历年高考数学（文）知识清单-专题07 三角恒等变换与解三角形（考点解读）（原卷+解析版）

专题7三角恒等变换与解三角形考情解读和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力.重点知识梳理1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ;(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ;(3)tan(α±β)＝.2．倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1＝1－2sin2α;(3)tan2α=.3．半角公式1－cosα2(1)sin1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα21－cosα1＋cosα(3)tan=±(4)tan＝=.4．正弦定理2R(2R为△ABC外接圆的直径).5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.6．面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；(4)已知三边，利用余弦定理求解.8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.高频者点突破高频考点一三角恒等变换与求值例1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，,2sin2α=cos2α+1，则sinα=() 5D.【方法技巧】三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ+cos2θ=tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)＋cos2α,α=(α-β)+β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.【特别提醒】(1)要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用.(2)要注意角的范围.【举一反三】(2018·高考全国卷Ⅲ)若sinα=，则cos2α=()8A7BD【变式探究】(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)＝.高频考点二三角形中边与角的简单计算31．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosBC＝1，AC＝5，则AB＝()【方法技巧】1．利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式：(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角；(2)已知三边，直接由余弦定理求角；(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况.2．利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解.【举一反三】(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB=4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为.【变式探究】(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24AπCπDπ高频考点三解三角形例3、(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；【方法技巧】1.求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.2.三角形中已知一边和其对角求解三角形面积的最值问题时，可以先利用余弦定理建立三边关系，然后根据式子的结构特征，直接利用基本不等式构造关于三角形面积的不等式求解.4【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝2cb.π0<φ<π(1)将函数f(x)＝sin(2x+φ)2的图象向右平移A个单位可得到函数g(x)cos2x的图象，求φ的值；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值.【变式探究】(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°,∠A＝45°,AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.真题感悟1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，,2sin2α=cos2α+1，则sinα=() 5D.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=cosA=−，则=A．64．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a∈（02sin2α=cos2α+1，则sinα=5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=.6．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，ABC=90。，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若5（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.8．【2019年高考北京卷文数】在△ABC中，a=3，b–c=2，cosB=-.（2）求sin（B+C）的值.9．【2019年高考天津卷文数】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.（1）求cosB的值；10．【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sinα=，则cos2α=()8A-7B2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)＝.α-5π5________3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan4＝1，则tanα-5π5________4．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosBC＝1，AC＝5，则AB＝()5．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A6．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，6CπDπa=2，c=，则C=AπBπCπDπ2.【2017课标3，文6】函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值为()3.【2017课标II，文3】函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为A.4πB.2πC.πD.4.【2017课标3，文4】已知sinc-cosc=，则sin2c=()5.【2017山东，文4】已知cosx=,则cos2x=A.-B.C.-D.5.【2017山东，文7】函数y=sin2x+cos2x最小正周期为A.B.C.πD.2π7.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=.8.【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角c与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinc=，则sinβ=.9.【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别A=.71.【2016高考新课标2文数】若cos(一c)=72.【2016高考新课标3文数】若tanc=，则cos2c+2sin2c=()(A)(B)(C)1(D)3.【2016年高考四川文数】cos2一sin2=.4.【2016高考新课标3文数】在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC,则cosA=()（ABC）-（D）-455.【2016高考新课标2文数】ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cos456.【2016高考天津文数】在△ABC中，若AB=,BC=3，经C=120。,则AC=( ,（A）1（B）2（C）3（D）44.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值7.【2016年高考四川文数】（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.（II）若b2+c2a2=bc，求tanB.8.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B；（II）若△ABC的面积S=，求角A的大小.9.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.专题7三角恒等变换与解三角形考情解读和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力.重点知识梳理1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ;(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ;(3)tan(α±β)＝.2．倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1＝1－2sin2α;(3)tan2α=.3．半角公式1－cosα2(1)sin1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα21－cosα1＋cosα(3)tan=±(4)tan＝=.4．正弦定理2R(2R为△ABC外接圆的直径).5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.6．面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；(4)已知三边，利用余弦定理求解.8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.高频考点突攻高频考点一三角恒等变换与求值例1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，,2sin2α=cos2α+1，则sinα=() 5D.