第二节数字滤波教材

§2.2数字滤波器一、数字滤波器基本概念滤波器的作用

高速继电保护装置都工作在故障发生后的最初瞬变过程中，这时的电压和电流信号由于混有衰减直流分量和复杂的谐波成分而发生严重的畸变。目前大多数保护装置的原理是建立在反映正弦基波或某些整倍数谐波基础上，所以滤波器一直是继电保护装置的关键器件。目前所使用的微机继电保护几乎都采用了数字滤波器。滤波器

模拟滤波器

数字式滤波器

§2.2数字滤波器数字滤波器数字滤波器是将输入模拟信号x(t)经过采样和模数转换变成数字量后，进行某种数学运算（所谓数字滤波器通常是指一种程序或算法（也可以用硬件实现））去掉信号中的无用成分，然后再经过数模转换得到模拟量输出y(t)。（1）滤波精度高，具有高度的灵活性通过改变滤波算法或某些参数，可以非常灵活地调整滤波特性，易于适应不同应用场合的要求。（2）稳定性和可靠性高模拟器件受环境影响较大，而数字系统受影响要小得多。数字滤波器的优点：（3）便于分时复用采用模拟滤波器时，每一个输入通道都需要一个滤波器，而数字滤波器通过分时复用，一套数字滤波器就可以完成所有通道的滤波任务，保证了各通道的滤波特性完全一致。按频率特性分类

带阻滤波器

高通滤波器低通滤波器带通滤波器§2.2数字滤波器按脉冲响应时间的不同分类

按运算结构不同分类

无限长冲击响应滤波器（IIR）

有限长脉冲响应滤波器（FIR）

IIR滤波器的脉冲响应h(n)包括无限个采样值，h(n)在区间内有无限个不等于零的采样值。FIR滤波器的脉冲响应h(n)，在区间内有有限个采样点，n1和n2是两个有限值。非递归型

递归型数字滤波器的运算过程可用下述常系数线性差分方程来描述

通过选择滤波器系数ai和bj，可以滤除输入信号序列x(n)中的某些无用频率成分。

§2.2数字滤波器

当bi全为零时，上式称为非递归滤波器，非递归滤波器，即当前的输出y(n)只与过去和当前的输入值x(n-i)有关，而与过去的输出值y(n-j)无关。只含有前馈通道而无反馈通道

如果系数bj不全为0，即当前的输出不仅与过去和当前的输入有关，还与过去的输出有关，这就是递归型滤波器。含有反馈通道

§2.2数字滤波器二、简单滤波器及级联滤波器

最简单的数字滤波器是利用加、减法运算构成的线性滤波器。这种滤波器是假定输入信号由稳态基波、稳态整次谐波和稳态直流所组成，不考虑暂态过程和其它高频成分。所以这种滤波比较粗糙，但运算量较小。一般用于速度较低的保护中。如过负荷保护、过电流保护和一些后备保护。减法滤波器（差分滤波器）差分方程为

y(n)=x(n)-x(n-k)

z变换

Y(z)=X(z)(1–z-k)转移函数将代入得到它的幅频特性为通常令fs=Nf1，N=1，2，…，即每基频周期内有N点采样。§2.2数字滤波器如果想消除m次谐波，确定参数k（滤波器的阶次）值，则应当使时

p=1，2，…….

§2.2数字滤波器例1已知采样频率fs=600Hz，基波频率f1=50Hz。则（1）要消除偶次谐波，取m=2p（p=0，1，2，….），代入上式得k=6，可消去直流成分及2、4、6……等偶次谐波。滤波器的差分方程为

y(n)=x(n)–x(n-6)（2）要消除三次谐波及其整数倍的谐波，则可取m=3p，得k=4。滤波器的差分方程为：y(n)=x(n)–x(x-4)。（3）要消除直流、工频及其所有整数倍的谐波分量，可取m=p，k=12。在电力系统稳态时，该滤波器没有输出；在系统发生故障后的一个基波周期内，它只输出故障分量，所以可以用来使实现启动元件，选相元件及其它利用故障分量原理构成的保护。取前6Ts时刻的采样值

