2023-2024学年山东蒙阴县八年级数学第一学期期末经典试题（含解析）

2023-2024学年山东蒙阴县八年级数学第一学期期末经典试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷

上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非

选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.直线/上有三个正方形4、8、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和

12,则正方形6的面积为（）.

A.11B.12C.13D.√145

2.长方形的面积是9/-3融+67，一边长是3α,则它的另一边长是（）

A.3α2-b+2a1B.b+3a+2a2C.2a1+3a-bD.3a2-b+2a

3.现实世界中，对称现象无处不在，中国的黑体字中有些也具有对称性，下列黑体字

是轴对称图形的是（）

A.诚B.信C.自D.由

4.如图，已知ΔABC,延长AB至。，使BD=A3；延长BC至E,使CE=2BC;

延长C4至尸，使Ab=3C4;连接。E、EF、FD,得ΔDEF.若ΔABC的面积为

k,则ADE尸的面积为（）

A.10kB.15kC.18攵D.20左

5.如图，矩形ABC。的对角线AC与BD相交于点。，ZADB=30o,AB=A,则OC

等于

()

A.5B.4C.3.5D.3

6.下列图形中，由Nl=N2,能得到A的是（）

7.如图，已知一次函数V="+力的图象经过A（0,1）和B（2,0）,当x>0时，y

的取值范围是（）

V4

B^x

A.y<l；B.y<0；C.y>∖tD.y<2

8.下列各运算中，计算正确的是（）

A.（β2Z?）3=α⅛3B.（-3a2）3=27α5C.χ6÷χ2=χ4

D.（α+⅛）3=ai+b'

9.在一张长为IOem,宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形

（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上）,

这个等腰三角形有几种剪法（）

A.1B.2C.3D.4

10.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ΔABC

和等边ACDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,

连接PQ.下列五个结论：①AD=BE;②PQHAE；③AP=JBQ；④DE=DP;

⑤NAQB=60°.其中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.用“如果…，那么…”的形式，写出“对顶角相等”的逆命题：

12.如图，长方体的底面边长分别为ICm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A

开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.

13.在平面直角坐标系中，把直线y=-2x+3沿y轴向上平移两个单位后，得到的直

线的函数关系式为.

14.计算：20192-2018?=.

15.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分NADC,AD=6,BE=2,则平行四边形

ABCD的周长是.

16.如图，边长为，，:+」的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可

剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为

A''`4

17.已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/

时，列车的单程运行时间缩短了3小时.设原来的平均速度为X千米/时，根据题意，

可列方程为.

18.甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中1甲、IZ分别

表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分

钟乙比甲多行驶千米.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图:在ΔABC中（Ae>AB）,AC=2BC,BC边上的中线AD把AABC

的周长分成60c〃7和40cr〃两部分，求边AC和AB的长.

20.（6分）（1）求值：（I--L）÷Y-,其中a=l.

Q+1Cl-I

（2）解方程：二=一!一+2.

X-Ix-∖

21.（6分）（1）如图，Z1=Z2,Z3=Z4,求证：AC=AD

C

（2）化简：（α+l）（α-1）—（a-2『

22.（8分）在等边ABC中，点。是线段BC的中点，NEr甲=12（）。,OE与线段AB

相交于点E,DF与射线AC相交于点F.

（1）如图1,若OFJ_AC,垂足为EAB=4,求BE的长;

（2）如图2,将（1）中的NED尸绕点。顺时针旋转一定的角度，。尸仍与线段AC相交

于点F∙求证：BE+CF=-AB.

2

图2

⑶如图3,将（2）中的NEZ才继续绕点。顺时针旋转一定的角度，使Z）E与线段AC

的延长线交于点E作。N_LAC于点N,若。N=FN,设5E=x,CE=y,写出y关

于X的函数关系式.

图3

23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+m过点A（5,-2）且分别与X

轴、y轴交于点B、C,过点A画AD∕∕x轴，交y轴于点D.

（1）求点B、C的坐标；

（2）在线段AD上存在点P,使BP+CP最小，求点P的坐标.

