第8章 信道编码

第8章信道编码8.1信道编码的基本概念8.2译码规则8.3

信道编码定理8.4

线性分组码8.5

循环码8.6卷积码8.7突发错误的纠正

本章小结8.1信道编码的基本概念8.1.1编译码规则、检纠错能力8.1.2平均错误译码概率信源编码信道编码目的压缩，通过去除信源冗余实现纠错，通过引入冗余实现主要指标平均码长平均错误译码概率影响主要指标的因素编码方法编码方法、译码方法编译码之间的关系一个编码方法对应一个译码方法，译码是编码的逆过程一个编码方法可能对应多个译码方法，在这多个译码方法中有一个能使平均错误译码概率最小8.1.1编译码规则、检纠错能力例子1【例8-1，P130】奇偶校验码是一种简单而又常用的编码方法。分为奇校验和偶校验。加入奇偶校验位（冗余位），使奇偶校验码具有检错能力；不具有纠错能力；奇偶校验码能错出一位错误，即检错能力为1位。例子2【例8-2，P131】重复码也是一种常见的信道编码方式。试分析一次、二次和重复编码。设要传送A和B两个消息一次重复编码：A→0，B→1此时没有冗余，无检、纠错能力；当接收到010011时，译码为ABAABB无法发现接收到的字符串中是否有错误；二次重复编码：Ａ→00、B→11此时有1位冗余，称为监督位（监督元、校验元）当接收到010011时会发现无法译码（01）具有检测1位错误能力；无纠错能力；“01”和“10”称为禁用码字，而“00”和“11”称为许用码字。三次重复编码：A→000，B→111有2位冗余；能检测1位或2位错误，即检错能力为2位；当接收到010011时，会发现出现了禁用码字（010、011）无论000010，还是111010，均可判断出现错误因此可以检2位错如果按照“大数法则”译码则译码结果为AB具有纠错能力；如果000010，可正确译码为A；如果111010，不能正确译码，即该错误不能被正确纠正过来因此只能纠1位错8.1.2平均错误译码概率1、平均错误译码概率的计算方法平均错误译码概率Pe为错误译码概率的均值其中p(xi)是信源符号xi的概率，pei是信源符号xi被错误译码的概率。Pe是衡量译码方法好坏的一个重要指标，所选择的译码规则应该使Pe尽可能小。【例8-3，P131】对于三次重复码，假设信源输出的两个符号为等概分布，即信源符号经过三次重复编码后在信道上传输，信道矩阵为试计算此时的平均错误译码概率。平均错误译码概率例子解：2、平均错误译码概率与编码规则有关【例8-4，P132】对于例8-3中的信源和信道，如果进行一次重复编码，平均错误译码概率是多少？并与例8-3的结果进行比较。解：说明：与例8-3的结果不一样；平均错误译码概率与编码规则有关。【例8-5，P132】对于二进制对称信道，信道矩阵和信源分布分别为：信源符号不经过任何编码，直接在信道上传输，采用两种不同的译码规则：译码规则1：0→0、1→1

译码规则2：0→1、1→0试分别计算这两种不同译码规则的平均错误译码概率。3、平均错误译码概率与译码规则也有关解：译码规则1译码规则2说明：在同样的编码规则下，不同译码规则的平均错误译码概率是不一样的；平均错误译码概率与译码规则有关。8.2译码规则【定义8-1】

设信道输入符号集为，输出符号集为，若对每一个输出符号yj都有一个确定的函数F(yj)，使yj对应于唯一的一个输入符号xi，则称这样的函数为译码规则，记为问题的引出：平均错误译码概率与译码规则有关。有没有一种译码规则能使平均错误译码概率Pe达到最小？在不考虑编码规则的前提下，极大似然译码能使平均错误译码概率Pe达到最小。【定义8-2】

选择译码函数F(yj)=x*，使之满足

则称为极大似然译码规则。

极大似然译码能使平均错误译码概率最小。上述条件可改为平均错误译码概率可用下式计算：证明【例8-6，P133】

对例8-5给出的信源和信道，试设计极大似然译码规则，并求平均错误译码概率。译码规则例子11、当时，有因此极大似然译码规则为此时，平均错误译码概率为解：联合概率分布为