§2.2数字滤波器减法滤波器程序入取当前采样值滤波结果存入RAM区返回减法滤波器程序流程§2.2数字滤波器2．加法滤波器差分方程为

y(n)=x(n)+x(n-k)

z变换为H(z)=1+z-k幅频特性为要消除m次谐波，将代入，应使，可得

p=0，1，2，……

如果已知k，可得滤除的谐波次数§2.2数字滤波器例2已知采样频率fs=600Hz，基波频率f1=50Hz，则N=fs

/f1=12，得要消除1、3、5……等奇次谐波，可令m=2p+1，得k=6，这种滤波器也不输出基波分量。要消除3、9、15……等次谐波，可令m=3(2p+1)，得k=2。

y(n)=x(n)+x(n-6)

y(n)=x(n)+x(n-2)

§2.2数字滤波器

3．积分滤波器差分方程为

y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+……+x(n-k)z变换为

H(z)=1+z-1+z-2+……+z-k=幅频特性为要消除m次谐波，将代入，应使，可得

p=0，1，2，……

如果已知k，可得滤除的谐波次数若p取0时，m也为0，但幅频特性不为0，所以不论fs、k取何值，都不能滤除直流分量（具有低通特性）。

§2.2数字滤波器频率特性：例3已知fs=600Hz，代入上式得（1）要滤除偶次谐波，可令m=2p，得k=5。

y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+……+x(n-5)滤波器的差分方程为（2）若要滤除3的整数倍谐波，可令m=3p，得k=3，滤波器的差分方程为

y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)§2.2数字滤波器4．加减法滤波器差分方程为

z变换为（1）k为奇数时的幅频特性要消除m次谐波，将代入，应使，可得

p=0，1，2，……

如果已知k，可得滤除的谐波次数

可见这种滤波器可以滤除N/(k+1)整数倍次谐波。当p=0，m=0时，幅频特性也为零，即无论k、fs取何值，都能滤除直流分量。它的幅频特性曲线见图

§2.2数字滤波器例4：已知fs=600Hz，则

若要消除3的整数倍谐波，可令m=3p，可得k=3。

若要消除偶次谐波，可令m=2p，得

k=5。

§2.2数字滤波器（2）k为偶数时的幅频特性要消除m次谐波，将代入，应使，可得

p=0，1，2，……

如果已知k，可得滤除的谐波次数§2.2数字滤波器例5：已知fs=600Hz，则

若令m=4p+2，则可滤除2、6、10……等次谐波，代入上式得k=2。5．简单滤波单元的组合一个由m个简单滤波单元组成的级联滤波器的转移函数可表示为幅频特性

相频特性

时延特性

§2.2数字滤波器例6设采样频率为fs=600Hz，要求完全滤除直流分量和2、3、4、6次谐波分量。解：采用两个减法滤波（带通

）单元和两个积分滤波（低通)单元级联：

H1(z)=(1-z-2)，―――0、6次

H2(z)=(1-z-6)，―――0、2、4次

H3(z)=(1+z-1+z-2)，―――4次

H4(z)=(1+z-1+z-2+z-3)―――3、6次

减法滤波单元可滤除直流分量和2、4、6次谐波分量，两个积分单元可滤除3、4、6次谐波，其幅频特性曲线如图所示。

第二章微型计算机继电保护的数字信号基础

例7有一个50Hz基频带通滤波器，分别由下列滤波单元组成

2.2数字滤波器一个减法滤波器

H1(z)=1-z-6两个积分滤波器

采样频率为fs=1200Hz。试分析该滤波器能完全滤除多少次谐波？

解：滤波器的转移函数为

H(z)=H1(z)H2(z)H3(z)=(1-z-6)(1-z-8)(1-z-10)/(1-z-1)2幅频特性

当fs=1200Hz时，fs=24f1，Ts=1/（24f1），上式可写成第二章微型计算机继电保护的数字信号基础2.2数字滤波器幅频特性曲线

当m=4p时，减法滤波器可滤除直流分量和4、8、12……次谐波。

当m=3p时，第一个积分滤波器H2(z)可滤除第3、6、9……次谐波。当m=2.4p时，第二个积分滤波器H3(z)可滤除2.4、4.8、7.2、9.6……次谐波。