24.（8分）如图，点E、尸是线段AB上的点，DEJ.AD,CFLBC,垂足分别是

点。和点C,DE=CF,AF=BE,求证：ADHBC.

25.（10分）（1）教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.

/2.线段*位平分段I

/-------------------------1

Ul我的巳t⅞如ifl线l¾地轴“林四布.线15的而

√,在平分我是蝶校的W脩柏.加图135.1.ftMN

/是线校48的重虎平分拽"J½WVL任-戊.连

,雄/火.也将坡氏4%沿«技MV。标.我In发现

\用OM完全小合同比期勺：

ACxH找股筮・平分线的性晨定Rtttt∙JKΨ

'分线上的点Sl线段两端的速离相等.

Bia51HM:如图∖3.5.∖,Λll>lLAH*足为点C.

AC=BC./PKItt找MN卜的任X?0.

^li.tPΛ≈l∙B.

:，iΛ1fm⅛∖Γ"卷眇图中分四个l¾ftl∙ft∣fHΛW*∣«/*：.

（体的H叫过只要H叫这四子：加形*F.使"IW和/”IH.

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整

的证明过程.

定理应用：

（2）如图②，在AASC中，直线〃?、"分别是边8C、AC的垂直平分线，直线〃？、

”的交点为。.过点。作OH_LAB于点H.求证：AH=BH.

（3）如图③，在AABC中，AB=BC,边4?的垂直平分线/交AC于点O,边BC

的垂直平分线k交AC于点£.若NABC=120°,AC=15,则OE的长为

26.（10分）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来.“共享单车”（俗称“小

黄车”）公益活动登陆我市中心城区.某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”,

这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：

问题1：单价

该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共

计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多

少？

问题2：投放方式

该公司决定采取如下投放方式：甲街区每IOoO人投放a辆“小黄车”，乙街区每IOOO人

投放8“+240辆,,小黄车,,,按照这种投放方式，甲街区共投放KOO辆，乙街区共投放

a

1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、C

【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得NEr>F=NHEG,然后可

依据AAS证明∖EDF注AHFG,再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可.

【详解】解：

：N、3、C都是正方形，

ʌDF=FH,/DFH=90。，：.NEDF=NHFG=90。

ΛZDFE+ZHFG=90o,NEDF+NDFE=90°

ΛZEDF=ZHFG,

ZEDF=ZHFG

在ADEF和AFGH中，＜ZDEF=4HGF,

DF=HF

ʌ∖EDF^HFG(AAS),

.∙.DE=FG,EF=HG;

：.在RjDEF中,由勾股定理得：

DF2=DE2+EF2=DE2+HG2，

即SB=SA+Sc=1+12=13,

故选：C.

【点睛】

此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，发现两个直角三角形全等是解题的

关键.

2、C

【分析】根据长方形面积公式“长X宽=面积”，列出式子后进行化简计算即可。

【详解】长方形的面积=长X宽，由此列出式子(9αl-3ab+6ai')÷3α=3α-b+la'.

解：(9a1-3α⅛+6α3)÷3a=3α-b+lal,

故选：C.

【点睛】

本题考查了用代数式表示相应的量，解决本题的关键是熟练掌握整式除法的运算法则。

3、D

【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.

【详解】解：根据轴对称图形的概念可知“由”是轴对称图形，

故选：D.

【点睛】

本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折

叠后可重合.

4、C

【分析】如图所示：连接AE、CD,要求aDEF的面积，可以分三部分来计算，利用高

一定时，三角形的面积与高对应的底成正比的关系进行计算；利用已知AABC的面积

k计算与它同高的三角形的面积，然后把所求各个面积相加即可得出答案.

【详解】如图所示：连接AE、CD

F

/Vi∖

∕×≤ic√-∖

VBD=AB

:∙SZXABC=SaBCD=A

贝!jSZiACD=2k

VAF=3AC

ΛFC=4AC

:∙S∆kFCD=4SaACD=4X2k=8k

同理求得：

SΔACE=2SΔΛBC=2k

SAFCE=4S-CE=4X2k=8k

SΔDCE=2SΔBCD=2×⅛=2⅛

:・SΔDEF=SΔFCD+SΔFCE+SΔDCE=8⅛+8Λ+2⅛=18k

故选：C

【点睛】

本题主要考查三角形的面积与底的正比关系的知识点：当高相同时，三角形的面积与高

对应的底成正比的关系，掌握这一知识点是解题的关键.