2、当时，有因此极大似然译码规则为此时，平均错误译码概率为3、当时，有因此极大似然译码规则为此时，平均错误译码概率为设信道矩阵：1、当输入等概时，给出极大似然译码规则，并计算平均错误译码概率。2、若给出极大似然译码规则；计算平均错误概率。解：1、（1）当输入等概时，极大似然译码规则：（2）计算错误译码概率【例，增】译码规则例子2（1）极大似然译码规则（2）计算错误译码概率2、当输入不等概时，8.3信道编码定理【定理8-1】

有噪信道编码定理（香农第二定理）对于一个给定的离散无记忆信道，信道容量为C，如果信息传输率R<C，只要码长足够长，则一定存在一种编码方法，使译码的错误概率随着码长的增加，按指数下降到任意小。说明这就是说，可以通过编码（增加码长，即引入更多的冗余），使通信过程实际上不发生错误，或者使错误控制在允许范围之内这一定理为通信差错控制奠定了理论基础。8.4线性分组码8.4.1基本概念8.4.2线性分组码的性质8.4.3两个重要参数8.4.4生成矩阵和监督矩阵8.4.5对偶码8.4.6伴随式及错误检测8.4.7

汉明码分组线性：校验元与信息元之间是线性关系称为(n,k)线性分组码(n,k)线性码的每个码字C可以表示为C=(cn-1,cn-2,…,c1,c0)，其中前k位是信息位8.4.1基本概念线性分组码的例子解：(7,3)线性分组码，n=7，k=3。共有23=8种信息码元。码字C=(c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0)，其中c6、c5、c4为信息元，c3、c2、c1、c0为监督元，每个码元取值为“0”或“1”。【例8-7，P135】（7，3）线性分组码的编码规则为：（监督方程、校验方程）c3=c6+c4c2=c6+c5+c4c1=c6+c5c0=c5+c4

试给出编码表。8.4.2线性分组码的性质【定理8-2】线性分组码满足封闭性：设二元线性分组码CI

，若X和Y为其中的任意两个码字，则X+Y也是CI中的一个码字。1、封闭性证明2、线性分组码一定包含全0码字证明全0信息元对应的码字就是全0码字。8.4.3两个重要参数编码效率R：简称码率。编码效率定义：R=k/n；码元中信息元所占的比例；是衡量线性分组码有效性的重要指标；在纠错能力相同时，编码效率大的码优于编码效率小的码。1、编码效率最小汉明距离：最小汉明距离，衡量抗干扰能力；用(n,k,d)表示距离为d，码率为R=k/n的线性分组码纠错码的基本任务之一就是构造出R一定且dmin尽可能大的码，或dmin一定且R尽可能大的码2、最小汉明距离码的重量汉明重量：在信道编码中，定义码字中非零码元的数目为码字的汉明（Hamming）重量，简称码重；如：“010”码字的码重为1“011”码字的码重为2最小汉明重量：在非零码字中，重量最小者称为最小汉明重量【例8-8，P136】接例8-7，试计算（7，3）线性分组码的最小汉明重量。解：除全0码字之外，其他码字重量都为4，故最小汉明重量为4。汉明距离及最小汉明距离汉明距离：码字x和y之间，对应位取值不同的个数，简称码距，用d(x,y)表示。例如：x=(101)，y=(111)则d(x,y)=1汉明距离有以下三个性质：(1)对称性：d(C1,C2)＝d(C2,C1)(2)非负性：d(C1,C2)≥0(3)三角不等式：d(C1,C2)≤d(C1,C3)＋d(C3,C2)最小汉明距离：(n,k)分组码中任意两个码字之间汉明距离的最小值，用dmin表示最小汉明距离的例子【例8-9，P136】接例8-7，试计算（7，3）线性分组码的最小汉明距离。解：经过两两计算汉明距离，得到最小汉明距离为4。最小汉明距离与最小汉明重量的关系【定理8-3】线性分组码的最小距离等于码中码字的最小重量。证明码的检错及纠错能力检测e个错码，则要求最小码距：dmin≥e+1纠正t个错码，则要求最小码距为：dmin≥2t+1纠正t个错码，同时能检测e(e>t)个错码，则要求最小码距为dmin≥e+t+1【例8-10，P138】接例8-7，试分析（7，3）线性分组码的检错和纠错能力。解：例8-9得到dmin=4。码的检错和纠错的例子最多能检测dmin-1=3个错误；最多能纠正个错误；当它同时用于检错和纠错时，要求即能纠正1位错误，同时检2位错误。8.4.4生成矩阵和监督矩阵1、生成矩阵【例8-11，P138】接例8-7，（7，3）线性分组码的编码规则如右，试给出生成矩阵。解：设分组码是C=(c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0)，信息元是M=(c6,c5,c4)，即C是码字，M是信息，则编码规则可以表示为即C=MG，其中称为生成矩阵c3=c6+c4c2=c6+c5+c4c1=c6+c5c0=c5+c4

