第六章 电磁感应

第六章电磁感应第1页，课件共44页，创作于2023年2月1.电磁感应定律

当闭合线圈中的磁通变化时，线圈中产生的感应电动势e

为

式中电动势e的正方向与磁通方向构成右旋关系。当磁通增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成左旋关系；反之，当磁通减少时，电动势的实际方向与磁通方向构成右旋关系。

eI

第2页，课件共44页，创作于2023年2月感应电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有磁通的变化，所以感应磁通又称为反磁通。感应电场强度E沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即

又知，得上式称为电磁感应定律，它表明时变磁场可以产生时变电场。

eI

第3页，课件共44页，创作于2023年2月根据旋度定理，由上式得

该式对于任一回路面积S

均成立，因此，其被积函数一定为零，即此为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁通密度的时间变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。

电磁感应定律是描述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组中的方程之一。

第4页，课件共44页，创作于2023年2月2.电感在线性介质中，单个闭合回路电流产生的磁通密度与回路电流I成正比，因此穿过回路的磁通也与回路电流

I成正比。式中L

称为回路的电感，单位为H(亨)。与回路电流

I交链的磁通称为回路电流

I

的磁通链，以

表示。令

与I

的比值为L，即电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。

第5页，课件共44页，创作于2023年2月单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，与回路中电流无关。磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通。若交链N

次，则磁通链增加N

倍；若部分交链，则必须给予适当的折扣。因此，与N

匝回路电流I

交链的磁通链为

=N

。由N

匝回路组成的线圈的电感为第6页，课件共44页，创作于2023年2月与I1交链的磁通链由两部分磁通形成，其一是I1本身的磁通形成的磁通链

11，另一是I2

在回路l1中的磁通形成的磁通链

12。

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，与电流

l1

交链的磁通链

1为同理，与电流I2交链的磁通链

2为第7页，课件共44页，创作于2023年2月在线性介质中，比值，，及均为常数。式中L11称为回路l1的自感，M12称为回路

l2

对

l1的互感。同理定义式中L22称为回路l2的自感，M21称为回路l1对l2的互感。

令第8页，课件共44页，创作于2023年2月将上述参数L11，L22，M12及M21

代入前式，得可以证明，任意两个回路之间的互感公式为

考虑到，由上两式可见第9页，课件共44页，创作于2023年2月

在电子电路中，若要增强两个线圈的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈的耦合，则应相互垂直。互感可正可负，但电感始终为正值。

若互磁通与原磁通方向相同，则磁通链增加，互感应为正值；反之，若两者方向相反，则磁通链减少，互感为负值。若处处，则互感。若处处，则互感M

最大。第10页，课件共44页，创作于2023年2月例1计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围介质为真空，如图所示。abdrrD

0I1I2zS2解建立圆柱坐标系，令z

轴方向与电流

I1一致，则I1产生的磁通密度为

与电流I2交链的磁通链

21

为

第11页，课件共44页，创作于2023年2月求得

若电流I2为逆时针方向时，则B1与dS

反向，

M21

为负。若电流I2为如图所示的顺时针方向，则dS

与B1方向相同。那么abdrrD

0I1I2zS2但在任何线性介质中第12页，课件共44页，创作于2023年2月bcaO例2计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。

解设同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图示。

在同轴线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路。

内导体中的电流归并为矩形回路的内边电流，外导体中的电流归并为外边电流。

IrcbaOdrIIe

O第13页，课件共44页，创作于2023年2月同轴线单位长度的电感定义为

式中，I为同轴线中的电流；

是单位长度内与电流

I

交链的磁通链。该磁通链由三部分磁通形成：外导体中的磁通，内、外导体之间的磁通以及内导体中的磁通。由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。内外导体之间的磁通密度Bo为

第14页，课件共44页，创作于2023年2月该外磁通与电流I

完全交链，故外磁通与磁通链相等。

内导体中的磁通密度Bi

为该磁场形成的磁通称为内磁通，以表示。那么穿过宽度为dr的单位长度截面的内磁通

为该磁场形成的磁通称为外磁通，以表示，则单位长度内的外磁通为第15页，课件共44页，创作于2023年2月

该部分磁通仅与内导体中部分电流I

交链。因此，对于总电流I

来说，这部分磁通折合成与总电流I形成的磁通链应为求得内导体中的磁场对总电流

I

提供的磁通链

i为bcaO

IrcbaOdrIIe

O第16页，课件共44页，创作于2023年2月那么，与总电流I

交链的总磁通链为(

o+i)。因此，同轴线的单位长度内电感为式中第一项称为外电感；第二项称为内电感。

当同轴线传输电磁波时，内外导体中的磁通均可忽略，同轴线单位长度内的电感等于外电感，即第17页，课件共44页，创作于2023年2月3.磁场能量

若加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，外源必须作功。若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在磁场中。根据在建立磁场过程中外源作的功即可计算磁场能量。eIB第18页，课件共44页，创作于2023年2月

