2023年北京各区(海淀朝阳丰台东西城等)高三数学高考一模汇编-计数原理与概率分布汇编含详解

计数原理与概率分布

1计教原理，二项式定理

1.(2023西城一模04)在“一2)5的展开式中，JC的系数为

X

A.40B.10C.-40D.-1O

2.(2023东城一模12)在(x+0)6的展开式中，/的系数为60,则实数〃=.

X

3.(2023石景山一模13)若(1+4)〃的展开式中含有常数项，则正整数〃的一个取值为

4.(2023海淀一模05)若(X-1),+%/+O?/+4工+。0，则4一名+生一4=

A.-lB.lC.15D.16

n2t,

5.(2023朝阳一模03)⅛(1+x)=tι0+a}x+a2x÷∙∙∙+anx,若a?=a3,则〃=

A.5B.6C.7D.8

6.(2023丰台一模13)从这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A,“两数均为

负数”为事件8,则P(BM)=.

2概率分布列

1.(2023东城一模17)甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙

进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表:

\^欠数

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

同学

甲807882869593—

乙76818085899694

(I)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；

(II)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次

数，求X的分布列及数学期望改；

(III)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设F表示这3次测试成绩达到优秀的次

数，试判断数学期望研与(II)中欧的大小.(结论不要求证明)

2.(2023石景山一模17)某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥

对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别

从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.

株高增量（单位：厘米）(4,7](7,IOJ(1O,I3J(13,16J

第1组鸡冠花株数92092

第2组鸡冠花株数416164

第3组鸡冠花株数1312132

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.

（I）从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增量为（7,10］厘米的概率；

（II）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为

（7,10］厘米，求X的分布列和数学期望欧：

（In）用“刍=1”表示第k组鸡冠花的株高增量为（4,10］,“刍=0”表示第k组鸡冠花的株高增量为（10,16］厘米，

Α=1,2,3,直接写出方差幺,。与,％的大小关系.（结论不要求证明）

3.（2023朝阳一模18）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选

出一二三等奖若干.为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况

统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男生200101515

女生300252540

假设所有学生的获奖情况相互独立.

（I）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

（H）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学

生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EY；

（III）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为

%；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为四；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽

到的学生获奖的概率为P2,试比较P。与旦土&的大小.（结论不要求证明）

4.（2023西城一模17）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀260及以上194及以上

良好245-259180-193

及格205~244150-179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到ICm)：

男生：180205213220235245250258261270275280

女生：148160162169172184195196196197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

(I)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率：

(H)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优

秀的人数，估计X的数学期望£X；

(III)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A,“这

3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件3.判断A与5是否相互独立.(结论不要求证明)

5.(2023海淀一模18)网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬

菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和3

组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：

A组/组

9805

87531124

9621478

03359

假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.

(I)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；

(II)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20

的户数为X,估计X的数学期望E(X):

(III)从A组和3组中分别随机抽取2户家庭，记。为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的

户数，幺为3组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差£>©)与。(乙)的大小.(结论

不要求证明)

6.(2023丰台一模18)交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPl越大代表拥堵程度越高.某平台

计算TPl的公式为：TPl=建噌驷，并按TPl的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：

畅通行程时间

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPl的统计数据如下图:

2$2.2S6-

(I)从2022年元旦及前后卢7#日逝/二⅛⅛.1产交通高峰期城市道路拥堵程度为.「二2二-竺12

“拥堵”的概率；].5L9082:~~~~ZZ

(II)从2023年元旦及前后其十天中任取τ3关厂将这5检超高峰期皴市道路⅛¾1广

2022年同日TPl高的天敌吸X,求X的分布列及数学期望E(X)；

(III)把12月29日作为第黑：将用29年完H应琐临心2由到交通匐血期丽遇MlIrPI依欣蹴)q,疝4我「将

2022年同期TPI依次记为仇也,…,伪，记G=4-6H号”7),二二鬻矗写出Ij取得最大值时旧

7i=ι

值.

计数原理与机率分布

1计数原理，二项式定理

1.(2023西城一模04)在(X-2)5的展开式中，X的系数为

X

A.40B.10C.-40D.-10

【答案】A

【解析】因为=C∫x5^r(--)r=GXi(-2)-T=C；(-2)r√2r,令5-2r=1,，•=2,

X

所以l=G(-2)2χ=40x,故选A.

2.(2023东城一模12)在(x+@)6的展开式中，』的系数为60,则实数(Z=.

X

【答案】±2

【解析】由二项式定理可知

G=C*i(4*=C"/2«,

X

令6-2%=2,k=2

22

T3=ClaX

GH=60

/=4，a=±2

3.(2023石景山一模13)若(工+4)”的展开式中含有常数项，则正整数〃的一个取值为

【答案】3（只要是3正整数倍即可）

4432

4.（2023海淀一模05）^ɪ（ʃ-l）=a4x+a3x+¾x+tz1x+a0,则%一%+%-"=

A.-lB.lC.15D.16

【答案】C

【分析】利用赋值法结合条件即得.

431

【详解】因为（九一I）"=a4x+a3x+a2x++a0,

令X=O得，4=1,

令X=-I得，aA-ay+¾-ax+/=（-2）4=16,

所以，应一名+牝一4=16-I=I5.

n2n

故选：C.5.（2023朝阳一模03）⅛（1÷x）=a0+aλx+a2x-I----Fanx9若出=生，则〃=

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】先求出(l+x)"展开式第r+1项，再由“2=%列出方程，即可求出”的值.

【详解】(1+x)"展开式第『+1项心=CK,

a=a

'∙'23>∙'∙Cj=Cn,

"=2+3=5.

故选：A.

6.(2023丰台一模13)从-2,-1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数，记”两数之积为正数”为事件A,“两数均为

负数”为事件B,则P(BIA)=.

