2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级下册期中素质模拟测试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年安徽省马鞍山市高二下册期中素质模拟测试数学

模拟试题

一、单选题

1.从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

【正确答案】D

【分析】先分析等差数列的公差可能为±1,±2,再列举出所有等差数列即可.

【详解】易知组成的等差数列的公差可能为±1,±2,公差为1的等差数列有1,2,3、2,3,4、

3,4,5；公差为-1的等差数列有3,2,1、4,3,2、5,4,3；公差为2的等差数列有1,3,5；公差为

-2的等差数列有5,3,1；一共8个.故选D.

本题主要考查等差数列，意在考查学生的基本运算能力，属于基础题.

2.若/'（x°）=2,则lim/（/）一/（/+“）=（）

a-＞00

A.2B.1C.-2D.-1

【正确答案】C

【分析】根据导数的定义，lim'、。卜/（%+“）=-/•'（%）,代入即可求得

3a

【详解】因为/'（%）=2,则］皿/伉）―/（%+力=_/'仁）__2.

3a

故选：C

3.函数y=/（x）的图象如图所示，它的导函数为y=/'（x）,下列导数值排序正确的是（）

A.r（l）＞r（2）＞/（3）＞0B./‘⑴＜/'（2）＜/,（3）＜0

c.o＜r（i）（r（2）＜/"）D.r（i）＞.r（2）＞o＞r（3）

【正确答案】A

【分析】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论.

【详解】由图象可知，函数y=/（x）在［0,+8）上单调递增，所以当X20时，/（x）＞0,

即/r（2）＞0,广⑶＞0,

又因为曲线在点（x,/（x））处切线的斜率随着X的增大而减小，即y=/（x）在点（xj（x））处切

线的斜率随着x的增大而减小，

故广⑴＞/（2）＞/（3）＞0.

故选：A.

4.某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服

务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（）

111

A.-B.—C.-D.-

5432

【正确答案】B

【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案.

【详解】记事件”表示“张老师在周二参加课后延时服务”，

事件B表示“张老师在周三参加课后延时服务”，

1

C—41

z\4_/4

(%1=--=(=-===10

\7C2,XC24

5w541

10

故选:B.

5.（x+l）（x-l）7的展开式中含炉的项的系数是（）

A.21B.14C.-14D.-21

【正确答案】C

【分析】先求出（x-iy展开式的通项，再利用多项式乘法得出含/的两项的系数和.

【详解】因为（X-1）7展开式的通项为*7=C；x7-r（_l）"

所以（x+l）（x-l）7展开式中含/的项有两项:x.C}x-（-l）6,lxC；-x2-（-l）\

的系数为C：（-1）6+1XC（—1）5=7—21=—14,

故选：C.

6.在如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个

数字都是它肩上两个数字之和，在此数阵中，若对于正整数“，第2〃行中最大的数为X,第

2〃+1行中最大的数为九且13x=7y,则〃的值为（）

第0行1

第1行11

第2行12I

第3行1331

第4行1464I

第5行15101051

第6行1615201561

A.5B.6C.7D.8

【正确答案】B

【分析】利用组合数的性质及己知有13c=75：\,即可求“值.

【详解】由题意知，x=G“，y=C£,故13G=75：\,即13x怒=7x；；*,

.•.13=7x型L则13（=+1）=7（2”+1）,解得〃=6.

故选：B

7.已知数列｛叫的前〃项和为S"，丘，向+/+2=箫|，则邑期二（）

A.675B.674C.1384D.2023

【正确答案】A

【分析】采用并项求和的方式，结合等差数列求和公式可求得结果.

【详解】

$2023=%+(02+“3+)+(“5+°6+07)(fl2OI8+。2019+fl2020)+(fl2O2l+°2022+。2023)

20202023_675x(1+2023)

----+----+----=675.

10121012101210121012--2x1012

故选：A.

8.若存在xe[Le],使得不等式2》1门+1一3+320成立，则实数加的最大值为（)

e

3

A.4B.2+e+-

e

C.e2-lD.-+3e-2

e

【正确答案】D

【分析】根据给定的不等式，变形并分离参数，构造函数，利用导数探讨单调性求出最大值

作答.