5、B

【解析】试题解析：Y四边形ABC。是矩形，

∙∙.AC=BD,OA=OCyZBAD=90,

ZADB=30,ΛAC=BD=2AB=8,

.∙.OC=-AC=A;

2

故选B.

点睛：平行四边形的对角线互相平分.

6,C

【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.

【详解】A、由Nl+N2=180°,得到A〃〃CD,故本选项错误；

3、Nl=N2不能判定A5〃C。，故本选项错误；

C、由N1=N2,得AB〃C。，符合平行线的判定定理，故本选项正确；

。、N1=N2不能判定A5〃CD,故本选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题主要主要考查平行线的判定定理，掌握“同位角相等，两直线平行”，“内错角相

等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键.

7、A

【分析】观察图象可知，y随X的增大而减小，而当x=0时，y=l,根据一次函数的增

减性，得出结论.

【详解】解：把A(0,1)和B(2,0)两点坐标代入y=kx+b中，

..y=~-x+l9

∙.∙-gv(),y随X的增大而减小，

当x>0时，y<l.

故选A.

【点睛】

首先能够根据待定系数法正确求出直线的解析式.在直线y=kx+b中，当k>0时，y

随X的增大而增大；当kV0时，y随X的增大而减小.

8、C

【分析】根据积的乘方、同底数幕的除法、多项式的乘法逐项判断即可.

【详解】A.(a2h)^aβbi,错误；

B.(-3α2)3=-27α%错误；

C.χβ÷χ2-X4,正确；

D.(α+⅛)3=a3+3a2b+^iab2+b',错误.

故选C.

【点睛】

本题考查积的乘方、同底数塞的除法、多项式的乘法等知识，熟练掌握各计算公式是解

题的关键.

9、B

【解析】有两种情况:

①当NA为顶角时，如图1,此时AE=AF=5cm.

图1

②当NA为底角时，如图2,此时AE=Ep=5cm.

故选B.

10、C

【分析】①由于AABC和aCDE是等边三角形，可知AC=BC,CD=CE,

NACB=NDCE=60。，从而证出aACDgABCE,可推知AD=BE；

②由AACDgz!∖BCE得NCBE=NDAC力口之NACB=NDCE=60。，AC=BC,得至!|

∆CQB^∆CPA(ASA),再根据NPCQ=60。推出APCQ为等边三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；

③根据②aCQB04CPA(ASA),可知③正确；

④根据NDQE=NECQ+NCEQ=6(F+NCEQ,ZCDE=60o,可知NDQE≠NCDE,可

知④错误；

⑤由BC〃DE,得至UNCBE=NBED,由NCBE=NDAE,得至!]

NAoB=NOAE+NAEO=60,

【详解】解：V等边AABC和等边4CDE,

ΛAC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=60。，

ΛNACB+∕BCD=NDCE+NBCD,即ZACD=ZBCE,

在AACD与aBCE中，

AC=BC

<ZACD=NBCE,

CD=CE

Λ∆ACD^∆BCE(SAS),

ΛAD=BE,故①正确，

V∆ACD^∆BCE,

.∙.NCBE=NDAC,

又：NACB=NDCE=60°,

ΛZBCD=60o,即NACP=NBCQ,

XVAC=BC,

Λ∆CQB^∆CPA(ASA),

CP=CQ,

又；NPCQ=60。可知APCQ为等边三角形，

ΛZPQC=ZDCE=60o,

ΛPQ/7AE,故②正确，

VΔCQB^ΔCPA,

.∙.AP=BQ,故③正确，

VAD=BE,AP=BQ,

/.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

VNDQE=NECQ+NCEQ=6(F+NCEQ,ZCDE=60o,

ΛZDQE≠ZCDE,故④错误；

VBC/7DE,

.∙.NCBE=NBED,

VZCBE=ZDAE,

ΛZAOB=ZOAE+ZAEO=60o,故⑤正确；

综上所述，正确的有4个，

故选C

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变

量，是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.

