2023年安徽中考数学真题（解析版）

2023年安徽省初中学业水平考试

数学

（试题卷）

注意事项：

1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.

3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.

4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1.-5的相反数是（）

「11

A.5B.—5C.—D.—

55

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的定义即可求解.

【详解】解：—5的相反数是5,

故选：A.

【点睛】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义.

2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）

^≤≤]O

G铲:”=承/\

'∙，y\

【答案】B

【解析】

【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解.

【详解】解：；主视图是直角三角形，

故A,C,D选项不合题意，

故选：B.

【点睛】主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体

得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键.

3.下列计算正确的是（）

A./+/=/B././=/C.D∙α8÷α4=/

【答案】C

【解析】

【分析】根据同底数塞的乘法，同底数事的除法，募的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解.

44i

【详解】解：A.a+a=2a,故该选项不正确，不符合题意；

B.故该选项不正确，不符合题意；

C.（a4）=36,故该选项正确，符合题意；

D.α8÷√=√,故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了同底数基的乘法，同底数基的除法，幕的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幕的乘

法，同底数幕的除法，幕的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键.

Y—1

4.在数轴上表示不等式——<O的解集，正确的是（）

2

A..•.!...........B............j><一C.^-4..■■Ξ>D.__一，:，，.

-2-1012345-2-1012345-2-1012345-2-1012345

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式解集即可求解.

Y—1

【详解】解：——<0

2

解得：x<L

数轴上表示不等式的解集

-2-1012345

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键.

5.下列函数中，y的值随X值的增大而减小的是（）

A.ʃ=x2+1B.y-—x^+1C.y=2x+lD.y--2x+1

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解.

2

【详解】解：A.y=x+↑,fl>0,对称轴为直线X=0，

当x<0时，y的值随X值的增大而减小，当χ>0时，丁的值随X值的增大而增大，故该选项不正确，不符

合题意；

B.y=-∕+l,a<0,对称轴为直线X=0,

当尤<0时，y的值随X值的增大而增大，当χ>o时，y的值随X值的增大而减小，故该选项不正确，不符

合题意；

C.y=2x+l,k>。,y的值随X值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；

D.y=-2x+l,k<0,y的值随X值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键.

6.如图，正五边形ΛBCZ）E内接于（O,连接OCor）,则NBAE-NCOD=（）

A

A.60oB.54oC.48oD.36°

【答案】D

【解析】

【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可.

【详解】∙.*NBAE=180360°0,NCO。=3^6-0°,

55

3600360°

.∙,ZBAE-ZCOD=180°-ɪ--ɪ-=36°,

55

故选D.

【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关健.

7.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳数”.用1,2,3

这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为()

5ɪCl2

A.—B.-C.-D.—

9239

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解.

【详解】解：依题意，用1，2.3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，

123,132,213,231,312,321共六种可能，

只有123,321是“平稳数”

21

•∙•恰好是“平稳数”的概率为

63

故选：C.

【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.

8.如图，点E在正方形ABC。的对角线AC上，MLA3于点F,连接DE并延长，交边BC于点、M,

交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=I,则MG=()

A.2√3B.ɪC.√5+lD.√lθ

2

【答案】B

【解析】

DEAFCMDE

【分析】根据平行线分线段成比例得出——=——=2,根据Z∖A0ES得出一=—=2,

EMFBADEM

132

则CM=—A。=—,进而可得MB=―,根据BC〃AD,得出^GMBsGZM,根据相似三角形的性

223

质得出BG=3,进而在RtZXBGM中，勾股定理即可求解.

【详解】解：；四边形ABS是正方形，AF=2,FB=L

AD=3C=AB=AF+R7=2+1=3,AD//CB,AD±AB,CB±AB,

；•EF±AB,

.∙.AD//EF//BC

AF

•DE:2,AADESACME,

"~EM~~FB^

.CMDE13

/.-------=2,则CM=-AD=-,

AD~~EM22

2

：.MB=一，

3

∙.∙BC//AD,

；♦--GMBS_GDA，

3

.∙.BGMB2\

13

BG=—AB=—，

22

在RtZXBGM中，MG=^MB2+BG2=J[+32ɪ-

故选:B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌

握以上知识是解题的关键.

