2023年中考数学几何模型-角平分线的五种模型（讲+练）（解析版）

专题01角平分线的五种模型

模型一、角平分线垂两边

例1.如图，A。是MBC的角平分线，且AB：AC=3：2,则与△ACD的面积之比为

C.2：3D.不能确定

【答案】A

【详解】过点。作。E_LA8于E,。尸，AC于尸.为/84c的平分线，.尸，又

AB：4c=3：2,

：.S^ABD：S"c«=C^AB-DE)；(|AC«DF)=AB：AC=3：2.故选A.

例2.如图，/AOP=NBOP=15。，PCI/OA,PD1OA,若PC=4,则PO的长为

【答案】2

【详解】解：过尸作PEL。8,交OB与点、E,

VZAOP^ZBOP,PDLOA,PEA.OB,:.PD=PE,"PCHOA,：.ZCPO=ZPOD,

又NAOP=N8O尸=15°,:.NCPO=NBOP=15。,又NECP为AOCP的外角,ZECP=

ZCOP+ACPO=30°,

在宜角三角形CEP中，ZECP=30°,PC=4,：.PE=《PC=2,则PO=PE=2.故答案为:

2.

【变式训练1】如图所示，在四,边形ABC。中，DC//AB,ND4B=90。，ACrBC,AC=BC,

/ABC的平分线交AO,AC于点E、F,则竺的值是___________.

【答案】x/2+1

Dp

【详解】解：如图，作于点G,ZDAB-9O0,-.FG/AD,/.—=—

AC±BC,ZACB=90°

又.8/平分N48C/.FG=FC

BF=BF

在RmBGF和RILBCF中

CF=GF

・••ABGFqABCF(HL),BC=BG

AC=BC,--ZCBA-==45°,「.AB=&8C

.也=改=BC=BC=±=夜+]

EFAGAB-BG&BC-BC夜-1

【变式训练2】如图，80平分，ABC的外角/ABP,DA=DC,DELBP于点E,若A8=5,

BC=3,求BE的长.

【答案】1

【详解】解：过点。作84的垂线交AB丁点H,

A

平分AABC的外角NA8P,DH1AB,：.DE=DH,

DE=DH

在Rt^DEB和RmDHB中,：.!｛出DEB式Rt^DHB(HL),:.BE=BH,

DB=DB

DE=DH

在RtxDEC和Rt^DHA中,/.RtADEC名RmDHA(HL),：.AH=CE,

DC=DA

由图易知：AH=AB-BH,CE=BE+BC,：.AB-BH=BE+BC,：.BE+BH=AB-BC=5-3

=2,

而BE=BH,：.2BE^2,故BEG.

【变式训练3】如图，在R力△45。中,ZABC=90°,AB=6,BC=8,ABAC,

N4CZ7的平分线相交于点E,过点E作EFIIBC交AC于点F,则EF的长

【解析】延长FE交AB于点D,作于点G,作于点H,如图所示：

EFIIBC,AABC=90°,FD1AB,'：EGIBC,..•四边形BDEG是矩形，

•.•4E平分N5/C,CE平分NACB,；.ED=EH=EG,NDAE=/HAE,；.四

边形BDEG是正方形，在△ZL4E和△7L4E中，

乙ADE=4AHE

■：<ZDAE=NHAE,：.ADAEmAHAE<iAAS),：.AD=AH,

AE=AE

同理可得△口?£空4CHE,：.CG=CH,

设BD=BG=%则/0=/H=6—/,CG=CH=8—o:,

•/AC-y/AB2+BC2=A/62+82=10,

...6—2+8—4=1(),解得x=2,.\J3D=DE=2,AD=4

•：DFIIBC,：.AADFsAABC,

模型二、角平分线垂中间

例.如图，已知，/£生7=90。,钻=4（7,瓦）是//18（7的平分线，且CEL8O交8。的延长线

于点E.

