2023-2024学年吉林省长春某中学数学八年级上册期末质量检测试题含解析

2023-2024学年吉林省长春汽车经济技术开发区第九中学数学

八上期末质量检测试题

八上期末质量检测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷

上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非

选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

41丫2_1s

i.在---，x-y,--------,—中，分式有（）.

x+y。26

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形ABCD,NACB=45。，NACD=30。，点

E为CD边上的中点，连接AE,将AADE沿AE所在直线翻折得到AAD，E,D，E交AC

于F点，若AB=6&cm,点D倒BC的距离是（）

C.372-76D.3-V3

„“83mx+y13,八一3人皿日,

3.在二，——，一“，一，一中，分式的个数是（）

5n3xa+b

A.1B.2C.3D.4

4.如图，在四边形ABC。中，AB=BC=1,CD=2五,=ABVBC,

则四边形ABC。的面积是（）

B

A.2.5B.3

C.3.5D.4

11.2x+3xy-2y

5.已知——=5,则分式——产21的值为（）

xyx-2xy-y

113

A.1B.5C.—D.—

23

6.一次函数%=Kx+b1的图象L如图所示，将直线L向下平移若干个单位后得直线

下列说法中错误的是（）

C.h＞瓦D.当x=5时,

y＞必

7.如图，用NB=ND,/1=/2直接判定_43。三_4）。的理由是（）

A

A.AASB.SSSC.ASAD.SAS

8.在平面直角坐标系中，点P(-2,3)在第()象限.

A.-B.~C.三D.四

9.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中Na+NfJ的度

数是（）

C.240D.300

10.《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十,

乙得甲太半而钱亦五十

.问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其

2

一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其]的钱给乙，则乙的钱数也能为50,问甲、

乙各有多少钱？设甲的钱数为为乙的钱数为山则列方程组为（）

1S

x+—y=50y+-y=50

A2

*|2

y+—x=50x+—x=50

I33

x-•-y=50

y——尤=50x--x=50

I33

11.下列运算结果为a，的是（）

A.a2+a3B.a2-a3C.(-a2)3D.a』?

12.估计4-JTT的值为（）

A.（）到1之间B.1到2之间C.2至i]3之间D.3至IJ4之间

二、填空题（每题4分，共24分）

13.点A（-3,2）关于y轴的对称1

14.如图，点尸是△A8C的边8（7延・，于点。，NA=30°,NF=

40°,NACF的度数是

15.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是

16.如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系.使“马”位于点（2,1）,“炮”位于点

（-1,1）,写出“兵”所在位置的坐标是.

17.如果一个多边形的内角和为1260。,那么从这个多边形的一个顶点出发共有

条对角线.

18.若等腰三角形的顶角为100,则它腰上的高与底边的夹角是______度.

三、解答题（共78分）

19.(8分)如图1,点E为正方形A8C。的边4B上一点，EFVEC,且EF=EC,连

接AF.过点尸作尸N垂直于A4的延长线于点N.

(1)求NEAF的度数；

(2)如图2,连接尸C交5。于M,交AD于N.猜想BD,AF,DM三条线段的等量

关系，并证明.

20.(8分)已知，如图所示，在长方形ABCD中，AB=4,BC=3.

(1)建立适当的平面直角坐标系，直接写出顶点A、B、C、。的坐标;

(2)写出顶点C关于直线对称的点E的坐标.

21.(8分)已知aABC中，ZA=2ZB,NC=NB+20。求AABC的各内角度数.

22.(10分)数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36。的等腰三角形具有

一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形.为此，请你解

答下列问题：

(1)已知：如图，在aABC中，AB=AC,NA=36。，直线8。平分NA3C交AC于点

D.求证：△A8O与△OBC都是等腰三角形；

(2)在证明了该命题后，小乔发现：当NAW36°时，一些等腰三角形也具有这样的

特性，即经过等腰三角形某一顶点的一条直线可以把该等腰三角形分成两个小等腰三角

形.则NA的度数为（写出两个答案即可）；并画出相应的具有这种特性的等腰

三角形及分割线的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数.

（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个

顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形.请你画出一个具有这种特性的

三角形的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数.

23.（10分）问题背景：如图1,点C为线段A3外一动点，且AB=AC=2,若

BC=CD,NBC£>=60°,连接AQ,求的最大值.解决方法：以AC为边作等

边4ACE,连接8E,推出BE=AD，当点E在胡的延长线上时，线段取得最

大值4.