【详解】A-6[i,e],不等式Zxlnx+x?-mx+320omV21nx+x+2,

ex

^/(x)=21nx+x+-,x€[-,e],求导得八对=+]一二(川儿”]),

xexxx

当1<X<1时，/'(x)<0,当l<x<e时，/'(x)>o,因此函数/(x)在[1,1]上单调递减，在

ee

[l,e]上单调递增，

/(-)=-+3e-2,/(e)=2+e+-,/(-)-/(e)=2e-4-->0,

eeeee

即/(x)max=/'d)=L+3e-2,依题意，/«<-+3e-2,

eee

所以实数〃?的最大值为1+3e-2.

e

故选：D

二、多选题

9.已知48是两个随机事件，O<P(4)<1,下列命题正确的是()

A.若48相互独立，P(B\A)=P(B)B.若事件4=5,贝"(8⑸=1

C.若48是对立事件，则尸(8⑷=1D.若48是互斥事件，则尸(5|4)=0

【正确答案】ABD

【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率

及对立、互斥事件的意义判断C,D作答.

【详解】对于A,随机事件4B相互独立，则P(N8)=尸(4)P(8),尸(8]/)=2竽=尸(8),

p(m

A正确；

对于B,事件4=8,P(AB)=P(A),==B正确；

P(“)

对于C,因48是对立事件，则尸(48)=0,尸(5]4)=与竽=0,C不正确；

对于D,因力津是互斥事件，则P(/8)=0,尸(8|/)=^^=0,D正确.

产⑷

故选：ABD

10.已知等比数列｛/｝中，满足％=1,公比g=-3,则()

A.数列｛3%+。向｝是等比数列

B.数列｛%“-%｝是等差数列

C.数列｛。/向｝是等比数列

D.数列｛log?|〃,|｝是等差数列

【正确答案】CD

【分析】先求得。“，然后结合等差、等比数列的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】等比数列｛4｝中,满足4=1,公比4=-3,勺=(-3广【

对于A,3%+a向=3[(-3)1]+(_3)”=[(_1)1+(-1)[.3〃=0,不是等比数列，故A错误;

对于B,%-凡=(-3)"-(-3广'=：(_3)",是等比数列，故B错误；

对于C,%％=(-3)"，(-3)"=(-3户，是等比数列，故C正确；

对于D,1幅旧|=1吗卜3)"[=〃-1,是等差数列，故D正确.

故选：CD.

11.已知(依2+：)"(“>0)的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系

数之和为1024,则下列说法正确的是()

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含产项的系数为45

【正确答案】BCD

由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知n=10,由展开式的各项系数之和

10

为1024可得。=1,则二项式为|，易得该二项式展开式的二项式系数

与系数相同，利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.

【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知〃=10,

又展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时=1024,所以a=1,

所以二项式为

则二项式系数和为*=1024,则奇数项的二项式系数和为gxlO24=5I2,故A错误;

由〃=10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大,

因为V与『2的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数

最大，故B正确；

若展开式中存在常数项,由通项加二名。/。-，)，，可得2(10-r)-；r=0,解得尸=8,故C正

确：

-11

2(l0r)r

由通项加=C；0x-x可得2(10-，•)-］『=15，解得r=2，所以系数为叱=45,故D正确,

故选:BCD

本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项，考查求指定项系数，考查运算能力.

12.已知0<x<y<n,且e''sinx=e、siny,其中e为自然对数的底数，则下列选项中正确

的是()

71r兀

A.y<~B.x+y>—

C.cosx+cosy>0D.sinx>siny

【正确答案】BC

【分析】由e「sinx=e，si”变形为哼=翌，由此构造函数g(f)=坐，止(0,兀)，判断

ee?e

单调性，可判断A；结合指数函数单调性可判断D；结合角的范围以及同角的三角函数关系

7F

可判断C：令6(f)=g«)-g(5T),判断其单调性，可判断B.

【详解】因为e>'sinx=e*siny,所以学=邛,

ee

人/\sin/

令Ew(0㈤,

、cosr-sinr,“、八,口八冗

则nilg(/)=~——，由得

由g'(/)<0,得:<小，所以g(/)=学在(0中单调递增，在(；,兀)上单调递减，

因为0cx<"兀，由学=要知，g(x)=g(y),所以故A错误.