求证：BD=2CE.

【答案】见解析

【详解】证明：如图，延长C£H54的延长线相交于点八

AF

,：NEBF+"=90°,ZACF+ZF=90°,NEBF=ZACF,

2EBF=ZACF

在Z\A即和中，\AB=AC,^ABD^/\ACF^ASA),/.BD=CF,

ZBAC=ZCAF

B£＞是NA8c的平分线，Z.NEBC=NEBF.

ZEBC=NEBF

在ABCE和AfiFE中，,BE=BE,

ZCEB=ZFEB

ABCE/ABFElASA),

CE=EF,：.CF=2CE,

：.BD=CF=2CE.

【变式训练1】如图，已知ZkABC,NBAC=45。，在AABC的高8。上取点E,使4E=BC.

(1)求证：CD=DE-,

(2)试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；

【答案】（I）见解析；（2）AEYBC,理由见解析；（3）2加

【详解】（1）证明：VBD1.AC,ABAC=45°,

：./EDA=NBDC=90°,ZABD=ABAD=45°,:.AD=BD,

AD=BD

在和RfBZX7中，：《:.RtVADE二RNBDC（HL）,：.CD=DE；

[AE=BC

（2）AE1BC,理由如下：如图，延长A£,交BC丁点、F,

由⑴ZEAD=ZEBF,ZEAD+ZAED=90°,

ZAED=ZAEF,ABEF+ZEBF=90°,/.EFB=90°,即AE_L8C；

【变式训练2】如图，。是々ABC的8C边的中点，AE平分NBAC,AE_LCE于点E,且AB

=10,AC=16,则。E的长度为

BD

D

B-

【答案】3

【解答】解：如图，延长CE,AB交于点F.

平■分NBAC,AE±EC,--ZFAE=ZCAE,ZAEF=ZAEC=90°

'NEAF=NEAC

在AA尸E和AACE中，■AE=AE,£,AFE9ACE(ASA),，Af'=AC=16,EF=EC,

NAEF=ZAEC

:.B*F=6

乂。是8c的中点，.•.BOuC。，.・.£)«是ACBF的中位线，.•.DEugBQB,故答案为：3.

【变式训练3】如图，在AABC中，8是NAC6的平分线，ADLCD^^D,DE〃BC

交AB于点E,求证:EA=£B.

A

【答案】见解析

【解答】证明：延长AD交8c手点F.C。平分NACE,:.ZACD=ZFCD.

又A。，CD,CD=CD,\ADC/\FDC、：.AD=FD

X-DE〃BC.；.EA=EB

模型三'角平分线+平行线构造等腰三角形

例.如图所示，在ZA8C中，BC=6,E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上,

BP交CE于D,ZCBP的平分线交CE于Q,当CQ=3CE时，EP+BP=.

A

【答案】12

【解答】解：如图，“延长BQ交射线Ef于点M.

F分别是AB、AC的中点，.lEE/BC,••.NCBM=NEM8

BM平分NABC,；.NABM=NCBM,；.NEMB=NEBM，；.EB=EM，：.EP+BP=EP+PM

=EM

CQ=gcE,:.EQ=2CQ

由EF//BC得,AEMQSKBQ

・生=丝=2;.EM=2BC=12:.EP+BP=\2

BCCQ

【变式训练1】如图，/4。7?=30°,。。平分/405，0dLi于点C，DC=4,

求OC的长？

【答案】。。=8+4/

【解析】如图所示：过点D作。E//06交OA于点E,则N2=N3,

...0。平分/4。8,

,\Z1=Z2,/.Z1=Z3,：.0E=DE,

-/DE/IOB,：.ACED=AAOB=30°,

在RtADCE中，

NCED=30°,CD=4,CE=y/DE'2-DC2=A/82-42=4^/3,

：.OC=OE+CE=DE+CE=8+4^/3.