c6=c6c5=c5c4=c4c3=c6+c4c2=c6+c5+c4c1=c6+c5c0=c5+c4

生成矩阵在(n,k)线性分组码中,每个码字C都可以表示为C＝MG则G是该(n,k)线性分组码的生成矩阵，即生成矩阵G建立了消息与码矢间的一一对应关系，它起着编码器的变换作用；生成矩阵的每一行都是一个码字。（后面定理8-4给出）生成矩阵不是唯一的例子【例8-12，P139】给出两个生成矩阵。分别求出码字空间，并进行分析。解：

C＝MG结果如右讨论这两个码的检错和纠错能力一样但是G2是系统码，G1是非系统码系统码的编译比较简单，而性能与非系统码一样，因此系统码得到了广泛的应用和研究系统码的生成矩阵可以表示为G＝[IkP]Ik---k×k阶单位方阵不同的生成矩阵可能生成相同的码字空间生成矩阵的初等变换变换非系统码生成矩阵变为与它等价的系统码生成矩阵的方法交换行的位置；将一行加到另一行上；交换列的位置。

如例8-12生成矩阵的每一行都是一个码字【定理8-4】生成矩阵的每一行都是一个码字。证明在线性分组码(n,k)中，如果矩阵H使得对任意码字C都有下式成立则H称为(n,k)线性码的一致监督矩阵(或校验矩阵)其中2、监督矩阵监督矩阵的标准形式对H各行实行初等变换，将后r列化为单位子阵:H＝[QIr]这种形式的H称为监督矩阵H的标准形式如例8-11：(7,3)分组码，监督矩阵是标准形式为c3=c6+c4c2=c6+c5+c4c1=c6+c5c0=c5+c4

c6+c4+c3=0c6+c5+c4+c2=0c6+c5+c1=0c5+c4+c0=0一般关系：HGT＝0T

或GHT＝0如例8-11系统码的生成矩阵与监督矩阵标准形之间的关系（G=[Ik

P]、H=[QIr]）：

其中：P＝QT

或Q=PT

3、生成矩阵和监督矩阵关系【例8-13，P141】接例8-11，已知（7，3）线性分组码的生成矩阵为求监督矩阵。解：（G=[Ik

P]、H=[QIr]）：

其中：P＝QT

或Q=PT

生成矩阵与监督矩阵关系的例子8.4.5对偶码对一个(n,k)线性码CI，由于HGT＝0T，如果以G作监督矩阵，而以H作生成矩阵，可构造另一个码CJCJ是一个(n,n-k)线性码，称为CI的对偶码(7,3)码的生成矩阵和监督矩阵为则将两个矩阵的作用对换，得到对偶码(7,4)码的生成矩阵和监督矩阵为变换后为标准形式对偶码的例子【例8-14，P141】求（7，3）线性分组码的对偶码。解：

得到的：(7,3)码和(7,4)码8.4.6伴随式及错误检测伴随式（监督子，校验子）对接收码字R，用监督矩阵H来检验R是否满足监督方程，即HRT＝0T是否成立若HRT＝0T成立，则认为R是一个码字，否则判为码字在传输中发生了错误把S＝RHT或ST＝HRT，称为接收码字R的伴随式(或监督子，或校验子)1、伴随式错误图样错误图样：设发送码字C＝(cn-1，cn-2，…，c0)，而接收到的码字为R＝(rn-1,rn-2,…,r0)，则定义E＝(en－1，en－2，…，e0)=R-C，为信道的错误图样