9.已知反比例函数y=±(Arθ)在第一象限内的图象与一次函数y=r+6的图象如图所示，则函数

y=f—法+%—1的图象可能为()

>=~x÷6

【答案】A

【解析】

【分析】设A(IM),则3化1),k>∖,将点代入y=-χ+6,得出根=)一1,代入二次函数，

,h

可得当x=l时，y=-1,则y=Y一法+%一1,得出对称轴为直线》=—〉ι,抛物线对称轴在y轴的右

2

侧，且过定点(1,-1),进而即可求解.

【详解】解：如图所示，

设则8(4,1),根据图象可得&>1,

将点3(k,l)代入y=r+b,

1=—k+b,

∙*∙k=b—1,

∙.∙%>ι,

：.b>2,

.,.y=x2-bx+k-i-x2-bx+^b—l^-1-x2-bx+b-2=^x-^+^-+/?-2>

h

对称轴为直线x=—>1,

2

当X=I时，1—8+Z?—2=—1,

...抛物线经过点(1,-1),

.∙.抛物线对称轴在X=I的右侧，且过定点(1,-1),

当X=O时，y=k-l=b-2>0,

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出％=匕-1是解题的关键.

10.如图，E是线段AB上一点，VADE和二BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,尸分别是

CD,AB的中点.若A6=4,则下列结论母送的是（）

A./%+总的最小值为3石B.PE+PF的最小值为

C.CDE周长的最小值为6D.四边形ABe。面积的最小值为3后

【答案】A

【解析】

【分析】延长AO,BC,贝kABQ是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与尸重合时,

则Q,P,E三点共线，各项都取得最小值，得出B,C,D选项正确，即可求解.

【详解】解：如图所示，

延长AO,8C,

依题意ZβAP=NQBA=60o

Λi-ABQ是等边三角形，

∙.,P是CZ)的中点，

.∙.PD=PC,

•：ZDEA=NCBA,

：.ED//CQ

：.ZPQC=ZPED,ZPCQ=ZPDE,

.PDEaPCQ

：.PQ=PE,

.∙.四边形Z)ECQ是平行四边形，

则尸为EQ的中点

如图所示，

设AQ,BQ的中点分别为G,”，

则G∕5=^AE,PH=LEB

22

•••当E点在AS上运动时，P在GH上运动,

当七点与尸重合时，即AE=£S,

则Q,P,E三点共线，Pb取得最小值，此时4E=EB=g(AE+EB)=2,

则A4Z)E段4ECβ,

∙∙∙C,。到AB的距离相等，

则C。〃AB,

此时PF=—AZ)=√3

2

此时VADE和一BCE的边长都为2,则AP,PB最小，

.∙.PF=—×2=√3.

2

•••PA=PB=^22+(√3j2=√7

PA+PB=2出，

或者如图所示，作点B关于G”对称点3',则PB=PB',则当AP,B'三点共线时，AP+PB=AB,

此时AB'=√AB2+BB'=J?+(2@?=2√7

故A选项错误，

根据题意可得P,Q,尸三点共线时，P/最小，此时PE=依=√5,则PE+P尸=26，故B选项正确;

CZ)E周长等于CD+OE+CE=C£>+AE+£8=CD+A5=CD+4,

即当Co最小时，CZ)E周长最小，

如图所示，作平行四边形GDW/，连接CM,

VZGHQ=60。,NGHM=ZGDM=60°,则NCHM=120°

如图，延长DE,HG,交于点N,

则ZNGD=NQGH=60o,ZNDG=ZADE=60°

.∙.ANGO是等边三角形，

.∙.ND=GD=HM,

在，NPD与AHPC中,

NNPD=ZHPC

<NN=ZCHP=60°

PD=PC

:NPg二HPC

.,.ND=CH

：.CH=MH

：.4HCM=/HMC=3"

：.CM//QF,则CMLDM,

.∙.一。Me是直角三角形,

在AfO/中，DC>DM

.∙.当。C=f>Λ∕时，DC最短,DC=GH=LAB=2

2

∙.∙CD=PC+2PC

.∙..C£>£周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确；

∙.∙-NPg-HPC

，四边形AjBez）面积等于Sade+SEBC+SDEC=Sλdf+S平行四边NEBC

，当ABGO的面积为0时，取得最小值，此时，RG重合，C,H重合

.∙.四边形ABCD面积的最小值为3χY3χ22=3石，故D选项正确，

4

故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E

点与尸重合时得出最小值是解题的关键.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.计算：次+1=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解.

