；（2）a≤∖;（3）α=0或α≥l.

【详解】

解：（1）若A中只有一个元素，

则当α=0时，原方程变为2x+l=0,此时X=-1符合题意，

2

当αHθ时，方程ar?+2χ+ι=0为二元一•次方程，A=4-4α=0,即α=l,

故当α=0或。=1时，原方程只有一个解；

（2）A中至少有一个元素，

即A中有一个或两个元素，

由△>（）得α<l综合（1）当α≤l时A中至少有一个元素；

（3）A中至多有一个元素，

即A中有一个或没有元素

当A=4-4a<0,

即a>l时原方程无实数解，

结合（1）知当α=0或α≥l时A中至多有个元素.

【题型专练】

1.己知集合A={x∣fl√-3χ+ι=o}中有且只有一个元素，则实数。的取值集合是（）

Q1Q

A.{0Λ}B.{Q,-}C.{0}D.{-}

434

【答案】A

【详解】

当α=0时，4={x∣ox?—3χ+l=θ}={χ∣—3x+1=0}={1},符合题意：

当ɑoθ时，若集合A=W-3χ+ι=o}中有且只有一个元素，

9

则A=9-44=0,解得α=一；

4

9

所以实数。的取值集合是{（）,一}.

故选：A.

aba24-b

2.式子j∑f+j⅛i+p∣+pΞJ[的所有可能取值组成的集合为.

【答案】{2,0}

【详解】

因为J工，

所以6<0,

aba2y∕-b

"必>0时'H+r∏+R'

Clbal4-b八

当时，H+rH+R

aba2y∕-b.,

所以式子同+回+川+/[的所有可能取值组成的集合为{2,0}.

故答案为：{2,0}

3.(2022•宁夏•银川一中高二期中(文))已知集合A=1辰2-3χ+2=0,XeR,aeR}.

(1)若A是空集，求〃的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求“的值，并求集合A；

(3)若A中至少有一个元素，求”的取值范围.

【答案】⑴(2]

⑵当α=0时集合A={∣},当α=∙∣时集合A={g}；

⑶V

【解析】

【分析】

f∆<0

(1)利用A是空集，则{C即可求出。的取值范围；

[α≠0

(2)对4分情况讨论，分别求出符合题意的。的值，及集合A即可；

(3)分A中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得

解.

(1)

解：A是空集，

.∙.6Z≠0MJ<0,

9—8α<O解得。>亮9，

a≠OO

,α的取值范围为：仔+8卜

(2)

解：①当α=0时，集合A={x∣-3x+2=0}={∣},

②当"0时，ʌɪθ,

.∙.9-8a=O,解得α=∙∣,此时集合力={。}，

综上所求，当α=0时集合A={g},当α=∙∣时集合A={g}；

(3)

9

解：A中至少有一个元素，则当A中只有一个元素时，α=0或。=不；

O

[9-8tz>09

当A中有2个兀素时，则〃HO且△>(),BIH,解得α<g且。工0；

[α≠08

9(9-

综上可得〃≤J时A中至少有一个元素，即〃£一%三

Okɑ-

题型五：集合新定义试题

【例1】设P是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的。都有

。+“。一》,。。,@62(除数人式0),则称P是一个数域，例如有理数集。是一个数域，有

b

下列说法正确的是()

A.数域必含有0,1两个数；

B.整数集是数域；

C.若有理数集QcM,则数集M必为数域；

D.数域必为无限集.

【答案】AD

【详解】

m

数集P有两个元素m,N,则一定有m—m=0,—=1(设m，0),A正确；

m

因为1∈Z,2∈Z,-iZ,所以整数集不是数域，B不正确；

2

令数集M=QD{J5},则IGM,但1+J5定M,所以C不正确；

数域中有1，一定有1+1=2,1+2=3,递推下去，可知数域必为无限集，D正确.

故选：AD

【例2】给定集合A，若对于任意。、b&A,^a+b≡A,且a—bwA,则称集合A为

闭集合，给出如下三个结论：

①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合；

②集合A={n∖n=3k,k≡Z}为闭集合；

③若集合4、A2为闭集合，则AA2为闭集合.

其中正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】

对于命题①，取α=2,b=Y,则α—人=6史A,则集合A={T,-2,0,2,4}不是闭集合，

①错误；

e、

对于命题②，任取％、々A,则存在Kk2≡Z,使得n1=3尢，4=3%2，

且ki-k2≡Z,所以，ni+n2=3(⅛1+⅛2)∈A,nx-n2=3(Λ∣-k2)≡A,

所以，集合A={“∣"=3左,左eZ}为闭集合，②正确；

对于命题③，若集合4、4为闭集合，取4=刨〃=3%,火∈Z},A2={∕∕φ”=2fj∈Z},

则4DA,=^x∖x=3>k或X=2左,左∈Z},

取3∈A],2∈4,则3+2=59(AD4),3-2=1)(A,

所以，集合AUA2不是闭集合，③错误.

因此，正确的结论个数为1.

故选：B.

【题型专练】

1.己知集合A中的元素均为整数，对于后wA,如果A—1定A且左+IwA,那么称左是A的

一个“孤立元”.给定集合S={1,2,3,4,