高中数学必修2第2章2.1.5平面上两点间的距离作业

[学业水平训练]1．已知点A(1，－1)，B(2,3)，则线段AB的长为________．解析：AB＝eq\r(1－22＋－1－32)＝eq\r(1＋16)＝eq\r(17).答案：eq\r(17)2．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．解析：根据中点坐标公式得到eq\f(x－2,2)＝1且eq\f(5－3,2)＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝eq\r(4－02＋1－02)＝eq\r(17).答案：eq\r(17)3．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程是________．解析：∵kAB＝eq\f(2－1,1－3)＝－eq\f(1,2)，∴AB的中垂线的斜率为2，又AB中点为(eq\f(1＋3,2)，eq\f(1＋2,2))，即(2，eq\f(3,2))，故线段AB的垂直平分线方程是y－eq\f(3,2)＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：4x－2y＝54．x轴上任一点到定点(0,2)，(1,1)距离之和的最小值是________．解析：点(1,1)关于x轴的对称点坐标为(1，－1)，要求的最小值为eq\r(1－02＋－1－22)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)5．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为________．解析：由kAB＝eq\f(1,2)，kCD＝eq\f(1,2)，kBC＝－2，kAD＝－2得AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，ABCD为矩形，又AB＝eq\r(1＋12＋2－12)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(－1－02＋1＋12)＝eq\r(5)，∴AB＝BC，故ABCD为正方形．答案：正方形6．直线l1：x－y＋1＝0关于点P(1,1)对称的直线l2的方程为________．解析：法一：设点M(x，y)是直线l2上的任意一点，点M关于点P(1,1)的对称点为N，则N点坐标为(2－x,2－y)．∵直线l1与l2关于点P(1,1)对称，∴点N(2－x,2－y)在直线l1上，∴(2－x)－(2－y)＋1＝0，即x－y－1＝0.∴直线l2的方程为x－y－1＝0.法二：因为点P不在直线l1上，所以l2∥l1，设l2的方程为x－y＋c＝0，在l1上取点A(－1,0)，则A关于点P的对称点A′(3,2)在直线l2上，所以3－2＋c＝0，即c＝－1，所以l2的方程为x－y－1＝0.答案：x－y－1＝07．已知过点P(0,1)的直线l和两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0相交于两点，点P(0,1)恰好是两交点的中点，求直线l的方程．解：法一：过点P与x轴垂直的直线显然不合要求，故设直线l的方程为y＝kx＋1，若与两已知直线分别交于A，B两点，则解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,x－3y＋10＝0))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,2x＋y－8＝0))，可得xA＝eq\f(7,3k－1)，xB＝eq\f(7,k＋2).由题意eq\f(7,3k－1)＋eq\f(7,k＋2)＝0，∴k＝－eq\f(1,4).故所求直线方程为x＋4y－4＝0.法二：设l与l1、l2的交点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．∵A为l1上的点，B为l2上的点，∴x1－3y1＋10＝0,2x2＋y2－8＝0.∵AB的中点为P(0,1)，∴x1＋x2＝0，y1＋y2＝2.∴x2＝－x1，y2＝2－y1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－3y1＋10＝0，,2x1＋y1＋6＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝2.))∴x2＝4，y2＝0.∴A(－4,2)、B(4,0)．∴直线l的方程为y－0＝eq\f(2－0,－4－4)(x－4)，即x＋4y－4＝0.8．求证：梯形中位线平行于上底和下底且等于上底与下底和的一半．证明：如图为梯形ABCD，以线段BC的中点为原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系．分别取AB，CD，AC的中点E，F，G.连结EG，GF.设A(a，b)，C(c,0)，则B(－c,0)．AB的中点E的坐标是(eq\f(a－c,2)，eq\f(b,2))，AC的中点G的坐标是(eq\f(a＋c,2)，eq\f(b,2))．EG＝eq\r(\f(a－c,2)－\f(a＋c,2)2＋\f(b,2)－\f(b,2)2)＝|c|；BC＝2|c|.∴EG＝eq\f(1,2)BC.∴又E，G的纵坐标相同，∴EG∥BC.同理可证，FG＝eq\f(1,2)AD，FG∥AD.于是可得EF∥AD∥BC，EF＝EG＋FG＝eq\f(1,2)(BC＋AD)．而EF即为梯形的中位线，故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半．[高考水平训练]1．光线从点A(－3,5)出发，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为________．解析：利用光学原理，求出点B(2,10)关于x轴的对称点B′(2，－10)．根据两点间的距离公式，得AB′＝eq\r(－3－22＋5＋102)＝5eq\r(10).答案：5eq\r(10)2．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一直线与函数f(x)＝eq\f(2,x)的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析：由题知：直线的斜率k存在且k＞0，设方程为y＝kx，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,y＝\f(2,x)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(\f(2,k)),y＝\r(2k)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(\f(2,k)),y＝－\r(2k)))，∴PQ2＝4(eq\f(2,k)＋2k)，令f(k)＝eq\f(2,k)＋2k.∵k＞0，且当0＜k＜1时，函数f(k)为减函数，当k＞1时，函数f(k)为增函数，∴当k＝1时，函数f(k)取最小值4，即PQ2取得最小值16，PQ取得最小值4.答案：43．求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点坐标．解：设点A′(a，b)是点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，则有AA′与已知直线垂直且线段AA′的中点在已知直线上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(b－2,a－2)＝－1，,2·\f(a＋2,2)－4·\f(b＋2,2)＋9＝0.))解得a＝1，b＝4.∴所求对称点坐标为(1,4)．4．已知倾斜角为45°的直线l过点A(1，－2)和点B，B在第一象限，AB＝3eq\r(2).(1)求点B的坐标．(2)对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称PQ的最小值为P与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P(t,0)到线段AB的距离h关于t的函数关系式．解：(1)直线AB方程为y＝x－3，设点B(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－3,x－12＋y＋22＝18))及x＞0，y＞0得x＝4，y＝1，点B的坐标为(4,1)．(2)设线段AB上任意一点Q坐标为Q(x，x－3)，PQ＝eq\r(x－t2＋x－32)，记f(x)＝eq\r(x－t2＋x－32)，＝eq\r(2x－\f(t＋3,2)2＋\f(t－32,2))(1≤x≤4)，当1≤eq\f(t＋3,2)≤4时，即－1≤t≤5时，PQmin＝f(eq\f(t＋3,2))＝eq\f(\r(2)|t－3|,2)，当eq\f(t＋3,2)＞4，即t＞5时，f(x)在[1,4]上单调递减，∴PQmin＝f(4)＝eq