第七章 复数综合测试卷（解析版）

第七章复数综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则“”是复数“为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由“”为纯虚数，得，解得，故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.故选：C.2．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，实部为，虚部为，因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.故选：D3．已知，，且，则（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【解析】因为，即，即，因为，，所以，解得，所以.故选：A4．已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以的虚部是.故选：D5．欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故.故选：A.6．下列命题中，正确的个数为（

）①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是；②复数是的根，则；③若复数是关于的方程的一个根，则；④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.A． B． C． D．【答案】B【解析】对于①，因为，则向量对应的复数是，①错；对于②，由可得，解得，故，②对；对于③，由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、，所以，，解得，故，③对；对于④，因为，所以，复数对应的点的轨迹是以为圆心半径为的圆，④错.故选：B.7．已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1，故选：A．8．设、为复数，下列命题一定成立的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，是正实数，那么D．如果，那么为实数【答案】D【解析】设，对于A：∵，则，可得，不能得到，例如，满足，但显然，故A错误.对于B：若，，则，显然且，故B错误；对于C：∵，则，且只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，故C错误；对于D：令，则，因为，所以，所以，则，所以为实数，故D正确；故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（

）A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限 B．C． D．【答案】ABCD【解析】A选项，，故在复平面内复数所对应的点位于第一象限，A正确；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选：ABCD10．下列命题正确的是（

）A． B．若，则C．若，，则 D．若，，且，则【答案】AC【解析】对于A，根据数集的包含关系，正确，故A正确；对于B，若，设，则，，，故B错误；对于C，设，，，，则，故C正确；对于D，若，，则，，故D错误.故选：AC.11．已知复数，复数所对应的向量分别为，其中O为坐标原点，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABD【解析】对选项A：，则，即，即，故A正确；对选项B：，则，即，，，故B正确；对选项C：，则，，当时，，故C错误；对选项D：，则且，解得或，，故，故D正确；故选：ABD.12．设复数，满足，，则下列结论中正确的是（

）A．的共轭复数为B．C．若是方程的根，则D．【答案】AD【解析】因为，所以，故A正确；因为，所以，故B不正确；因为是方程的根，且，所以，所以，所以，故C错误；因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：AD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则.【答案】【解析】由复数为纯虚数，可知，，得.故答案为：14．如果都是实数，关于的方程有一个根，则【答案】【解析】因为为关于的方程的一个根，所以为关于的方程的一个根，所以，解得，，所以.故答案为：.15．已知为虚数单位，若复数满足，则.【答案】/【解析】设，则，所以，因为，所以，所以，所以，则.故答案为：.16．复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为【答案】20【解析】设，则.所以点的坐标分别为又两点连线的中点对应的复数为，解得.又的面积为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）实数取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)纯虚数？【解析】（1）由已知得,其中复数的实部为，虚部为，当时，即或时复数为实数.（2）当，即，即时，复数为纯虚数.18．（12分）计算下列各题:(1)；(2).【解析】（1）.；（2）..19．（12分）已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数z和|z|；(2)若在第四象限，求m的取值范围.【解析】（1）设，则，由为实数，得，则，由为实数，得，则，∴，则；（2），由在第四象限，得，解得或，故m的取值范围为．20．（12分）已知复数，，为虚数单位.(1)求及；(2)若，求的共轭复数.【解析】（1），，，，．（2）由所以.21．（12分）（1）计算：的值；（2）在复数范围内