2024年初中升学考试模拟测试湖南省常德市中考数学模拟试卷（二）

第1页（共1页）2023年湖南省常德市中考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2）2．（3分）在2﹣1，0，，这四个数中，最小的数是（）A．2﹣1 B．0 C． D．3．（3分）已知a＞b，则下列不等式变形不正确的是（）A．a﹣2＞b﹣2 B．﹣2a＞﹣2b C．a+2＞b+2 D．4．（3分）将一副三角板如图摆放，使AB∥CD．则∠1的度数为（）A．105° B．120° C．135° D．150°5．（3分）若9m2+12mn+4n2＝4，则8m•4n的值为（）A．4 B． C．4或 D．4或6．（3分）帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图折线统计图．下列结论正确的是（）A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是87．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（）A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC8．（3分）若a是不为1的有理数，则我们把称为a的差倒数．如2的差倒数为，﹣1的差倒数为．已知：a1＝3，a2是a1差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依次类推，a2023的值是（）A．3 B． C． D．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）因式分解：a3﹣a＝．10．（3分）计算﹣的结果是．11．（3分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是．12．（3分）如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM＝DN．连接AM、MC、CN、NA．请你添加一个条件，使得四边形AMCN是矩形．13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是．14．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝．15．（3分）如图，⊙O是边长为12的正三角形ABC的内切圆，⊙O1与边AB、AC均相切，且与⊙O外切，则⊙O的半径为．16．（3分）如果两个无理数的积是有理数，那么称这两个无理数为一对伙伴数．如与是一对伙伴数，与是一对伙伴数．若两个无理数a、b是一对伙伴数，则下列四个结论：①与一定是一对伙伴数；②a2与b2一定是一对伙伴数；③a与一定是一对伙伴数；④a+1与b+1可能是一对伙伴数．其中正确结论的序号为．三、（每小题5分，共10分）17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组四、（每小题6分，共12分）19．（6分）先化简，再求值：，其中：x＝2cos45°，y＝tan45°．20．（6分）今年五•一节期间，小欣一家乘出租车去飞机场乘机旅游，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达飞机场．问走路线一时的平均车速是每小时多少千米？五、（每小题7分，共14分）21．（7分）如图，已知直线＝﹣x+b与反比例函数交于P、Q两点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．点Q（4，m），且反比例函数y＝的图象经过点．（1）求直线和反比例函数的解析式；（2）求△POQ的面积．22．（7分）在“国际无烟日”来临之际，树人中学某班课外兴趣活动小组就一批公众对在餐厅吸烟所持的三种态度（彻底禁烟、建立吸烟室、其他）进行了调查，并把调查结果绘制成如图①和图②的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：​（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）被调查中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的有人；（3）现从3名不吸烟者和2名吸烟者中随机抽取2人，求抽取到的2人中至少有一名吸烟者的概率．（用树状图或列表法解答）．六、（每小题8分，共16分）23．（8分）如图，已知某吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′＝2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B'处，紧绷着的吊绳A'B'＝AB．AB垂直于地面O′B于点B，A'B'垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA'＝OA＝10米，且∠A＝37°，∠A'＝30°．（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）（参考数据：，）24．（8分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D；过点D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，．求优弧的长．七、（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．点E为边OA（不包括O、A两点）上一动点过点E作x轴的垂线l交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P．（1）求抛物线的解析式；（2）连结PD，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PMAD为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结PC，当P在CD上方的抛物线部分时，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，试求点E的坐标，并判断此时△PCM的形状．26．（10分）如图点E是正方形ABCD中BC边上一点．将△ABE沿AE翻折得到△AGE．使点B落在点G处，延长AG与CD边交于点H，直线EG与CD交于点F．（1）如图①，求证：DF＝GF；（2）如图②，若直线EG与AD的延长线交于点N．求证：AD•FN＝AN•DF；（3）如图③，若直线EG与AB、AD的延长线分别交于点M、N，AG交BD于点P．求证：．​

2023年湖南省常德市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2）【答案】A【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：点（2，﹣3）关于原点对称点的坐标是（﹣2，3）．故选：A．2．（3分）在2﹣1，0，，这四个数中，最小的数是（）A．2﹣1 B．0 C． D．【答案】C【分析】根据负数＜0＜正数和两个负数，绝对值大的反而小，即可得出答案．【解答】解：∵﹣＜﹣＜0＜2﹣1，∴最小的数是﹣．故选：C．3．（3分）已知a＞b，则下列不等式变形不正确的是（）A．a﹣2＞b﹣2 B．﹣2a＞﹣2b C．a+2＞b+2 D．【答案】B【分析】根据不等式的性质1，可判断A、B；根据不等式的性质2，可判断D；根据不等式的性质3，可判断B．【解答】解：A、a＞b，不等式的性质1，a﹣2＞b﹣2，故A正确；B、a＞b，不等式的性质3，﹣2a＜﹣2b，故B错误；C、a＞b，不等式的性质1，a+2＞b+2，故C正确；D、a＞b，不等式的性质2，，故D正确；故选：B．4．（3分）将一副三角板如图摆放，使AB∥CD．则∠1的度数为（）A．105° B．120° C．135° D．150°【答案】A【分析】由平行线的性质可得∠2＝∠D＝45°，利用三角的外角性质可求得∠1的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°，∵∠BAE＝60°，∴∠1＝∠2+∠BAE＝105°．