【详解】解：酶+1=2+1=3,

故答案：3.

【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.

12.据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为

【答案】7.45XIO9

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为αχlθ",其中l≤∣α∣<10,〃为整数.

【详解】解:74.5亿=74.5XIO*=7.45XIOK

故答案为：7.45×IO9.

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为「χ10"的形式，其中l≤∣α∣<10,〃为整数.确

定〃的值时，要看把原来的数，变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值≥10时，”是正数；当原数的绝对值<1时，”是负数，确定。与〃的值是解题的关键.

13.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积

术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角

I（AR~—Ar2、

CABC的高,则50=彳BC+---.当AB=7,BC=6,AC=5时，CD=—.

2BC

A

【答案】1

【解析】

【分析】根据公式求得BD，根据Cr）=BC—30,即可求解.

【详解】解：；A5=7,8C=6,AC=5,

1[AB2-AC249-25）

：.BD=-BC+=5

2BC,

.,.CD=BC-BD=6-5=∖,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键.

14.如图，0是坐标原点，Rt_Q4B的直角顶点A在X轴的正半轴上，AB=2,NAQB=30。，反比例函

数y="（女>0）的图象经过斜边。B的中点C.

（2）。为该反比例函数图象上的一点，若05〃AC,则一8£>2的值为

【答案】0.√3②.4

【解析】

【分析】（1）根据己知条件得出AB的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出C的坐标，进

而即可求解；

（2）根据题意，求得直线AC,80,联立Br）与反比例函数解析式，得出。的坐标，进而根据两点距离公

式求得05?，BD?，进而即可求解.

详解】解：（1）VAB=2,ZAOB=30°,

.*.OA=2^3,OB=2AB=4

：.A(2√3,0),B(2√3,2),

：C是OB的中点，

.∙.c(6,l),

k

；反比例函数y=-(&>0)的图象经过斜边。8的中点C.

X

：.k=也;

，反比例数解析式为y=且

X

故答案为：G；

(2)VA(2√3,O),C(√3,l)

设直线AC的解析式为y=履+匕

Jo=2&+b

"[l=√3^+⅛

L-.√l

解得：\3

b=2

直线AC的解析式为V=--x+2，

3

∙.∙DB//AC,

设直线3。的解析式为y=-等X+/?，将点B(2百,2)代入并解得分=4,

直线8。的解析式为y=-∖±x+4,

•；反比例数解析式为y=正

X

下）.

y=------x+4

3

联立＜

√3

y=

X

x=2√3+3X=2Λ∕3—3

解得:或,

y=2-∖∣3y—2+yfi

x=2√3+3222

,BD=(2√3+3-2^)+(2-2+√3J=9+3=12

'ιl-时,

y=2-√3

x=2√3-3222

当〈L时,BD=(2√3-2√3+3)+(2+^-2)=9+3=12

y=2+√3

OB2=(2√3)2+22=16

--OB2-BD2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性

质是解题的关键.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.先化简，再求值：—^ɪ-,其中χ=0-1.

x+1

【答案】x+1；√2

【解析】

【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解.

Y2+2r+1

［详解］解：上二

x+1

=(χ+ι)2

x+1

=X+1,

当X=夜-1时,

∙,∙V2-1+1="$/2•

【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解.

16.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨1()%,乙地降价5元,

已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单

价.

【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元

【解析】

【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为χ,y元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程

组即可求解.

【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为％y元，根据题意得，

%+10=y

'x（l+10%）+l=y-5

f%=40

解得：1S

y=50

答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.

四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）

17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B,C,。均为格点（网格线的交点）.

（1）画出线段AB关于直线Co对称的线段44；

（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段人与，画出线段为与；

（3）描出线段AB上的点M及直线Co上的点N,使得直线MN垂直平分AB.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据轴对称的性质找到AB关于直线CD的对称点，A1,B1,连接4，片，则线段44即为

所求；

（2）根据平移的性质得到线段4名即为所求;

（3）勾股定理求得AM=BM=Jl2+32=JI5,MN=Jl2+32=√I5,则AM=MN证明

.NPM四-MQA得出NNΛ∕P+NAMQ=90°,则N,则点M,N即为所求.

