新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.2排列数第2课时排列的综合应用学生用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时排列的综合应用学习任务1．掌握几种有限制条件的排列．(逻辑推理)2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(数学运算、数学建模)类型1数字排列问题【例1】用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数．[思路导引]明确奇数和偶数的特点→[尝试解答][母题探究]1．(变结论)若例题中的条件不变，求能被5整除的五位数有多少个？2．(变结论)本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项？数字排列问题的常用方法及注意事项常用方法：主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论．注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．[跟进训练]1．(源自人教B版教材)用0，1，2，…，9这10个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？类型2排队、排节目问题元素的“在”与“不在”问题【例2】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？[尝试解答]“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，无论是从元素考虑，还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会儿考虑元素，一会儿考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．“相邻”与“不相邻”问题【例3】某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．[尝试解答]1．“相邻”问题“捆绑法”将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有An(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有Ak(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有An2．“不相邻”问题“插空法”将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：(1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有An(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有An(3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有An定序问题【例4】7人站成一排．(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有多少种排列方法？(2)甲在乙的左边，有多少种排列方法？[尝试解答]固定顺序的排列问题的求解方法定序问题除法策略：n个不同元素的全排列有Ann种排法，m个特殊元素的全排列有Amm种排法．当这[跟进训练]2．某地媒体为了宣传医护人员A，B，C，D，E，F共6人(其中A是队长)的优秀事迹，让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法种数为()A．36B．48C．56D．723．3名男生、4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．4．某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？(2)3位老者与2位年轻人都要分别按年龄从小到大的顺序出场，出场顺序有多少种？1．A，B，C，D，E5人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种B．48种C．36种D．24种2．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36B．30C．40D．603．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么这5名同学值日顺序的编排方案共有()A．12种 B．24种C．48种 D．120种4．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．含有“特殊元素”的排列的解题策略是什么？2．对于元素有特殊位置的排列的解题思想是什么？3．对于“元素相邻”和“元素不相邻”的排列的解决方法是什么？第2课时排列的综合应用[关键能力·合作探究释疑难]例1解：(1)法一(特殊位置分析法)：如图，从个位入手：个位排奇数，即从1，3，5中选1个有A31种方法，首位数从排除0及个位数余下的4个数字中选1个有由分步乘法计数原理可得，共有A31×A41×A44＝法二(特殊元素分析法)：0不在两端有A41种排法．从1，3，5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故所排六位奇数共有A41×A31×A法三(排除法)：从整体上排除：6个数字的全排列有A66种排法．0，2，4在个位上有3A55种排法，而1，3，5在个位上且0在首位上有3A44种排法．故符合条件的六位数有A66－3A5法四(排除法)：从局部上排除：个位上任选一个奇数，有A31种排法，其余各位上任意排，有A55种排法，共有A31A5(2)法一(排除法)：0在首位和5在个位时均不符合题意，故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A法二(特殊位置分析法)：如图，个位不排5时，分两类：第1类，当个位排0时，有A5第2类，当个位不排0时，有A41×A41故符合题意的六位数共有A55＋A41×A41(3)法一(直接法)：第1类，当千位上排1，3时，有A21×A31×A42第2类，当千位上排2时，有A21×A42＝24第3类，当千位上排4时，形如40△2，42△0的各有A31个，共有2A31＝6形如41△△的有A21×A31＝6形如43△△的只有4310和4302这两个数．故共有72＋24＋6＋6＋2＝110(个)不大于4310的四位偶数．法二(排除法)：四位偶数中，0在个位的有A53＝60(个0在十位、百位的分别有A21×A42＝不含0的有A21×A43＝48故四位偶数共有60＋48＋48＝156(个)．其中大于4310的情况如下：形如5△△△的有A31×形如45△△的有A21×A31个；形如435形如432△的只有4320一个；形如431△的只有4312一个．故大于4310的四位偶数共有A31×A42＋A21×A31因此，符合题意的四位偶数共有156－46＝110(个)．母题探究1．解：能被5整除的数字个位必须为0或5，若个位上是0，则有A54个；个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A31种排法，其余各位有A42．解：由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3A44个数，所以240135的项数是A55＋3A44＋1跟进训练1．解：满足条件的四位数可以分为两类：第一类的末位数字是0，有A9第二类的末位数字不是0．要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来完成：第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有A41种方法；第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有A81种方法；第三步，确定中间两位数字，有A由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为A93＋A41A81A82＝9×8×7＋4×例2解：(1)把元素作为研究对象．第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A6第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有A64种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A由分类加法计数原理知，共有A65＋4×A64＝2160((2)把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A6第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A53根据分步乘法计数原理，共有A62A53＝1800(3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A5第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A53根据分步乘法计数原理，共有A52A53＝1200(4)间接法．总的可能情况有A75种，减去甲在首位的A64种排法，再减去乙在末位的A64种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A5例3解：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A2(2)先排3个舞蹈节目、3个曲艺节目，有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A72种插入方法，所以共有A6(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有A44A53例4解：(1)法一：7人的所有排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33法二(插空法)：7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故有A74＝7×6×5×4＝840(种(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A77＝2520跟进训练2．D[根据题意，可分两步进行分析，第一步，领导和队长站在两端，有A22＝2(种)站法；第二步，安排中间5人，分两种情况讨论：①若B，C相邻且C，D相邻，有A22A33＝12(种)站法