因为0<x<y<7i,所以e>>e",由华=斗，得siny>sinx,故D错误：

ee3

因为0cxe；<»<兀，所以cosx=Jl-si<x>0,|cosy|=J1-sin2y,

因为siny>sini,所以cosx>|cosy|=-cosy,所以cosx+cosy>0,故C正确;

令g)=g⑺-g《T),则

(sinr-cosz)ez-e2

、7，(//)、=g，/(/)、+g.，|(njT六)c一osZ-s—in/+―sin/7-c—osz

7

当0<f<兀时，/7'(/)>0恒成立，所以的)=g(/)-gqT)在(0,兀)单调递增，

由0<x<：,得0<X<：<、-》<T，所以〃(x)=g(x)-gf|-x)<0,

即g(x)<g(，-x)，又g(x)=g(y),所以g(y)<g(，x),

因为0<x<；<y<n,所以

4227

因为g(，)=警在，兀)内单调递减，所以即x+N>；,故B正确.

故选：BC.

难点点睛：根据所给条件判断不等式是否成立，要根据不等式特征结合函数性质进行判断，

难点在于能根据已知等式结合要判断的不等式构造恰当的函数，利用导数判断其单调性，进

而利用函数单调性判断不等式是否成立.

三、填空题

13.某学生参与一种答题游戏，需要从4,B,C三道试题中选出一道进行回答，回答正确

即可获得次品.若该学生选择B,C的概率分别为0.3,0.4,0.3,答对/,B,C的概率

分别为0.4,0.5,0.6,则其获得奖品的概率为.

【正确答案】0.5

【分析】利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.

【详解】该学生获得奖品的概率为尸=0.3x0.4+0.4x0.5+0.3x0.6=0.5.

故0.5.

14.已知｛““｝为等比数列，S,,是其前〃项和，若q=2/，S,=4,则$8=.

【正确答案】12

【分析】设等比数列｛。“｝的公比为/根据已知条件求得/以及言，从而求得国.

【详解】设等比数列｛/｝的公比为/qM,

由氏=2%得。闻？=2。闯*,由于“尸0,所以/=2,

则S&=",°一")=2x(-1)=4,4=-4,

所以Sg=)=台x(T)=(-4)x(=12.

故12

15.2023年春节期间，电影院上映《流浪地球2》《潢江红》《熊出没•伴我“熊芯”》等多部

电影，某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1

张，一户2张，一户3张，则共有种不同的分法.

【正确答案】360

【分析】先将6张电影票按照要求分为3组，再进行全排列，求出答案.

【详解】从6张电影票中任选1张，有C：种选法，从余下的5张中任选2张有C；种选法，

最后余下3张选3张有C；种选法,

由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有C；C；C；A；=360种不同的分法.

故360

16.已知函数/(x)=lnx,g(x)=2x,f(m)=g(n),则的最小值是___.

【正确答案】

2e

【分析】由题干条件得到用〃=,zn>0,构造=求导得到其单

调性，从而得到最小值，求出答案.

【详解】由函数/(x)=lnx,g(x)=2x,/»=g5),得In加=2〃，所以mn=In用，>0,

令=>0,则g'(阳)=+，

当加〉工时，hr(m)>0,当0v机〈，时，h^[m)<0,

所以函数以⑼在(o.)上单调递减，在(5,+8)上单调递增，

所以〃(⑼在x='处取得极小值，也时最小值，最小值为=

eve)2e

即加〃的最小值为一」~.

2e

故一！

四、解答题

17.已知数列｛%｝中,%=3,j=2a“-2(〃eN)

(1)求证：｛%-2｝是等比数列：

(2)若数列也｝满足“=(2〃+1)(%-2),求数列也｝的前〃项和7；.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵7；=(2〃一1>2"+1

【分析】(1)由题意得。向-2=2(q-2),结合等比数列定义证明数列｛对-2｝是等比数列;

(2)由(1)可求即4=(2"+1)-2"T,利用错位相减法求和即可.

【详解】(1)因为a用=24-2(〃eN),

所以％-2=2(勺一2),

又6=3,«|-2=1,

所以咏子=2,

%-2

所以数列｛。,「2｝是以1为首项，2为公比的等比数列

(2)由⑴知a„-2=2-',因为」=(2〃+l)(a“-2),

所以a=(2〃+l>2"T,

所以T„=3x20+5x2'+7x22+•••+(2w-l>2+^n+1>2"4,

27；,=3x2'+5X22+7X23+•••+(2/7-1)x2-1«2n+)x2,

两式相减，得-北=3x20+2(2122+…+2"T)-(2〃+1)X2",

4(1-2"叫

-7；=3+-i------^-(2n+l><2,,=-l-伽-1)2”

所以。=(2〃-1)2+1

18.(1)3名男生和4名女生站成一排，男生站在一起，女生站在一起，有多少种不同的排

队方法？

（2）3名男生和4名女生站成一排，男生彼此不相邻，有多少种不同的排队方法?