【小问1详解】

解：如图所示，点M,N即为所求

AM=BM=√l2+32=√lδ>M∕V=√l2+32=√10'

/.AM=MN,

又NP=MQ=LMP=AQ=3,

.∙.JNPMAMQA,

.∙.NNMP=NMAQ,

又NMAQ+NAM2=90o,

.∙.NNMP+ZAMQ=90°

：.AMJ.MN,

MN垂直平分AB.

【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.

18.【观察思考】

◎

◎

◎◎**◎

◎◎*◎◎**◎◎***◎

◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

【规律发现】

请用含〃的式子填空:

(1)第〃个图案中的个数为;

(2)第1个图案中的个数可表示为^—,第2个图案中“★”的个数可表示为——，第3个图案中

22

3x44x5

的个数可表示为——，第4个图案中的个数可表示为——，……，第〃个图案中的个

22

数可表示为.

【规律应用】

(3)结合图案中的排列方式及上述规律，求正整数〃，使得连续的正整数之和1+2+3++〃等于

第〃个图案中“◎”的个数的2倍.

【答案】(1)3〃

∕z×(n+l)

(2)

2

(3)H=Il

【解析】

【分析】(1)根据前几个图案的规律，即可求解：

(2)根据题意，结合图形规律，即可求解.

(3)根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解.

【小问1详解】

解：第1个图案中有3个◎，

第2个图案中有3+3=6个◎，

第3个图案中有3+2x3=9个◎，

第4个图案中有3+3x3=12个◎，

.∙.第"个图案中有3〃个◎，

故答案为：3〃.

【小问2详解】

1×2

第1个图案中的个数可表示为之,

2

第2个图案中的个数可表示为〜2'3，

2

3×4

第3个图案中的个数可表示为二,

2

4×S

第4个图案中“★”的个数可表示为……

2

第"个图案中的个数可表示为竺"D,

【小问3详解】

解：依题意，1+2+3+.......+“/々+I）,

第〃个图案中有-3〃个@,

解得：〃=0（舍去）或〃=11.

【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.如图，。,R是同一水平线上的两点，无人机从。点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R

点的俯角为24.2。，无人机继续竖直上升到8点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升

高度AB（精确到0.1m）.参考数据：sin24.2o≈0.41,cos24.2o«0.91,tan24.2o≈0.45,

sin36.9o≈0.60,cos36.9o≈0.80,tan36.9o≈0.75.

40m

（答案】无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米

【解析】

【分析】解Rt一AOR,求得A。，OR,在RjBOH中，求得80,根据AB=BO—AO,即可求解.

【详解】解：依题意，ZARO=24.2°,NBRo=36.9°,AR=40,

RtAoR中，ZARO24.2?,

：.AO=AR×sinZARO=4()×sin24.2o,RO=AR×cosZARO=4()×cos24.2o,

在RtABOR中，OB=ORXtanNBRo=40Xcos24.2oXtan36.9o,

∙'∙ΛB=BO—AO

=40×cos24.2o×tan36.9o-40×sin24.2o

≈40×0.91×0.75-4()×0.41

≈10.9(米)

答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

20.已知四边形ABCD内接于O,对角线3。是：O的直径.

(1)如图1,连接O4,C4,若。4_1_6£),求证；C4平分NBer＞；

(2)如图2,E为。。内一点，满足AECE_LAB,若BD=3#＞，AE=3,求弦BC的长.

【答案】(1)见解析(2)BC=30

【解析】

【分析】(1)利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可.

(2)证明四边形AECo平行四边形，后用勾股定理计算即可.

【小问1详解】

,/对角线BD是「。的直径，OA±BD

∙'∙AB=AD'

：.ZBCA=ΛDCA,

.∙.C4平分NBCZ).

【小问2详解】

：对角线3。是，。的直径,

.∙.ZBAD=ZBCD=90°,

：.DC±BC,DA±AB

■：AELBC,CELAB,

：.DCAE,DACE,

，四边形AECD平行四边形，

DC=AE>

♦:BD=30，AE=3,

：.BD=30OC=3,

∙∙∙BC=^3y∕3）y2-32=3√2.