错误图样含义：若ei＝0，表示第i位无错，若ei＝1，则表示第i位有错2、伴随式的错误图样表示伴随式的错误图样表示则此时伴随式为ST＝HRT＝H(C＋E)T＝HCT+HET＝HET若将监督矩阵H表示为H=[h1

h2…hn]

式中，hi为H的第i列即则此时伴随式可表示为ST＝HET＝h1en－1＋h2en－2＋…+hne0，这叫做伴随式的错误图样表示基本结论伴随式仅与错误图样有关，而与发送的具体码字无关，即伴随式仅由错误图样决定伴随式是错误的判别式：若S＝0，则判没有出错，接收字是一个码字，若S≠0，则判有错二元码伴随式是H阵中与错误码元对应列之和

如E=[00101]，则伴随式是监督矩阵中第3和第5列的和。利用这点可以用来纠错（译码）。ST＝HET＝h1en－1＋h2en－2＋…+hne0，这叫做伴随式的错误图样表示伴随式译码的基本过程3、根据伴随式译码结束【例8-15，P143】接例8-13，二元（7，3）线性分组码的监督矩阵为设发送码字C＝(1010011)试分别对三个接收码字R1=[1010011]、R2=[1110011]、R3=[0011011]译码。解：

伴随式的例子11、接收到的码字R＝(1010011)接收码字R的伴随式为译码器判接收字无错，即传输中没有发生错误2、接收到的码字R＝(1110011)接收码字R的伴随式为ST≠0，译码器判为有错(7，3)码是纠单个错误的码，且ST等于H的第二列，因此判定接收码字R的第二位是错的，因此译码为(1010011)由于接收字中错误码元数与码的纠错能力相符，所以译码正确发送码字C＝(1010011)伴随式例1（续）伴随式例1（续）发送码字C＝(1010011)3、接收码字R＝(0011011)码元错误多于1个其伴随式为ST不等于0，但与H阵的任何一列都不相同；至少是监督矩阵两列的和（如第1、4列的和或第2、7列的和）无法判定错误出在哪些位上，即此时只能发现有错伴随式例2【例，增】(15,7)码的生成矩阵和监督矩阵分别为该码可以纠正2位错发送码字C＝(101001100101110)如：接收码字R=(111101100101110)ST不等于0，H阵的第2、4列的和相同，因此错误出现在第2、4位上，码字可以纠正为(101001100101110)8.4.7汉明码汉明码是1950年由汉明提出的能够纠正1位错码且编码效率较高的一种线性分组码。它不仅性能好而且编译码电路非常简单，易于工程实现，因此是工程中常用的一种纠错码二元汉明码的参数n，k和d分别为码长：n=2r-1信息位数：k=2r-r-1监督位数：r=n-k最小码距：dmin=3由于dmin=3，因此能纠正1个随机错误或检测2个错误汉明码的构造汉明码的监督矩阵H的列为所有非零的r维向量组成，所以一旦r给定，就可构造出具体的(n，k)汉明码。汉明码的构造例子【例8-16，P145】试构造一个二元的（7,4,3）汉明码。解：由于r=7-4=3因此H中共有23-1=7列将该监督矩阵进行行列交换，得到监督矩阵的标准形式H＝[QIr]这种行列交换，对码的性能没有影响。此时得到的汉明码为系统汉明码。列为所有非零的7维向量根据监督矩阵可得到系统汉明码的生成矩阵，即（G=[Ik