第二章微型计算机继电保护的数字信号基础2.2数字滤波器三、用零极点配置法设计数字滤波器这是通过直接在Z平面上合理的设置零点和极点，以得到符合要求的频率响应特性和时延特性。（一）零、极点对系统频率响应的影响N阶数字滤波器的转移传递函数的一般形式为式中，ci、di分别为Z平面上的零点、极点。令

，则滤波器的频率特性可表示为：

第二章微型计算机继电保护的数字信号基础2.2数字滤波器可以用Z平面上从零点ci指向单位圆上的点

的向量表示：

可以用从极点di指向单位圆上的的向量

表示：

为零向量，

为极向量。

第二章微型计算机继电保护的数字信号基础2.2数字滤波器幅频特性

相频特性

零、极点位置对系统频率响应的影响

极点的影响极点di离单位圆上的点

较近时，向量Di的幅值较小，幅频特性出现峰值，di越接近，幅频特性越尖锐，当di落在圆上时，，

相当于在该频率点上出现无损耗谐振，滤波器处于临界稳定状态；当极点di落在单位圆外时，滤波器将工作在不稳定状态。第二章微型计算机继电保护的数字信号基础零点的影响2.2数字滤波器零点ci越接近

点，

就越小，当ci刚好落在圆上时，也就是在零点所在的频率上，出现传输零点，该信号完全被滤除。零点在单位圆外不影响滤波器的稳定性。

例题：如图所示为离散控制系统框图。试分析其稳定性。其中采样周期T=1s，K=1，H(s)=1。解：此系统的脉冲传递函数为其中第二章微型计算机继电保护的数字信号基础2.2数字滤波器第二章微型计算机继电保护的数字信号基础2.2数字滤波器所以

闭环系统的特征方程为当K=1时，

解得

由于

，即两个特征根都位于Z平面的单位圆内，所以系统是稳定的。

§2.2数字滤波器（二）用零、极点配置法设计数字滤波器1．零、极点配置法

因为数字滤波器的差分方程系数必须是实数，这就要求数字滤波器的脉冲传函H(z)的零、极点必须是以共轭的形式成对出现；从稳定性考虑，要求极点的幅值必须小于1，即要位于单位圆内。从提高滤波效果看，系统的零点设置在单位圆上比较好。

H(z)零极点配置及与滤波效果的关系：

1）如果在单位圆上设置一对共轭复零点，如，则数字滤波器的频率特性将会在f=f1处出现零传输，即可以完全滤除输入信号中的f1频率分量。

2）如果在单位圆内设置一对共轭复极点，如，则数字滤波器的频率特性将会在f=f2处出现峰值，而且r（极点到圆心的距离，称为极径）越接近1（即极点越接近圆上），峰值越尖锐，如图所示。说明数字滤波器对频率为f2的信号分量具有提取作用。

§2.2数字滤波器简单零、极点的频率响应零点的配置：

如果要求数字滤波器滤除输入信号中的第k次谐波分量，则应该在Z平面上处设置零点（其中，r>0，Ts为采样周期，k=fi/f1），若z是复数，为使脉冲传函的系数为实数，该点应是一对共轭复数，因此脉冲传函中的相应因子应设置为：§2.2数字滤波器若要完全滤除k次谐波，可令r=1，即在单位圆上设置共轭零点。当零点设置在正实轴上时，有k=0（欲滤除直流），对应的传递函数为滤除直流