（3）把6个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法？

【正确答案】（1）288种;（2）1440种；（3）15种.

【分析】（1）男生和女生分别全排列，再把这两个整体元素进行排列；

（2）先排女生，让男生插入5个空位中得出结果；

C2c2c2

（3）把6个人平均分成3个小组,则有y种办法.

A、

【详解】（1）男生全排列的排法有A；种，再把女生看成一个整体，女生全排列有A：种，再

把这两个整体全排列,共有A；A：A；=288（种）排法;

（2）先排女生，有A：种排法，排好后有5个空位，让男生插入5个空位中，有A；种排法,

故共有A：A；=1440（种）排法;

C汶C；

（3）把6个人平均分成3个小组，有^r=15（种）不同的分法.

19.周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，

共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情

况，得到如下统计表：

父亲母亲弟弟

比赛次数5()6040

李梦获胜次数1()3032

以上表中的频率作为概率，求解下列问题：

（1）若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X,求X的分布列，期望和方差;

（2）如果李梦赢一场比赛能得到5元的奖励资金，请问李梦所得资金的期望和方差.

【正确答案】⑴分布列见解析，£（^）=j,O（X）=0.57

（2）期望为7.5,方差为14.25.

【分析】（1）分别计算李梦胜。场，1场，2场，3场的概率，写出分布列即可;

(2)根据期望和方差的性质求解.

【详解】(1)李梦与爸爸比赛获胜的概率为R=4=(；与妈妈比赛获胜的概率为

。2=3/0=：1；与弟弟比赛获胜的概率为3P23=4I=g；

602405

X的可能取值为0,1,2,3.

1142

则P(X=0)=(1--)(1--)(1--)=—；

21

P(X=I)

50

尸(X=2)=(l]141121

X—X------1--X—

255250：

1142

尸(X=3)=—x—x—=

52525

2*7

(2)E(5X)=5E(X)=7.5,D(5X)=52D(X)=14.25.

a

20.已知函数/卜)=/+依+6,且满足/(x)的导数y=/'(x)的最小值为

⑴求a值；

(2)若函数y=/(x)在区间［T2］上的最大值与最小值的和为7,求6值.

3

【正确答案】(1)。=一］

3

Q)b=6

O

【分析】(1)求导，结合二次函数的最值分析运算；

(2)求导，利用导数求函数y=/(x)在区间上最值，分析运算.

【详解】(1)Vf'(x)=3x2+a,则/'(X)的最小值为/'(o)=a,

3

由题意可得.。二-二

4

(2)由(1)可得：〃力=/-1》+/^€[-1,2],贝IJ/"(X)=3X2-了xe[_l,2],

令/编)>0,解得g<x42或-$<_；；令/"(x)<0,解得_；<x<g；

则/(x)在单调递增，在’;上单调递增，

/(-1)=-1-1(-1)+6=々+6,/(2)=级-%2+6=万+6,

„1,1,13,

且——+b<-+b<—+b,

442

所以函数y=/(x)在区间上的最大值［/(x)］、=畀b,最小值［/(x)］,,

又•••函数y=/(x)在区间［-1,2］上的最大值与最小值的和为7,

13(\253

则：+b+-=—+2&=7,解得6

214148

21.已知函数/(x)=gax2+lnx-(a+l)x.

⑴当a=-4时，求/(x)的单调区间与极值;

(2)当a21时,证明：/(》)只有一个零点.

【正确答案】(1)在(0,1)上单调递增，(I,+«>)上单调递减；极大值1,无极小值

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(2)通过讨论。的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合函数的零点个数求

出。的范围即可.

【详解】(1)当。=一4时，/(x)=-2x2+lnx+3x,XG(0,+CO)

“、1-(4x2+3x+l)-(4x+l)(x-l)

f(x)=-4x+—+3=---------------=----------------

xxx

由严(x)>0得，一；<》<1,由/'(力<0得，x<-；或x>l

.../(X)在(0,1)上单调递增，(1,内)上单调递减，

二/(X)在x=1处取得极大值/⑴=1,无极小值.

(2)V/(x)=^-67x2+lnx-(a+l)x,XG(0,+CO)

.、