【解析】由2sin2α=cos2α+1，得4sinαcosα=2cos2α.2525【答案】B【方法技巧】三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ+cos2θ=tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)＋cos2α,α=(α-β)+β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.【特别提醒】(1)要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用.(2)要注意角的范围.【举一反三】(2018·高考全国卷Ⅲ)若sinα=，则cos2α=()8A【解析】7BD∵sinα=，∴cos2α=1－2sin2α=1－2×32＝.故选B.【答案】B【变式探究】(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)＝.【解析】∵sinα+cosβ=1，①cosα+sinβ=0，②∴①2+②2得1＋2(sinαcosβ+cosαsinβ)＋1＝1.∴sinαcosβ+cosαsinβ=-，∴sin(α+β).【答案】－高频考点二三角形中边与角的简单计算1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosBC＝1，AC＝5，则AB＝()【解析】∵cos-3在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×5-3故选A.【答案】A【方法技巧】1．利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式：(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角；(2)已知三边，直接由余弦定理求角；(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况.2．利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解.【举一反三】(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB=4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为.【解析】∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB=4sinAsinBsinC.2bc2bcbc，【答案】【变式探究】(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24A.C.π3Dπ=＝abcosC，∵C∈(0，π)，∴C=.故选C.【答案】C高频考点三解三角形例3、(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；【解析】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a2＝14分＝－=sin(C＋60°)cos60°-cos(C＋60°)sin60°=.……………12分【方法技巧】1.求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.2.三角形中已知一边和其对角求解三角形面积的最值问题时，可以先利用余弦定理建立三边关系，然后根据式子的结构特征，直接利用基本不等式构造关于三角形面积的不等式求解.【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝2cb.π0<φ<π(1)将函数f(x)＝sin(2x+φ)2的图象向右平移A个单位可得到函数g(x)cos2x的图象，求φ的值；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由＝2cb及正弦定理得，sinAcosB＝2sinC－sinBcosAsinBsinB，整理得，sinAcosB＝2sinCcosA－sinBcosA，即sinC＝2sinCcosA，因为sinC≠0，而A∈(0，π)，所以A=，0<φ<π函数f(x)＝sin(2x+φ)2的图象向右平移个单位可得，2x－2π+φy＝sin3，2x－2π+φ由题意sin3cos2x，对任意x∈R恒成立，2π不妨令x=，有sinφ=-cos32π(2)因为A=，外接圆半径R＝1，又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，所以3＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，于是S△ABC＝bcsinA≤×3×＝.【变式探究】(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°,∠A＝45°,AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即=，(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，真题感悟1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，,2sin2α=cos2α+1，则sinα=()C.D.【解析】由2sin2α=cos2α+1，得4sinαcosα=2cos2α.又∵α∈2，∴tanα=，∴sinα=.【答案】B2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=【答案】DcosA=−，则=A．6【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得a2一b4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a∈（02sin2α=cos2α+1，则sinα=【答案】B2C故选B. ,55．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=.【答案】【解析】由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0Ae(0,π),Be(0,π)【答案】，【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理有：sinDB=sinAC，而AB=4,经ADB=,AC=ABAB2+BC2BCACBCAC5（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）由题设及正弦定理得sinAsin=sinBsinA.（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC= 4 1 +.（2）求sin（B+C）的值.【解析】（1）由余弦定理b2=a222accosB，得b2222x3xcx().222x3xcx().C 9．【2019年高考天津卷文数】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a，（1）求cosB的值；【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理=，得bsinC=csinB，22a2=.cos2B=cos2B-sin2B=-，故10．【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；2,3由余弦定理cosB=a2+c2-b2，得2=(3c)2+c2-()2，即c2=1.sinAcosBsinAcosB 1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sinα=，则cos2α=()A.B.CD【解析】∵sinα=，∴cos2α=1－2sin2α=1－2×32＝.故选B.【答案】B2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)＝.【解析】∵sinα+cosβ=1，①cosα+sinβ=0，②∴①2+②2得1＋2(sinαcosβ+cosαsinβ)＋1＝1.∴sinαcosβ+cosαsinβ=-，∴sin(α+β).【答案】－α-5π3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan4则tanα=α-5π【解析】tanα-＝tanα-αα=.232【答案】4．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosBC＝1，AC＝5，则AB＝()B.【解析】∵cos-3在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×5＝32，故选A.【答案】A5．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A【解析】∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB=4sinAsinBsinC.由余弦定理得cosA0，【答案】6．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，AπBπCπDπ=＝abcosC，∵C∈(0，π)，∴C=.故选C.【答案】Ca=2，c=，则C=AπBπCπDπ【答案】B44因为c<a，所以C<A，所以C=，故选B.2.【2017课标3，文6】函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值为()【答案】A函数的最大值为.所以选A.3.【2017课标II，文3】函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为A4πB2πCπDπ【答案】C【解析】由题意，故选C.4.【2017课标3，文4】已知sina-cosa=，则sin2a=()【答案】A【解析】sin2a=2sinacosa==-.所以选A.345.【2017山东，文4】已知cosx34,则cos2x=A.-B.C.-D.【答案】D5.【2017山东，文7】函数y=sin2x+cos2x最小正周期为A.B.C.πD.2π【答案】C7.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=.【答案】,【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：AE」BC,BF」CD， △ABE中，cosZABC==，:cosZDBC=-,sinZDBC==5，:S△BCD=根BD又:cosZDBC=1-2sin2ZDBF=-,:sinZDBF=，:cosZBDC=sinZDBF=，综上可得，△BCD面积为，cosZBDC=.8.【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角a与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinc=，则sinβ=.【答案】的终边关于…9.【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别A=.【答案】75°1.【2016高考新课标2文数】若cos(-c)=，则sin2c=()（ABC）-（D）-【答案】D【解析】cos2-c=2cos2-c-1=2.2-1=-，且cos2-c=cos-2c|=sin2c，故选D.32.【2016高考新课标3文数】若tanc=4，则cos2c+2sin2c=()3(A)(B)(C)1(D)【答案】