问题解决：如图2,点C为线段A3外一动点，且AB=AC=2,若BC=CD,

24.（10分）（1）求值：（1-—1一）+一4一，其中a=L

。+1a—1

?r1

（2）解方程：--=--+2.

x—1x—1

25.（12分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题

（0+1）（正-1）=1,

（73+72）（^-72）=1,

（"+用"-扬=1,

（百+4）（百-4）=1……

（1）观察以上规律，请写出第〃个等式：—5为正整数）.

⑵利用上面的规律，计算：看+/r—+-+凌夜

（3）请利用上面的规律，比较JiG-J万与M-J馆的大小.

26.如图，在等边.AOB中，点B（2,0）,点。是原点，点。是）'轴正半轴上的动

点，以。C为边向左侧作等边△COD,当4。=坦时，求AC的长.

3

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含

有字母则不是分式.

x2-15

【详解】％-丁，-~二中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式,

26

——4，上]分母中含有字母，因此是分式.

x+ya

综上所述，分式的个数是2个.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是分式的定义，解答此题时要注意分式的定义，只要是分母中含有未知数的

式子即为分式.

2、C

【解析】分析:连接CD，，BD，,过点D作D，GJ_BC于点G,进而得出4ABD名△CBD。

于是得到ND，BG=45。，D，G=GB,进而利用勾股定理求出点D，到BC边的距离.

详解：连接CD，，BDS过点D，作D，G_LBC于点G,

；AC垂直平分线EDS

，AE=AD，，CE=CDS

,,

VAE=EC,/.AD=CD=4^>

在AABD，和ACBD，中，

AB=BCBD,=BD,AD,=CD,,

/.△ABD,^ACBD,(SSS),

.,.ZD,BG=45°,

/.D,G=GB,

设D，G长为xcm,则CG长为(6啦-x)cm,

在RtAGDrC中

x2+(672-x)2=(473)2,

解得：xi=3亚-6,X2=3及+6(舍去)，

.•.点D，到BC边的距离为(3近-6)cm.

故选C.

点睛：此题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及

等边三角形的判定与性质等知识，利用垂直平分线的性质得出点E,D，关于直线AC对

称是解题关键.

3、C

【解析】解：二』，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式.

53

3m13

—,分母中含有字母，因此是分式.

nxa+b

故选C.

4、A

【分析】如下图，连接AC,在RtZkABC中先求得AC的长，从而可判断4ACD是直

角三角形，从而求得aABC和4ACD的面积，进而得出四边形的面积.

【详解】如下图，连接AC

VAB=BC=1,AB±BC

...在RtAABC中，AC=yf2>SABc=gxlxl=g

VAD=V10>DC=2&

又•.•(应『+(20『=(痴丫

...三角形ADC是直角三角形

=—x5/2x2V2=2

/.S.Alyr2

，四边形ABCD的面积=-+2=-

22

故选：A.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，遇到此类题型我们需要敏感一些，首先就猜测4ADC是

直角三角形，然后用勾股定理逆定理验证即可.

5、A

11u

【分析】由-----=5,得x-y=-5xy,进而代入求值，即可.

%y

11「

【详解】-----=5,

xy

y-x”

J----=5,即x-y=-5xy,

孙

.2(x-y)+3xy-10孙+3孙

.,.原式=-------z—=-----z—=1，

x-y-2xy-5xy-2xy

故选：A.

【点睛】

本题主要考查分式的求值，掌握等式的基本性质以及分式的约分，整体代入是解题的关

键.

6、B

【解析】根据两函数图象平行k相同，以及平移规律“左加右减，上加下减”即可判断

【详解】•••将直线L向下平移若干个单位后得直线4，

直线L〃直线L，

•*.k]—k,,

•.•直线L向下平移若干个单位后得直线写，

b,>b2,

.,.当x=5时，y(>y2

故选B.

【点睛】

本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移

与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上

移加，下移减.平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减关键是要搞清楚

平移前后的解析式有什么关系.

7,A

【分析】由于NB=ND,N1=N2,再加上公共边，则可根据“AAS”判断

△ABC^AADC.

【详解】在AABC和AADC中，

NB=ND

<Z1=Z2,

AC=AC

/.△ABC^AADC(AAS).

故选A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决

于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对

应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另

一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

8、B

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答.

【详解】点P（-2,3）在第二象限.

故选B.

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关

键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限（-,+）；第三象限（-,-）；

第四象限（+,-）.

9、C

【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根

据四边形的内角和为360。，求出Na+N。的度数.

【详解】•••等边三角形的顶角为60。，

...两底角和=180°-60°=120°；

o

:.Za+Zp=360-120°=240°;

故选C.

【点睛】

本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180。，四边形的内角和是360。等知

识，难度不大，属于基础题.