P]、H=[QIr]）：

其中：P＝QT

或Q=PT得到二元的（7,4,3）汉明码为汉明码的构造例子（续）信息元码字信息元码字000000000001000100001100010001111100110011000010001011010101010101001100110011011101101001000100101110011001100101010101011011101001011001100111110111000001110111100111111111118.5循环码循环码是一类最主要、最有用的线性分组码；1957年普朗格(Prange)首先开始研究循环码；循环码具有许多优良的性质，在理论和实践中都是十分重要的。8.5.1循环码的基本概念8.5.2循环码的生成多项式和监督多项式8.5.3循环码的译码8.5.4BCH码8.5.5RS码8.5.1循环码的基本概念设C是一个(n,k)线性码；如果C中的任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C中的一个码字，那么就称此码是一个循环码；循环左移与循环右移是等价的循环左移i位等于循环右移n-i位因此可以默认循环移位为循环左移码字C=(cn-1,cn-2,…,c1,c0)循环移位i位之后为C(i)＝(cn-i-1,cn-i-2,…,c0,cn-1,…,cn-i+1,cn-i)循环码举例如：例8-7给出的（7，3）线性分组码是一个循环码：码字的多项式设码字C=(cn-1,cn-2,…,c1,c0)，用各个分量作为系数，可以写出一个多项式C(x)=cn-1xn-1＋cn-2xn-2＋…＋c1x＋c0则C(x)就是相应码字的多项式；码字C与多项式C(x)是一一对应的。循环码的码字多项式码字循环移位之后，码字多项式的变化(选3个编码为例)：C1(0111010)的多项式C1(x)=x5+x4+x3+xC2(1110100)的多项式C2(x)=x6+x5+x4+x2C3(1101001)的多项式C3(x)=x6+x5+x3+1三者的关系为C2(x)=xC1(x)=C1(1)(x)，C3(x)=x2C1(x)mod(x7+1)=C1(2)(x)这表明C(i)(x)≡xiC(x)mod(xn＋1)C(x)乘以xi的目的是左移i位，对xn+1取余式的目的是循环左移循环循环码的多项式举例【例，增】(7，3)循环码可由任一个码字，比如0011101经过循环移位，得到其他6个非0码字(7，3)循环码也可由码多项式x4+x3＋x2＋1，乘以xi，再模x7＋1得到其他6个非0码多项式8.5.2循环码的生成多项式和监督多项式1、生成多项式循环码可由一个非零码字经过循环移位得到其他非0码字；因此在(n，k)循环码的2k个码多项式中，只要给出一个就可以推得其它选择其中前k-1位皆为0的码多项式g(x)(次数r＝n-k)，这个多项式叫做(n，k)循环码的生成多项式g(x)＝gn-k

xn-k＋gn-k-1xn-k-1＋…＋g1x＋g0生成多项式的性质g(x)＝gn-k

xn-k＋gn-k-1xn-k-1＋…＋g1x＋g0生成多项式的次数为n-k；生成多项式是(n,k)线性分组码的所有非零码多项式中，次数最低的多项式；在(n,k)循环码中，g(x)是唯一的n-k次多项式；生成多项式g(x)一定是xn+1的因式。因此，分解xn+1，其中次数为n-k的因式就是生成多项式说明说明生成多项式的构造分解多项式x7+1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)因此生成多项式为：g1(x)=(x+1)(x3+x2+1)=x4+x2+x+1或者g2(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1【例8-17，P147】求(7,3)循环码的生成多项式。解：00000000111001001011111100100101110110010110111001001011由g1(x)生成的循环码00000001101001001110110100110111010010011111101001001110由g2(x)生成的循环码如果g(x)为(n，k)循环码的生成多项式，则必为xn＋1的因式，因此xn＋1＝h(x)·g(x)如果多项式h(x)满足xn＋1＝h(x)·g(x)，且hk＝1,h0＝１，则称h(x)为(n，k)循环码的监督多项式h(x)＝hkxk＋hk-１xk-１＋…＋h1x＋h0对偶码以n-k次多项式g(x)为生成多项式，则生成一个(n，k)循环码以h(x)为生成多项式，则生成(n，n-k)循环码这两个循环码互为对偶码2、监督多项式生成矩阵(n,k)循环码的生成多项式g(x)经k-1次循环移位，共得到k个码多项式：