【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式，再利用把一个命

题的题设和结论互换即可得到其逆命题.

【详解】解：V原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，

.∙∙命题“对顶角相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等,

那么它们是对顶角”.

故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.

【点睛】

本题考查了命题的条件和结论的叙述以及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命

题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两

个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

12、1

【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段

最短'’得出结果.

【详解】解：将长方体展开，连接A、B，，

VAA,=l+3+l+3=8(cm),A'B'=6cm,

22

根据两点之间线段最短，AB-=√8+6=Icm.

考点：平面展开-最短路径问题.

13、y=-2x+l.

【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式.

【详解】解：由题意得：平移后的解析式为：y=-2x+3+2=-2x+l.

故答案为y=-2x+l.

【点睛】

本题考查一次函数图形的平移变换和函数解析式之间的关系,解题关键是在平面直角坐

标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是：横坐标左移加，

右移减；纵坐标上移加，下移减.

14、1

【分析】把给的算式进行因式分解后再计算即可.

【详解】20192-20182=(2019+2018)()=2019+2018=l.

故答案为：L

【点睛】

本题考查有理数的乘方运算，关键是利用因式分解可简化运算.

15、2

【解析】；四边形ABCD是平行四边形，AD=6,

ΛBC=AD=6,又BE=2,ΛEC=1.

又TDE平分NADC,，NADE=NEDC.

VAD∕7BC,ΛZADE=ZDEC.

ΛZDEC=ZEDC.ΛCD=EC=I.

Λ□ABCD的周长是2×（6+l）=2.

16、2m+4

【详解】因为大正方形边长为“2+4,小正方形边长为m,所以剩余的两个直角梯形的

上底为m,下底为〃?+4,所以矩形的另一边为梯形上、下底的和：m+4+m=2m+4.

17、≡=≡L÷3

X%+70

【解析】试题解析：设原来的平均速度为X千米/时，列车大提速后平均速度为x+70千

14801480,

米/时，根据走过相同的距离时间缩短了3小时，列方程:-------=---------+3,

X%+70

14801480,

故答案为---------+3.

X%+70

3

18、

5

【分析】根据函数的图形可以得到甲用了30分钟行驶了12千米，乙用12分钟行驶了

12千米，分别算出速度即可求得结果：

2

【详解】；甲每分钟行驶12÷30=（（千米），乙每分钟行驶12÷12=1（千米）,

.∙.每分钟乙比甲多行驶1一二2=三3（千米）

3

则每分钟乙比甲多行驶《千米

3

故答案为M

三、解答题（共66分）

19、AC-48cm,AB=2Scm

【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD=CD1设BD=CD=x,AB=y,贝IJAC=4x,

再根据AC+CD=60,AB+BD=40,即可得出X和y的值.

【详解】TA。是BC边上的中线，AC=2BC,

BD=CD,

设BO=CD=X,A6=y,则AC=4x,

VAC>AB,

ΛAC+CD60,AB+BD=40,

即4x+x=60,x+y=40,

解得：X=I2,y=28,

即4C=4x=48C∕77，AB=28cm.

【点睛】

本题考查了三角形的中线,利用数形结合的方法,用列方程求线段的长度是常用的方法,

需要掌握好.

20、（1）a-1,99；（3）x=3.

【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可

得；

（3）根据解分式方程的步骤依次计算可得.

【详解】解：（1）原式=-ɪ-•（

a+∖"Wa”D

=a-1,

当a=l时，

原式=1-1=99；

（3）方程两边同乘X-1,得3x=l+3（x-1）,

解得x=3,

检验：当x=3时，X-l≠0,

.∙.x=3是原方程的解.

【点睛】

本题考查分式的混合运算与解分式方程,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则，注意解分式方程需要检验.

21、（1）证明见解析；（2）4a-l

【分析】（1）由题意，可以得到ΔABC=ΔA8。，再由三角形全等的性质可得AC=AD;

（2）根据平方差公式和完全平方公式把算式展开，再合并同类项可得解.

