数学北师大版必修2学案1-4-1-2空间图形基本关系的认识空间图形的公理

§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理知识点一点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示[填一填][答一答]1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表示？提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．知识点二空间图形的公理[填一填][答一答]2．你对公理2及课本思考交流中的三个问题是怎样理解的？提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有”说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的．知识点三定理[填一填]空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．这个定理实质上是由如下两个结论合成的：(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．知识点四异面直线所成的角[填一填]知识点五空间四边形[填一填]四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形．[答一答]3．如何理解异面直线？提示：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a、c可确定一个平面α，因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以ABα，即bα.所以a、b、c共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a、b共面，所以这些平行线都共面．公理1、公理2、公理3的意义和作用1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．3．公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.类型一公理、定理的考查【例1】判断下列命题是否正确：(1)空间两两相交的三条直线确定一个平面；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)空间任意一点和一条直线确定一个平面；(4)一组对边平行的四边形一定是平面图形．【思路探究】考查确定平面的条件．【解】命题(1)是错误的．如果三线共点，那么此三线可能不共面，仔细观察教室的墙角处，这是一个很好的反例模型；命题(2)是错误的．四边相等并不能保证此四边形是平面图形，也就不能保证它是菱形；命题(3)是错误的．若点在直线上，那么经过此点和这条直线的平面有无数多个；命题(4)是正确的．因为对边平行，可以确定一个平面α，又四个顶点都在平行的对边上，故都在平面α内，所以另两条边也在平面α内，故此四边形是平面图形．规律方法应准确掌握确定平面的条件．下列命题中正确的是(D)A．空间三点可以确定一个平面B．若两个平面α、β有一个公共点A，则α∩β＝AC．若A、B、C、D四点既在平面α内，又在平面β内，则平面α，β重合D．三角形一定是平面图形解析：A中：若三点在一条直线上，则三点所在的平面不唯一；B中：两个平面不可能只有一个公共点，两平面若不重合，则要么相交(此时有一条公共直线)，要么平行；C中：A、B、C、D四点共线时，平面α、β不一定重合；D中：不共线三点才能构成三角形，∴三角形为平面图形．故选D.类型二多线共面问题【例2】求证：两两相交且不共点的四条直线共面．【思路探究】可尝试先证明其中两条直线确定一个平面，然后证明其他直线也在此平面内．【证明】①没有三线共点情况，如图(1)所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQα，即bα.同理cα，∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面．由①②知，a，b，c，d共面．规律方法1.证明线共面问题往往先利用条件确定一个平面．再证明其余线都在此平面内，也可以证明两个平面重合．2．公理2是确定平面的依据，公理1是确定线在已确定的面上的依据．一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：因为a∥b，所以a和b确定一个平面α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故lα.又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理lβ.即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．类型三线共点和点共线问题【例3】如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线．【思路探究】方法一，证明P，Q，R三点同时在平面ABC和平面α内，利用公理3即可得出结论．方法二，利用直线AP与AR确定平面APR，由平面APR∩α＝PR，再证明点Q在直线PR上即可．【证明】方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB平面ABC，∴P∈平面ABC.由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又∵Q∈α，∴Q∈直线PR，∴P，Q，R三点共线．规律方法点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．常用以下两种方法：方法一，首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；方法二，选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．在三棱锥S－ABC的棱SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH＝P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．证明：如图，∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC.∴EF平面SAC.∵G∈AB，AB平面ABC，H∈BC，BC平面ABC，∴G∈平面ABC，H∈平面ABC，∴GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直线EF，GH，AC交于一点P.类型四公理4与定理的应用【例4】已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等．【思路探究】由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化．【证明】如图所示．由已知得EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD.在△BCD中，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，所以FG∥BD，FG＝eq\f(2,3)BD.根据公理4，知EH∥FG，又FG>EH，所以四边形EFGH有一组对边平行但不相等．规律方法1.证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1证明：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1而C1B1綊BC，∴F1M綊BC∴四边形F1MBC为平行四边形．∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF类型五异面直线所成的角【例5】如右图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC于点A，DA⊥AB于点A，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．【思路探究】根据异面直线所成角的定义，可选择适当的点，分别引BE与DC的平行线．本题中BE可不动，过点E作CD的平行线EF，这样BE与CD所成的角即为∠BEF与其补角中的锐角，在△EFB中求解．【解】取AC的中点F，连接EF和BF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF或其补角中的锐角即为异面直线BE和CD所成的角．∵△ABC为等腰直角三角形，且BC＝eq\r(2)，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).∴△EBF为等腰三角形．在△EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10).故异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).规律方法解决异面直线所成角的问题，通常将空间角转化为平面角，在三角形中求解．如图，已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．(1)求证：EF与PC是异面直线；(2)求EF与PC所成的角．解：(1)证明：若EF与PC不是异面直线，则存在平面α使得E，F，P，C∈α，从而直线PE与CF都在平面α内，∴A，B∈α，故点A，B，C，P都在α内，与P在平面ABC外矛盾，故EF与PC是异面直线．(2)如图，取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥PC，FG∥AB，由PC⊥AB，得EG⊥FG，且EG＝FG＝1，∴EF与PC所成的角为45°.类型六交线的作法【例6】如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面【解】设法找出两个平面的公共点，两公共点的连线就是两个平面的交线．如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.因为M∈FD1，M∈DA，FD1平面BED1F，AD平面ABCD，所以平面BED1F∩平面ABCD＝M，又平面BED1F∩平面ABCD＝B.所以连接MB，则MB＝平面即直线MB为所求两平面的交线．规律方法求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点．本题所求两平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，F，G分别是CC1、BC两边的中点，画出平面D1FG与平面ABCD解：如图，连接AD1，AG，BC1，则AG是平面D1FG与平面ABCD的交线．证明如下：∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，F，G分别是CC1，BC两边的中点，∴FG∥BC1又BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∴A，G，F，D1四点共面于平面D1FG，∵AG平面ABCD，∴AG是平面D1FG与平面ABCD的交线．————多维探究系列——三个平面划分空间问题讨论【例7】三个两两相交的平面可将空间分成几部分？请画出它们的直观图．【思路分析】设三个两两相交的平面分别为α，β，γ，由于它们相交的情况不同，可分三种情况讨论：(1)平面α，β，γ两两相交于同一条直线；(2)平面α，β，γ两两相交的三条直线交于一点；(3)平面α，β，γ两两相交的三条交线平行．【精解详析】(1)当平面α，平面β，平面γ两两相交，且三条交线重合(即α∩β＝l，α∩γ＝l且β∩γ＝l)时，将空间分成六部分，其图形如下图①所示．(2)当平面α，平面β，平面γ两两相交且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成八部分，其图形如下图②所示．(3)当平面α，平面β，平面γ两两相交且三条交线平行时，将空间分成七部分，其图形如下图③所示．【解后反思】首先确定两个平面在空间中的位置关系，再让第三个平面以不同形式介入，以此为分类依据即可解决问题．长方体的各个面延伸后能把空间分成多少部分？解：可想象成分成上、中、下