【数学】函数的最大（小）值课件-2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，

f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点，

f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极值点与极值的定义：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).函数最大值和最小值是如何定义的？一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I

，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥m;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m那么，称m是函数y=f(x)的最小值

.

一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.5.3.2

函数的最大（小）值极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值比它附近点的函数值大或小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.

问题1：函数的最值一定在极值点取得吗？f(x)max=f(a)f(x)min=f(x3)不一定，最大(小)值可能在极值点或区间端点取得.闭区间[a,b]上的连续函数必有最大(小)值.问题2：函数在区间I上一定有最大值和最小值吗？若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得.且最值在极值点或区间端点取得.若开区间(a,b)内的连续函数不一定有最值，如y=lnx例1例1解：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)f(x)xyO423求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a,b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b)；③将函数f(x)在各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．除点(1,0)外，曲线C1：在y轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的下方.怎么证明这个结论呢？

证明：所以,当x=1时,f(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0f(x)–+单调递减单调递增所以,

f(x)≥f(1)=0,即x－lnx－1≥0证明：将不等式lnx≤x－1转化为x－lnx－1≥0令

,解得故当x>0时,

lnx≤x－1.xyOy=x-1y=lnx除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1在y轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的上方.A若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得.

x(－∞,－2)－2(－2,+∞)f'(x)0f(x)

因为f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex–+单调递减单调递增

xyO1-1-2•••

解：xyO1-1-2•••

问题

饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

解：

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)