【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，

熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

六、（本题满分12分）

21.端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一

次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、

为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统

计图表，部分信息如下：

七年级10名学生活动成绩扇形统计图

八年级10名学生活动成绩统计表

成绩/分678910

人数12ab2

已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是,七年级活动成绩的众数为

分;

(2)a=,b=；

(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成

绩也高，并说明理由.

【答案】(1)1,8

(2)2,3

(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%,即可得出七年级活动成

绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；

(2)根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得“，。的值，即可求解；

(3)分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解.

【小问1详解】

解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1一5()%—2()%—20%尸1()%

.∙.样本中，七年级活动成绩为7分学生数是10'10%=l,

根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，

故答案为：1,8.

【小问2详解】

•••八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，

・・・第5名学生为8分，第6名学生为9分，

«=5—1—2=2>

∕j=10-l-2-2-2=3.

故答案为：2,3.

【小问3详解】

优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，

七年级优秀率为20%+20%=40%,平均成绩为：7χl0%+8χ50%+9χ20%+10χ20%=8.5,

3+2

八年级优秀率为二一Xl00%=50%>40%,平均成绩为：

10

木x(6+7x2+2x8+3x9+2x10)=8.3<8.5,

优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，

，优秀率高的年级不是平均成绩也高

【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是

解题的关键.

七、(本题满分12分)

22.在RtAABC中，M是斜边AB的中点，将线段绕点M旋转至M£＞位置，点。在直线AB外，连

接AD,BD.

图1图2图3

(1)如图1,求∕AZ＞3的大小；

(2)已知点。和边AC上的点E满足ME±AD,DE∕∕AB.

(i)如图2,连接C。，求证：BD=CD;

(ii)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tanNA6E的值.

【答案】(1)ZADB90°

(2)(i)见解析；(ii)ɪ

【解析】

【分析】(1)根据旋转的性质得出MA=MD=MB，根据等边对接等角得出

NMAD=NMDA,NMBD=NMDB,在^ABD中，根据三角形内角和定理即得出

ZMAD+ZMDA+ZMBD+ZMDB=I80°,进而即可求解；

(2)(i)延长AC,B。交于点尸，证明四边形AM是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，

AF=AB＞根据等腰三角形的性质，得出。是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，即可得证；

(ii)如图所示，过点E作EH，AB于点H,由工AHESLACB,得出EH=3,AH=4,

BH=AB-AH=W-A=G,进而根据正切的定义即可求解.

【小问1详解】

解：YMA=MD=MB

.∙,ZMAD=NMDA,ZMBD=NMDB,

在Z∖ABO中，ZMAD+ZMDA+ZMBD+ZMDβ=180o

Iono

.∙.ZADB=ZADM+ZBDM=——=90o

2

【小问2详解】

证明：（i）证法一：

如图，延长30、AC,交于点尸，则ZBCF=90°,

'：ME±AD，ZADB=90°

：-EM//BD.

又•；DE//AB，

四边形BDEM是平行四边形.

DE=BM.

是AB的中点，，

/.AM=BM.

.,.DE=AM.

；•四边形AMDE是平行四边形.

VME±AD.

,4WDE是菱形.

∙∙∙AE=AM.

EM//BD，

.AEAM

.∙∙AB=AF.

VZADB=90°,即ADLBR，

：.BD=DF，即点。是RtBc户斜边的中点.

.∙.BD=CD.

证法二：

VZACBZADB^90o,M是斜边AB的中点，

.∙.点A、C、。、B在以M为圆心，AB为直径的，〃上.

ME±AD，

垂直平分AZ).

.,.EA=ED.

：.ZEAD=NEDA.

∙.∙DE//AB，

：.ZBAD=ZEDA.

.,./FAD=/RAr).

：.BD=CD.

证法三：

∙.∙ME±AD，ZADB=90°

；.EM〃BD.

又,：DE//AB，

.∙.四边形BDEM是平行四边形.

：.DE=BM.

：M是AB的中点,，

AM=BM.

；•DE=AM.

.∙.四边形AMZ)E是平行四边形.

VME±AD.

∙∙.LAMDE是菱形.

；•ZEAD=ZMAD.

∙.∙NAC5=NAOB=90。，M是斜边AB的中点，

.∙.点A、C、D、8在以M为圆心，AB为直径的OM上.

∙.BD=