【详解】⑴证明：∙因为N3=N4,所以NABC=NABD

在AABC和AABD中，

ABAB

<Nl=N2

ZABC=ZABD

.∙.ΔΛBC≡ΔABD

所以AC=AD

(2)解：原式=ci—1—(α~-4"+4∙)=α~-1—c~+4α—4=4a-l.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质以及乘法公式的应用，熟练掌握三角形全等的判定和

性质定理以及乘法公式的形式是解题关键.

22、(1)BE=I;(2)见解析；(3)>=(2-G)X

【分析】(1)如图1,根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得N5EO=90。，

进而可得N8OE=30。，然后根据30。角的直角三角形的性质即可求出结果；

(2)过点。作DM_LA5于M,作DNLAC^N,如图2,根据AAS易证AMBOgaNCZ),

则有8M=CN,DM=DN,进而可根据ASA证明aEMOgZ∖FNO,可得EM=FN,

再根据线段的和差即可推出结论；

(3)过点。作OM_LA8于如图3,同(2)的方法和已知条件可得OW=ON=FN

=EM,然后根据线段的和差关系可得5E+C尸=2OM,BE-CF=IBM,在RtZiBMO

中，根据30。角的直角三角形的性质可得Z)M=G8M,进而可得3E+C尸=&(BE

-CF),代入X、y后整理即得结果.

【详解】解：(1)如图1,VZUBC是等边三角形，

：.ZB=ZC=60o,BC=AC=AB=I.

：点。是线段BC的中点，

：.BD=DC=-BC=I.

2

'：DFLAC,即NAfD=90°,

,NAED=360。-60°-90°-120o=90o,

ΛZBfiD=90o,.∙.N5OE=30°,

.'.BE=-BD=I

2i

Ei

BD

图1

(2)过点。作O于Λf,作。V，AC于N,如图2,

则有NAMD=ZBMD=NANO=NCNO=90。・

VNA=60。，

：•NMDN=360。-60°-90°-90o=120o.

VZEDF=120°,

：.ZMDE=ZNDF.

在AMBD和ANCD中，

•；NBMD=NCND,ZB=ZCfBD=CD9

：・AMBDqANCD(AAS),

：.BM=CN9DM=DN.

在AEMD和AFND中，

•；∕EMD=∕FND,DM=DN9ZMDE=ZNDF9

△尸NO(ASA),

：.EM=FN9

：.BE+CF=BM+EM+CN—FN=BM+CN=IBM=BD=—BC=—AB；

22

(3)过点。作DMJ_A3于M,如图3,同(2)的方法可得：BM=CN,DM=DN9

EM=FN.

TDN=FN,

：.DM=DN=FN=EM9

：•BE+CF=BM+EM+FN-CN=NF+EM=2DM=Ky,

BE-CF=BM+EM-QFN-CN)=BM+NC=2BM=χ-y,

在RtZkBMD中，∙.∙N8Z)M=30o,：.BD=IBM,

22

-'-DM=yJBD-BM=y∕3BM，

.∙.x+y=G(x-y),整理，得y=(2-6)x.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30。

角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟

练掌握上述知识是解题的关键.

23、(1)B(3,0),C(0,3);(2)P(y,-2).

【分析】(1)代入点A(5,-2)求出m的值，分别代入y=0和x=0,求出点B、C的坐标

(2)过C作直线AD对称点Q,求出直线BQ的方程式，代入y=-2,即可求出点P的

坐标

【详解】⑴*.∙y=-x+m过点A(5,-2),

:∙-2=-5+m,

/.m=3

：・y=-x+3

令y=0,.∙.x=3,ΛB(3,0)

令x=0,∙β.y=3,.∙.C(0,3)

(2)过C作直线AD对称点Q,可得Q(0,・7),

连结BQ,交AD与点P,

7

可得直线BQtyi=-X-J

本题考查了二元一次方程的求解以及动点问题，掌握作对称点的方法来使BP+CP最小

是解题的关键

24、见解析

【分析】先根据“HL”证明aADEg4BCF,可证NA=NB