【变式训练2】在H力△力R。中，ZC=90°,AD平分NCAB,BE平分/ABC,AD、BE相

交于点F,且4F=4,ER=v^,则AC=.

【解析】过点E作EG_L4。于G,连接CF,如图所示:

■：AD,3E分别是和的平分线，.・./1=/2,/3=/4,CF是

NZCB的平分线，

ZACB=90°,N2+N4=45°,^ACF=45°,

4EFG=Z2+Z4=45°,/.Z4CF=/AFE=45°,

A/?AJ?

■：ZCAF-ZFAE,：.AAEFs△/尸。♦.嘿=*,

AFAC

在中，EF=^2,：.FG=EG=1,-：AF=4,：.AG=AF-FG=3,

由勾股定理可得4E=^AG2+EG2=A/10,.\AC=售=—空==且.

模型四、利用角平分线作对称

A

例.已知：如图，在△AB。中，N0=2NB,4。平分NB4C,求证：AB-AC=CD.

【答案】见解析

【解析】证明：在AB上截取=连接DE,如图所示:

■：ZBADZCAD,ADAD,：.^EAD^^CAD,：.ZAEDZC,DEDC,

•：乙C=2N8,...ZAED=2ZS,丁/AED=N8+ZEDB,：.ZB=ZEDB,

：.EB=ED,：.BE=CD,­：AB-AC=AB-AE=BE,：.AB-AC=CD.

【变式训练】4。是AABC的角平分线，过点。作。E_LAB于点E,且OE=3,S”8c=20.

（1）如图1,若AB=AC,求AC的长；

（2）如图2,若AB=5,请直接写出AC的长.

【答案】（1）勺：（2）R

3J

【详解】解：（1）如图1,作OF_L4c于F,

是△ABC的角平分线，DEVAB,DF1AC,:.DF=DE=3,

o八

由题意得，；xABx3+gxACx3=20,解得，AC=AB--y；

(2)如图2,作DFVAC^rF,

图2

是AA8C的角平分线，DELAB,DFLAC,:.DF=DE=3,

ii05

由题意得，3x5x3+；xACx3=20,解得，AC-y.

模型五,内外模型

例.如图，在AABC中，AB=AC,NA=30。，E为BC延长线上一点，NABC与/ACE的平

分线相交于点D,则ND的度数为（）

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

E

【答案】A

【解析】：NABC与NACE的平分线相交于点D,，NDCE=NDCA,ZCBD=ZABD,

/ACE=N4+NABC,即4DCE+ADCA=4CBD+/ABD+Z4,

/.2ZDCE=2ZCBD+ZA,/.ZDCE=ZCBD+N。,

.-.ZP=|zX=|x30°-15°.

【变式训练】如图，△43。的外角ZACD的平分线CP与内角NAB。的平分线BP交于

点P,若NBPC=40°,则N04P=.

【答案】ZCAP=50°

【解析】•.•N4CD是的外角，NPC0是△PBC的外角，

ZACD=ZBAC+AABC,ZPCD=ZPBC+ZBPC,

■：BP平分ZABC,CP平分ZACD,

2/PCD=^BAC+2ZPBC,/.ZBAC=2ZBPC,

又•.,NBPC=40。，：.ZBAC=8Q°,

过点P分别作4c的延长线，垂足分别为点E、F、G,如图所

示：

由角平分线的性质可得尸E=PF,PE=尸G,J.PF=PG".AP是NC4G的平分线,

4cAp=£NO4G=5(180°-ABAC}=5(180°-80°)=50°.