【答案】-

4

2概率分布列

1.(2023东城一模17)甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙

进行了7次测试.每次测试满分均为Kx)分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：

数

同小\第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

甲807882869593—

乙76818085899694

(I)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；

(II)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次

数，求X的分布列及数学期望£X；

(III)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设F表示这3次测试成绩达到优秀的次

数，试判断数学期望Ey与(II)中EX的大小.(结论不要求证明)

【答案】

(I)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分.则

从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为

4

—.…3分(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,

13

3.

22

P(X=2)=⅛CC∙=3

45

则随机变量X的分布列为:

故随机变量X的数学期望

131

EY=l×-÷2×-+3×-=2.11分

555

(III)EX>EY.13分

2.(2023石景山一模17)某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥

对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别

从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.

株高增量(单位：厘米)(4,7](λ10](10,13](13,16]

第1组鸡冠花株数92092

第2组鸡冠花株数416164

第3组鸡冠花株数1312132

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(I)从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增

量为(7/0］厘米的概率；

(II)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为

(7,10］厘米，求X的分布列和数学期望欧；

(III)用“4=1”表示第k组鸡冠花的株高增量为(4,10］,“4=0”表示第k组鸡冠花的株高增量为(10,16］厘米，

Z=1,2,3,直接写出方差心,£＞『。品的大小关系.(结论不要求证明)

【答案】

(I)设事件A为“从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10］厘米”，根据题中数据，第1组所有

鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(7,10］厘米.

所以P(A)估计为"=J

402

(II)设事件B为“从第2组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10］厘米”，设事件C为“从第3组所

有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10］厘米”，根据题中数据，P(B)估计为3=2,P(C)估计为工=3

4054010

根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且

P(X=O)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C),

P(X=I)=P(ABC+ABC+ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(8)P(C)P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3).

所以，P(X=O)估计为ZL；P(X=I)估计为u；

10025

P(X=3)估计为上；P(X=2)估计为22.

50100

所以X的分布列为

X0123

2111293

P

Ioo25WO50

r-r-μ∣斗八2111_29_36

所以EX估计为0X---F11×---F2X----F3X—=_-

10025100505

(III)1Jξi<Dξ3<Dξ2.

3.(2023朝阳一模18)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选

出一二三等奖若干.为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况

统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男生200101515

女生300252540

假设所有学生的获奖情况相互独立.

(I)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

(H)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学

生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望£X；

(III)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为

P。；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为小；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽

到的学生获奖的概率为P2,试比较p。与丐包的大小.(结论不要求证明)

【答案】

(I)设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”,

则P(A)==工......4分

。200。300240

(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，

事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.

由题设知，事件B,C相互独立，

且P(或估计为"+15栏=LP(C)估计为25+25+40=3.

200530010

____1ɜOR

所以P(X=O)=P(BC)=P(B)P(C),估计为(1一？X(1-75)=方

P(X=1)=P{BCBC)=P(B)P(C)+P(B)P(C),

任4出1〃3、八1、319

5IO51050

133

P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C),估计为-×-j^=^∙

所以X的分布列为

X012

28193

P

505050

故估计X的数学期望EX=OX2I8^+Ix*19+2x合3=]1......10分

(III)为>%丝......13分

4.(2023西城一模17)根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位：cm)：

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀260及以上194及以上

良好245-259180~193

及格205-244150~179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到Iem)：

男生：180205213220235245250258261270275280

女生：148160162169172184195196196197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

(I)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

(H)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优

秀的人数，估计X的数学期望EY；

(III)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A,“这

3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与B是否相互独立.(结论不要求证明)

【答案】

(I)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,

所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为24=」1；.....2分

123

估计高三女生立定跳远单项的优秀率为9=』......4分

122

(II)由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=O)估计为(2)2χl=2;...........5分

329

P(X=I)估计为C)XJχ2χ∙L+(2)2χ"L=3;...........6分

-332329

P(X=2)估计为C)XJX2x_L+(，)2*_L=9；...........7分

-3323218

「(*=3)估计为《)\(=；......8分

估计*的数学期望£¥=0*2+卜3+2、9+3乂，=2............10分

9918186

(IIl)A与8相互独立......13分

5.(2023海淀一模18)网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬

菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为4组和B

组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：

A组B组

9805

87531124

9621478

03359

假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.

(I)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；

(II)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20

的户数为X,估计X的数学期望E(X);

(III)从A组和5组中分别随机抽取2户家庭，记。为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的

户数，4为3组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与。(刍)的大小.(结论

不要求证明)

【答案】

(l)ɪ

10

(2)1

(3)D(⅞)=D(⅛)【分析】(1)根据古典概型的概率公式即可求出；

(2)由题可知，X的可能取值为0,1,2,再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出;

(3)根据方差公式计算可知,D(O)=D低).

【详解】(I)设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件C,在A组10户中超过20次的有3户，由样本频

3

率估计总体概率，则P(C)=言

3

(2)由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为历，二

7

单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为m，X的可能取值为0,1,2,所以,

7729

P(X=O)=×P(X=D1X—

焉备K)÷['-⅛1050

……3721…、八21I29c21

P(X=2)=—X—=----E(X)=OX-------J-1×-----F2X----=1

1010100f10050100

(3)依题可知，$的可能取值为0，1，2,且。，42服从超几何分布,

*=。)=*=《，p(*i)=等=卷尸(*2)=3$

jolj½Oɪɔvιoɪɔ

P值=。)=卷=gPe=I)=等4'尸©=2)C；7

15

3377

因为E(4)=2X15=7E(⅛)=2X-=-,所以,

2

-7^×∣0-—I+二7χ∣11

D(O)÷1×k-ɜ

155