10、A

【解析】设甲的钱数为x,人数为y,根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；

2

而甲把其§的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x,y的二元一次方程组,

此题得解.

【详解】解：设甲的钱数为x,乙的钱数为y,

x+—y=50

2'

依题意，得:

y+-x=50

3

故选A.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程

组是解题的关键.

11、D

【分析】根据整式运算法则逐个分析即可.

【详解】A.a2+a3^a6,B.a2-a3=a5,C.（-a2）3=-a6,D.a84-a2=a6.

故选D

【点睛】

本题考核知识点：整式基本运算.解题关键点：掌握实数运算法则.

12、A

【分析】首先确定而的取值范围，进而利用不等式的性质可得-而的范围，再确

定4-而的值即可.

【详解】解：•••囱〈而<标，

•••3<ViT<4,

-4<-<-3,

/.0<4-VTT<b

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之

间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、（3,2）

【解析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特

点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

【详解】点A（-3,2）关于y轴的对称点坐标是（3,2）.

故答案为：（3,2）.

【点睛】

解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

14、80°

［分析］根据三角形的内角和可得ZAED=60°，再根据对顶角相等可得ZAED=NCEF

=60。，再利用三角形的内角和定理即可求解.

【详解】解：,••OFJL48,

/.ZAD£=90°,

VZA=30°,

:.ZAED=ZCEF=90°-30°=60°,

:.NAC尸=180°-NF-ZCEF=180°-40°-60°=80°,

故答案为：80°.

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关

键.

15、75°或15。

【分析】根据等腰三角形的性质和8。=一上可得4?=23。，ZABC^ZC,根据

2

特殊三角函数值即可求出NA=30。，即可求出这个等腰三角形的底角度数.

【详解】根据题意，作如下等腰三角形，AB、AC为腰，BD±AC,BD=—

2

①顶角是锐角

AT

,：ABAC,BD=——

2

:.AB=2BD,ZABC=ZC

VBD1AC

：.ABDA=90°

.•.sinZA=^=l

AB2

：.ZA=30°

...々=吐幺=幽Z亚=75。

22

A人

A0

BC

②顶角是钝角

AC

AB=AC9BD=---

2

/.BD=—,NB=NABC

2

■:BD1AC

：.ABDA=90°

RD1

:.sinABAD=----=—

AB2

:.Zfi4D=30°

故答案为：75°或15°.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的度数问题，掌握等腰三角形的性质、特殊三角函数值是解题的

关键.

16、(-2,2)

【分析】采用回推法，根据“马”的位置确定x轴和y轴，再确定“兵”在平面直角坐

标系中的位置

【详解】解：“马”的位置向下平移1个单位是x轴，再向左平移2个单位是y轴，得

“兵”所在位置的坐标(-2,2).故答案为(-2,2).

【点睛】

本题考查了坐标确定位置，利用“马”的坐标平移得出平面直角坐标系是解题关键.灵

活利用回推法，

17、1

【分析】设此多边形的边数为x,根据多边形内角和公式求出x的值，再计算对角线的

条数即可.

【详解】设此多边形的边数为X,由题意得：

(x-2)X180=1210,

解得；x=9,

从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=1,

故答案为1.

【点睛】

本题考查了多边形内角和公式，多边形的对角线，关键是掌握多边形的内角和公式

180(n-2),n边形的一个顶点有(n-3)条对角线.

18、1

【分析】已知给出了等腰三角形的顶角为100。，要求腰上的高与底边的夹角可以根据

等腰三角形的性质：等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半求解.

【详解】•.•等腰三角形的顶角为100°

...根据等腰三角形的性质：等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；

...高与底边的夹角为1。.

故答案为L

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一

半；作为填空题，做题时可以应用一些正确的命题来求解.

三、解答题(共78分)

19、(1)ZEAF=135°；(2)BD=AF+2DM,证明见解析

【分析】(1)证明△EBCgZkKVE,根据全等三角形的对应边相等和正方形的临边相

等可证明NA=NF,由此可证4NAF为等腰直角三角形，可求得NEAR

(2)过点尸作尸G〃AB交80于点G,证明四边形A3G尸为平行四边形和

即可证得结论.

【详解】(1)解：•.•四边形ABC。是正方形，RV垂直于8A的延长线于点N,

:.NB=NN=NCEF=9Q。,BC=AB=CD,

：.ZNEF+ZCEB=90°,ZC£B+ZBCE=90°,

NNEF=NECB,

\'EC=EF,

:.△EBg△FNE,

：.FN=BE,EN=BC,

：.EN=AB,

：.EN-AE=AB-AE

：.AN=BE,

：.FN=AN,

■:FNLAB,

：.NNAF=45°,

.\ZEAF=135°.