NNN

课后训练

1.如图，BD是ABC的外角NA8P的角平分线，DA=DC,于点E,若48=5,

BC=3,则BE的长为()

A.2B.1.5C.ID.0

【答案】C

【详解】解：如图，过点。作。尸，AB于尸，

Q8。是ZA8P的角平分线，DFLAB,DELBP,..DE=DF，

在Rt.BDE和RNBDF中，〈八广八广，••Rt^BDE出Rt^BDF(HL),BE=BF,

[DE=DF

[DA=DC

在R/ADF和RrZ\CO£中，《八厂，•・Rt^ADF学RfACDE(HL),,\AF=CE,

DE=DF

AF=AB-BF,CE=BC+BE,AB-BF=BC+BE,..2BE=AB—BC,

AB=5,BC=3,:.2BE=5-3=2,解得：BE=\.故选：C.

2.如图，A£＞是一"C中N3AC的平分线，DEJLAB交A3于点、E,_LAC交AC于点凡

3

若S△瓯=7,DE',AB=5,则AC的长为()

D.6

【答案】A

【详解】•・,AO是AABC中NBAC的平分线，。石，45于点E,，AC交AC于点F,，

3

DF=DE=—.

2

ccc131313

乂丁S"C=S八3。+S八6,AB=5,7=2乂5乂耳+/乂ACx/‘AC=—.故选：A.

3.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,N84C的平分线交8C于点。，CD=2,BD=3,Q

为AB上一动点，则DQ的最小值为（）

A.1B.2C.2.5D.75

【答案】B

【详解】解：作于”，如图，

平分N8AC,DHLAB,DC±AC,:.DH=DC=2,

•.•。为A8上一动点，.二。。的最小值为。，的长，即。。的最小值为2.

故选：B.

4.如图，已知在四边形ABCQ中，ZBCD=90°,8。平分NA8C,A8=6,BC=9,CC=4,

则四边形ABCD的面积是.

【答案】30

【详解】过。作。E_LA8,交A4的延长线于E,则NE=NC=90。，

：/8CO=90°,8。平分/A8C,:.DE=DCM,

：.四边形ABCD的面积S=S^CD+S^HAD=|xBCxCD+yxABxDE=\x9x4+yx6x4=30,

故答案为：30.

5.如图，在AABC中，A£＞为AABC的角平分线，DELAB,垂足为E,DF±AC,垂足为F,

若AB=5,AC=3,DF=2,则AABC的面积为.

【详解】解：：为AA8C的角平分线，DEYAB,DFLAC,；.DE=DF=2,

：./XABC的面积=/X5X2+TX3X2=8,

故答案侍：8.

6.在aABC中，/ABC=62。，N4CB=50。，/AC。是的外角/AC。和NABC的平

分线交于点E,则NAEB=°

【答案】25

过点E,分别作Eb_L8Z，交8。于点E,四_1_47交4。于点6,EHLAB,交A3延长线

于点”,

BE平分Z4BC,CE平分ZACD，:.EH=EF.EG=EF,：.EH=EG,：.AE平分NHAC,

VZABC=62°,ZACB=50°,ZH4C=Z4BC+Z4CB=62°+50°=112°,/.

乙EAO=-ZHAC=-xll2°=56°,

22

,/BE平分ZABC,ZABC=62°Z£BC=1z/lBC=1x62°=31°

在A40E和ABOC中，NOBC+NOCB=NOAE+ZAEB

：.ZA£B=ZOfiC+ZOCfi-ZQ4E=31o+50P-56o=25°,故答案是：25.

7.如图，DEYAB-fE,DFVACF,若BD=CD,BE=CF.

(1)求证：AC平分N8AC：

(2)己知AC=18,BE=4,求AB的长.

【答案】(1)见解析；(2)AB=10.

【详解】(1)证明：-.DE1AB,DF1AC,:.ZE=ZDFC=90°,

-[BD=CD,、

在即和的△CF£>中，<“八广，ARiBED=RtCFD(HL),：.DE=DF，

[BE=CF

-.DE±AB,DF1AC,.•.?!£)平分ZBAC；

(2)解：DE=DF,AD=AD,:.RQADEHW_ADF(HL),;.AE^AF,

AB=AE-BE=AF-BE=AC-C