g(x)，xg(x)，…，xk-1g(x)这k个码多项式的系数可作为生成矩阵G(x)的k行，即3、生成矩阵和监督矩阵生成矩阵举例解：【例，增】设(7,4)循环码的生成多项式g(x)＝x3＋x＋1，求其生成矩阵G。监督矩阵(n，k)循环码的监督多项式为h(x)＝hkxk＋hk-１xk-１＋…＋h1x＋h0则(n，k)循环码的监督矩阵为循环码的生成矩阵、监督矩阵举例(7，3)码：x7＋1＝(x3＋x＋1)(x4＋x2＋x＋1)4次多项式为生成多项式：

g(x)＝x4＋x2＋x＋1＝g4x4＋g3x3＋g2x2＋g1x＋g03次多项式则是监督多项式：

h(x)＝x3＋x＋1＝h3x3＋h2x2＋h1x＋h0则生成矩阵和监督矩阵分别为【例8-18，P148】求(7,3)循环码的生成多项式、监督多项式、生成矩阵、监督矩阵。解：8.5.3循环码的译码循环码的译码包括三个步骤计算伴随式求伴随式对应的错误图样用错误图样纠错（译码）相比于一般线性分组码，循环码的译码更加简单易行伴随式一般线性分组码的伴随式（矩阵形式）：S=RHT或ST=HRT，这对循环码也是适用的；循环码伴随式的特殊求法（多项式形式）S(x)≡R(x)modg(x)即循环码的伴随式是接收多项式R(x)除以g(x)的余式循环码译码例接收到码字：R(x)=x6+x3+x+1S(x)≡R(x)modg(x)=x2+1，即S=[101]T而h(x)=x7+1/g(x)=x4+x2+x+1，即伴随式是监督矩阵的第一列，因此码字的第1位出错，译码为0001011，正确译码【例8-19，P148】一个(7,4)循环码的生成多项式g(x)＝x3+x+1，一个码字为0001011，若该码字在传输过程中发生错误，接收到的码字变为1001011，试对其译码。解：8.5.4BCH码是一种获得广泛应用的能够纠正多个随机错码的循环码，是迄今为止所发现的一类性能较优的码；BCH码的重要性在于它解决了生成多项式与纠错能力的关系问题BCH的历史（是以3位发明这种码的人名(Bose-Chaudhuri-Hocguenghem)命名的）1959年霍昆格姆(Hocgenghem)和1960年博斯(Bose)及查德胡里(Chaudhuri)分别提出的纠正多个随机错误的循环码，称为BCH码1960年彼得森(Pelerson)找到了二元BCH码的第一个有效算法，后经多人的推广和改进1967年由伯利坎普(Berlekamp)提出了BCH码译码的迭代算法，从而将BCH码由理论研究推向实际应用阶段，使它成为应用广泛而有效的一类线性码BCH码的基本参数对任何正整数m(3)和t(<2m-1)，存在一个二元BCH码，具有下面的参数码长：n=2m-1一致校验位的数目：n-k

mt最小码距：dmin2t+1能纠正n=2m-1个码元中任意不超过t个错误即给定符合条件m3、t<2m-1的m和t之后，总能设计出一个二元BCH，满足码长为2m-1，并能纠正t个随机错误。1、BCH码的生成多项式和参数BCH码的定义g(x)是一个循环码的生成多项式，如果g(x)=0的根中包括2t个连续根

,

2,

3,…,

2t，则由g(x)生成的循环码叫做BCH码。此时g(x)=(x-

)(x-

2)…(x-

2t)=0如何构造出满足该条件的生成多项式g(x)是比较困难的，有兴趣的同学可以自学nktg(x)（八进制）74113151112315727211553246731261453121235513116310765731115542332531673133650473126175635711032、部分常用BCH码的生成多项式说明：(721)8=111010001【例8-20，P150】对(7,4)BCH码，一个码字为1101001，若该码字在传输过程中发生错误，接收到的码字变为1101000，试对其译码。解：(13)8=001011BCH码举例nktg(x)（八进制）74113（001011）1511123157272115532467312614531212355131163107657311155423325则生成矩阵为初等变换为系统码生成矩阵为如果信息元为1101，则对应的码字为1101001如果接收到的码字为1101000，则伴随式为001，是监督矩阵的最后一列，则译码结果为1101001BCH码举例（续）监督矩阵H为（G=[IkP]、H=[QIr]）：