设单个回路的电流从零开始逐渐缓慢地增加到最终值

I，因而回路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值

。反电动势为eIB

为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压。即第19页，课件共44页，创作于2023年2月若时刻t

回路中的电流为i(t)，则此时刻回路中的瞬时功率为在dt时间内外源作的功为

单个回路的磁通链与电流的关系为。

那么，在线性介质中，求得dt时间内外源作的功为

第20页，课件共44页，创作于2023年2月当回路电流增至最终值I时，外源作的总功

W

为

因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功完全转变为周围磁场的能量。若以Wm

表示磁场能量，那么上式又可改写为利用此式计算电感十分方便。第21页，课件共44页，创作于2023年2月

考虑到，则单个回路电流的磁场能量又可表示为式中，

为与电流

I

交链的磁通链。

对于N个回路，可令各个回路电流均以同一比例同时由零值缓慢地增加到最终值。

已知各回路磁通链与其电流之间的关系是线性的，第j

个回路的磁通链

j为式中Ij为电流最终值。第22页，课件共44页，创作于2023年2月第j个回路在时刻t

的电流为在dt

时间内，外源在

N

个回路中作的功为那么，在同一时刻该回路的磁通链为第23页，课件共44页，创作于2023年2月那么，具有最终值电流的N

个回路产生的磁场能量为当各个回路电流均达到最终值时，外源作的总功

W

为若已知各个回路的电流及磁通链，由上式即可计算N个回路共同产生的磁场能量。

第24页，课件共44页，创作于2023年2月

已知回路磁通可用矢量磁位

A表示为，因此第

j

个回路的磁通链可用矢量磁位A表示为那么，N个回路的磁场能量又可用矢量磁位表示为式中A

为周围回路电流在第j

个回路所在处产生的合成矢量磁位。第25页，课件共44页，创作于2023年2月

若电流分布在体积V中，电流密度为J，已知，则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为式中V

为体电流所占据的体积。对于面电流，则产生的磁场能量为式中S

为面电流所在的面积。

第26页，课件共44页，创作于2023年2月磁能密度利用矢量恒等式，上式又可写为若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。已知，代入，得式中，V

为电流所在的区域。第27页，课件共44页，创作于2023年2月令S

为半径无限大的球面，则由散度定理知，上式第一项的当电流分布在有限区域时，，，因此考虑到，求得上式中的被积函数即是磁场密度。第28页，课件共44页，创作于2023年2月若以小写字母wm

表示磁能密度，则已知各向同性的线性介质，，因此磁场能量密度又可表示为可见，磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量不符合叠加原理。第29页，课件共44页，创作于2023年2月磁场和电场的能量计算方法单个回路：N

个回路：分布电流：磁能密度：第30页，课件共44页，创作于2023年2月例设同轴线中通过的恒定电流为I，内导体的半径为a，外导体的厚度可以忽略，其半径为b，内外导体之间为真空。计算该同轴线中单位长度内的磁场能量。

解已知同轴线单位长度内的电感为因此，单位长度内同轴线中磁场能量为

baOI

0第31页，课件共44页，创作于2023年2月已知内导体中的磁场强度为

也可通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。因此内导体中单位长度内的磁场能量为又知内、外导体之间的磁场强度Ho

为第32页，课件共44页，创作于2023年2月所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为此结果与前式完全相同。单位长度内同轴线的磁场能量应为，即第33页，课件共44页，创作于2023年2月4.磁场力

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2

–r1r2r1已知式中的磁通密度B1为因此，B1对于整个回路l2的作用力F21为那么，由回路电流I1产生的磁场B1对于电流元I2dl的作用力dF21为第34页，课件共44页，创作于2023年2月

同理，回路电流I2产生的磁场B2对于整个回路l1的作用力F12

为上述两式称为安培定律。根据牛顿定律得知，应该。如果回路形状复杂，上述积分计算非常困难。磁场力的计算也可采用虚位移方法，通过能量关系可以导出计算磁场力的公式。直接利用前述广义力和广义坐标的概念，导出计算磁场力的一般公式。第35页，课件共44页，创作于2023年2月设在电流I1产生的磁场广义力

F

的作用下，使得回路l2的某一广义坐标变化的增量为dl，同时磁场能量的增量为dWm。下面分为两种情况分别导出磁场力的计算公式。

两个回路中的外源作的总功dW应该等于磁场广义力作的功与磁场能量的增量之和，即第36页，课件共44页，创作于2023年2月

第一，若电流I1和I2

不变，这种情况称为常电流系统，则磁场能量的增量为

两个回路中外源作的功分别为

两个回路中的外源作的总功dW为即求得常电流系统中的广义力F

为

第37页，课件共44页，创作于2023年2月第二，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为常磁通系统。求得常磁通系统中广义力为由于各个回路的磁通未变，因此，各个回路位移过程中不会产生新的电动势，因而外源作的功为零，即磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。第38页，课件共44页，创作于2023年2月例1计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力。电流环的尺寸及位置如图所示。ab