当零点位于负实轴上时，对应的传函为

极点的配置：

这里讨论的是单一滤除某一次谐波时，数字滤波器的脉冲传函H(z)中的零点配置方法。而它的极点配置方法与零点配置方法类似，如果要提取输入信号中的第k次谐波分量，则极点的配置应为，在H(z)中的因子是为保证数字滤波器的稳定性，r的取值小于1。§2.2数字滤波器综上所述，零极点配置法设计数字滤波器，实质上是根据工程的需要，提出要滤除的或要提取的谐波频率kf1来选择数字滤波器的脉冲传函H(z)的零极点，根据来构造数字滤波器的H(z)中的因子表达式Hk(z)，然后再利用H(z)与对应的时域差分方程来实现满足要求的数字滤波器算法。§2.2数字滤波器

2．零点和极点配置方法的应用

（1）全零点数字滤波器在H(z)中只含零点，不含极点的滤波器。它属于一种非递归型数字滤波器。设采样频率fs是输入信号基波频率f1的N倍，且N为偶数。现要滤除K=m以外的整数次谐波，为满足这一要求，数字滤波器的零点应选为Z平面单位圆上的一些点r=1，则全零点数字滤波器的脉冲传函应选为各零点因子脉冲传函之积（相当于级联），即，式中A为放大倍数。幅频特性为从上式可知，在f=0，f1，2f1，…，Nf1/2，且幅频特性的数值等于零，符合所提出的要求。

§2.2数字滤波器

如：设N=12，现要求保留基波，完全滤除直流和其他整数次谐波分量，则数字滤波器的脉冲传函为

将上式完全展开成关于z的多项式，再根据时域差分方程与H(z)之间的对应关系，即可求出滤波器的时域差分方程，即时域算法。下表给出了滤除直流分量直到12次谐波分量的脉冲传函H(z)中所对应因子的表达式。滤除谐波次数cos2πk/NHk(z)滤除谐波次数cos2πk/NHk(z)011-z-17-0.8661+1.732z-1+z-210.8661-1.732z-1+z-28-0.51+z-1+z-220.51-z-1+z-2901+z-2301+z-2100.51-z-1+z-24-0.51+z-1+z-2110.8661-1.732z-1+z-25-0.8661+1.732z-1+z-21211-z-16-11+z-1§2.2数字滤波器

可见，有一些脉冲传函是相同的，它们是关于6次谐波滤除因子对称的。这是由于只要谐波频率k1f1与k2f2所对应的脉冲传函零点与是共轭复数关系，滤除k1次和k2次谐波的脉冲传函因子Hk1(z)和Hk2(z)就是相同的。同时也说明了同一个数字滤波器可以滤除两种不同频率的谐波信号。

在实际工程中，当需要同时滤除第k次和k+1次谐波信号时，可以将这两个谐波滤波器的脉冲传函相乘，就得到了所要设计的数字滤波器的脉冲传函H(z)，即H(z)=Hk(z)Hk+1(z)

例设采样频率fs=600Hz，要求保留基波，完全滤除直流分量和其他谐波分量（最高k=5次）。试用零点配置法设计数字滤波器。解根据全零点数字滤波器的设计方法得

H0(z)=1-z-1，H2(z)=1-z-1+z-2，H3(z)=1+z-2

H4(z)=1+z-1+z-2，H5(z)=1+1.732z-1+z-2§2.2数字滤波器其脉冲传函为

差分方程为

由于需要滤除的谐波次数较多，所以这个滤波器的数据窗较长（10个采样值）。

特点：在输入信号中，只含有直流分量、基波和有限个基波频率整数倍频的谐波分量时，采用这种方法提取基波分量或某一个基波整数倍频的谐波分量是一个非常有实用价值的数字滤波算法。但当要滤除的谐波分量的个数较多时，滤波器的数据量用的较多，使滤波器的响应时间增加。§2.2数字滤波器（2）狭窄带通滤波器

由