其中：P＝QT

或Q=PT因此伴随式为8.5.5RS码里德-索罗蒙（Reed-Solomon）码，简称RS码RS码是q元BCH码编码方式类似RS码是以数据块进行编码例如如果q=4，数据块的长度就是2如果q=8，数据块的长度就是3RS码即可以纠随机错误，又可以纠突发错误。8.6卷积码8.6.1卷积码的基本概念和基本原理8.6.2卷积码的编码8.6.3卷积码的矩阵表述1955年埃里亚斯(Elias)最早提出卷积码的概念卷积码(又称连环码)指的是在任意给定时刻，编码器输出的n0个码元中，每一个码元不仅和此时刻输入的k0个信息元有关，还与前面连续m0个时刻输入的信息元有关，可以用（n0,k0,m0）表示；8.6.1卷积码的基本概念和基本原理几点说明：典型的卷积码一般选较小的n0和k0(k0<n0)，但存储器数m0则取较大的值(m0<10)卷积码的编码效率为R＝k0/n0在同样的编码效率R下，卷积码的性能优于分组码，至少不低于分组码但是卷积码不像分组码有严格的代数结构，至今没有严密的数学手段将纠错能力与码的结构十分有规律的联系起来。8.6.2卷积码的编码设卷积码编码器输入码序列为U=[us-m0(1)us-m0(2)…us-m0(k0)…

us-1(1)us-1(2)…us-1(k0)

us(1)us(2)…us(k0)…]编码器的输出，即码字为C=[cs(1)cs(2)…cs(k0)

cs(k0+1)…cs(n0)]则非系统码的编码为系统码的编码为

其中gt(i,j)的值是0或1；定义：g(i,j)=[g0(i,j)g1(i,j)…gm0(i,j)]是卷积码的生成序列，共有k0*n0个生成序列，每个序列的长度为m0+1比特，它的作用与线性分组码中的生成矩阵类似，表明如何由信息元得到码字。卷积码编码例1对于(3,1,2)系统卷积码则n0=3，k0=1，m0=2U=[us-2(1)us-1(1)us(1)]因此它有3个生成序列g(1,1)、g(1,2)、g(1,3)则编码方法为【例8-21，P151】(3,1,2)系统卷积码的3个生成序列为

g(1,1)=[100]g(1,2)=[110]g(1,3)=[101]试构造它的编码规则。解：卷积码编码例2(3,2,2)系统卷积码则n0=3，k0=2，m0=2U=[us-2(1)us-2(2)us-1(1)us-1(2)us(1)us(2)]因此它有6个生成序列：g(1,1)、g(1,2)、g(1,3)、g(2,1)、g(2,2)、g(2,3)，【例8-22，P151】(3,2,2)系统卷积码的生成序列为

g(1,1)=[100]，g(1,2)=[000]，g(1,3)=[101]g(2,1)=[000]，g(2,2)=[100]，g(2,3)=[110]试构造它的编码规则。解：卷积码编码例2（续）6个生成序列的值分别为g(1,1)=[100]，g(2,2)=[100]g(1,2)=[000]，g(2,1)＝[000]g(1,3)=[g0(1,3)g1(1,3)g2(1,3)]=[101]g(2,3)=[g0(2,3)g1(2,3)g2(2,3)]=[110]该码的任一子码Cs为8.6.3卷积码的矩阵表述生成矩阵其中叫做基本生成矩阵称为生成子矩阵。生成子矩阵gt与生成序列g(i,j)的关系而因为g(1,1)=[100]，g(1,2)=[110]，g(1,3)=[101]即生成子矩阵为g0=[111]，g1=[010]，g2=[001]所以生成矩阵为【例8-23，P152】接例8-21。试构造(3,1,2)系统卷积码的生成矩阵，并计算当输入序列（即信息序列）为U=[1011010100…]时，卷积码的输出序列（即码字序列）。解：卷积码生成例1若信息序列为U=[1011010100…]则输出码字序列为即输出序列为[111010110101011…]卷积码生成例1（续）【例8-24，P153】

(3,2,1)卷积码的生成子矩阵分别为求卷积码的生