(2)三条线段的等量关系是8Q=A尸+2OM.

证明：过点户作产G〃A3交60于点G.

由（1）可知NEAF=135。，

VNABD=45。

：.ZEAF=135°+ZABD=180°,

:.AF//BG9

9：FG//AB,

・・・四边形ABGF为平行四边形，

：.AF=BG,FG=AB9

9

：AB=CDf

：.FG=CD,

■:AB〃CD,

：.FG//CD,

：.NFGM=NCDM,

V/FMG=/CMD

；・AFGM@ACDM,

：.GM=DMf

：.DG=2DM9

：.BD=BG+DG=AF+2DM.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线

的性质.（1）中证明三角形全等属于“一线三等角（三个直角）”模型，熟识模型是解决

此题的关键；（2）能正确作出辅助线是解题关键.

20、（1）见解析，A（0,0）,B（4,0）,C（4,3）,£＞（0,3）；（2）E（4,-3）

【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建

立平面直角坐标系，然后写出各点的坐标即可；

(2)根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答.

【详解】解：(1)建立平面直角坐标系如图，

A(0,0),B(4,0),C(4,3),Z)(0,3):

C和E关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数,

坎4,-3).

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-对称，比较简单，确定出坐标原点的位置是解题的关键.

21、ZA=80°；NB=40°；ZC=60°.

【分析】先设NB=x〃，再用x表示出NA与NC,根据三角形内角和定理求出各角的度

数即可得出正确的答案.

【详解】解：在AABC中，NA=2NB,NC=NB+20。，

设NB=x",贝！］NA=2x°,NC=x0+20。，

NA+NB+NC=180"，得x+(x+20)+2x=180,

解得x=40

NA=80",NB=40",ZC=60°.

故答案为：

ZA=800，/B=40",NC=60。

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180度是解答此题的关键.

10()°

22、(1)见解析；(2)90。或108。或丫竺；(3)见解析

7

【分析】(1)根据等边对等角，及角平分线定义易得N1=N2=36°,NC=72。，那

么ZBDC=72°则可得AD=BD=CB.\AABD与4DBC都是等腰三角形；

(2)把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108。的角分为36°和

72°即可；

（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把

直角三角形分为两个等腰三角形；由（1）,（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要

么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图

形.

【详解】（1）证明：在△ABC中，

VAB=AC,ZA=36°

/.ZABC=ZC=—（180°一/A）=72°

2

VBD平分NABC,

，N1=N2=36°

.•.N1=NA

AAD=BD

.•.△ABD是等腰三角形

VZBDC=Z1+ZA=72"

，NBDC=NC=72°

，BD=BC,

/.△BDC是等腰三角形

（2）如下图所示：

1QQO

・・・顶角N4的度数为90。或108°或——，

7

1QQO

故答案为：90。或108。或——；

7

（3）如图所示.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定;注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般

三角形分为两个等腰三角形的一般结论.

23、112.5°

【分析】以AC为直角边，作等腰直角三角形CEA,CE=CA,ZECA=90°,连接EB,

利用SAS证出△ECB^^ACD,从而得出EB=AD,然后根据两点之间线段最短即可

得出当AD取得最大值时，E、A、B三点共线，然后求出NCAB的度数，根据等边对

等角和三角形的内角和定理即可求出NACB,从而求出NACD.

【详解】解：以AC为直角边，作等腰直角三角形CEA,CE=CA,ZECA=90°,连

接EB

VZBCZ)=90°

二ZECA+ZACB=ZBCD+ZACB

.•.ZECB=ZACD

在AECB和4ACD中

CB=CD

<NECB=ZACD

CE^CA

/.△ECB^AACD

/.EB=AD

...当AD取得最大值时，EB也取得最大值

根据两点之间线段最短可知EBWEA+EB,当且仅当E、A、B三点共线时取等号

即当AD取得最大值时，E、A、B三点共线，

VACEA为等腰直角三角形

，ZCAE=45°

,此时NCAB=180°-CAE=135°

VAB=AC

/.ZACB=ZABC=—(180°-ZCAB)=22.5°

2

:.ZACD=ZACB+ZBCD=112.5°

故答案为：112.5°.

【点睛】

此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和两点之间线段最短的

应用，掌握等腰直角三角形的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质

和两点之间线段最短是解决此题的关键.

24、(1)a-1,99；(3)x=3.

【分析】(1)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可

得；

(3)根据解分式方程的步骤依次计算可得.

【详解】解：(1)原式=-J