【数学】向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

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向量的数量积的课件向量的夹角OABOABOAB已知两个非零向量

和，作，，则叫做向量和的夹角．OAB三、点拨精讲(25分钟)思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即

已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定夹角思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜

90°时为正；当90°＜θ≤180°时为负。当θ=90°时为零。数量积符号由cos

的符号所决定（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.

（3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．说明：

（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算（外积）．例1.已知解：=-10解：由得因为所以。ABCDA1B1这种变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量

OMNM1叫做向量在向量上的投影向量

投影向量OMNM1探究：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？当为锐角时，所以，当为直角时，所以，当为钝角（如图（3））时，即当时，所以当时，所以综上，对任意的都有探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？

(3)当向量与共线同向时，；当向量与共线反向时，.特别地，或(4)θ=90ºθ=0ºθ=180º︱cosθ︱≤1设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则课堂素养达标1.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(

)

A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0.所以2|a||b|cosθ+|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以cosθ=-,即θ=120°.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则= (

)A.16 B.-8 C.8 D.-16【解析】选A.3.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则= (

)

【解析】选D.在菱形ABCD中,所以=a2+a×a×cos60°=a2+a2=a2.4.设非零向量a和b,它们的夹角为θ.(1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求向量a与b的数量积;(2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求向量a与b的夹角θ.【解析】(1)

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