故选：A．5．（3分）若9m2+12mn+4n2＝4，则8m•4n的值为（）A．4 B． C．4或 D．4或【答案】D【分析】由已知条件可得3m+2n＝±2，再利用幂的乘方的法则与同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：∵9m2+12mn+4n2＝4，∴（3m+2n）2＝4，∴3m+2n＝±2，∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n，当3m+2n＝2时，23m+2n＝22＝4，当3m+2n＝﹣2时，23m+2n＝2﹣2＝，则其值为4或．故选：D．6．（3分）帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图折线统计图．下列结论正确的是（）A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是8【答案】D【分析】根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．【解答】解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，9．A．极差＝11﹣3＝8，结论错误，故A不符合题意；B．数据5，7，11，3，9没有重复出现的数字时，这组数据没有众数，结论错误，故B不符合题意；C．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，9，11，中位数为7，结论错误，故C不符合题意；D．平均数是（5+7+11+3+9）÷5＝7，方差S2＝[（5﹣7）2+（7﹣7）2+（11﹣7）2+（3﹣7）2+（9﹣7）2]＝8．结论正确，故D符合题意．故选：D．7．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（）A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC【答案】D【分析】根据旋转的性质得到AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误；得到∠ACD＝∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，求得∠A＝∠EBC，故D正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，∴∠A＝∠EBC，故D正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误故选：D．8．（3分）若a是不为1的有理数，则我们把称为a的差倒数．如2的差倒数为，﹣1的差倒数为．已知：a1＝3，a2是a1差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依次类推，a2023的值是（）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】根据差倒数定义计算得出，依次推导3个数据为一组，，a2023＝3．【解答】解：根据差倒数的定义知，以这3个数为一组，第2022个数为第674组数的第3个数据，则，那么a2023＝3．故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）因式分解：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．【答案】见试题解答内容【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故答案为：a（a+1）（a﹣1）10．（3分）计算﹣的结果是0．【答案】0．【分析】原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果．【解答】解：原式＝2﹣2＝0，故答案为：0．11．（3分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是7200．【答案】见试题解答内容【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．【解答】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人），故答案为：7200．12．（3分）如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM＝DN．连接AM、MC、CN、NA．请你添加一个条件OM＝AC（答案不唯一），使得四边形AMCN是矩形．【答案】OM＝AC（答案不唯一）．【分析】由平行四边形的性质可知，OA＝OC，OB＝OD，再证OM＝ON，则四边形AMCN是平行四边形，然后证MN＝AC，即可得出结论．【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴平行四边形AMCN是矩形．故答案为：OM＝AC（答案不唯一）．13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是0．【答案】见试题解答内容【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式Δ＞0求解即可；【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4+4m＞0，∴m＞﹣1；故答案为0；14．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝4．【答案】见试题解答内容【分析】设出A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），由坐标转化线段长，从而可求出结果等于4．【解答】解：设A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），则CA＝﹣＝2，∴，得a＝同理：BD＝，得b＝又∵a﹣b＝3∴﹣＝3解得：k2﹣k1＝415．（3分）如图，⊙O是边长为12的正三角形ABC的内切圆，⊙O1与边AB、AC均相切，且与⊙O外切，则⊙O的半径为2．【答案】2．【分析】由切线的性质得到OH⊥BC，OM⊥AB，又OM＝OH，得到OB平分∠ABC，因此得到∠OBH＝30°，同理得到∠OCB＝30°，故OB＝OC，推出BH＝CH＝6，由锐角的正切即可求出OH的长．【解答】解：设⊙O与BC切于H，与AB相切于M，连接OM，连接OH，OB，OC，∴OH⊥BC，OM⊥AB，∵OM＝OH，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBH，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBH＝∠ABC＝30°，同理：∠OCH＝∠ACB＝30°，∴∠OBH＝∠OCH，∴OB＝OC，∴BH＝CH＝BC＝×12＝6，∵tan∠OBH＝＝，∴OH＝2．故答案为：2．16．（3分）如果两个无理数的积是有理数，那么称这两个无理数为一对伙伴数．如与是一对伙伴数，与是一对伙伴数．若两个无理数a、b是一对伙伴数，则下列四个结论：①与一定是一对伙伴数；②a2与b2一定是一对伙伴数；③a与一定是一对伙伴数；④a+1与b+1可能是一对伙伴数．其中正确结论的序号为①②④．．【答案】①②④．【分析】根据两个无理数为一对伙伴数的概念对每个结论中的两个数先判断是否是无理数，然后再计算结果，判断结果是否是有理数，即可得出答案．【解答】解：∵两个无理数a、b是一对伙伴数，∴ab是一个有理数，a与b是无理数，∵两个无理数a、b是一对伙伴数，∴与一定是无理数，∵是一个有理数，∴与一定是一对伙伴数，故①结论正确；∵两个无理数a、b是一对伙伴数，∴a2b2＝（ab）2，故②结论正确；∵两个无理数a、b是一对伙伴数，∴a与一定是无理数，但不一定是有理数，故③结论不正确；∵两个无理数a、b是一对伙伴数，∴a+1与b+1一定是无理数，∴（a+1）•（b+1）＝ab+a+b+1，∴当a+b＝0时，ab+α+b+1是有理数，故结论④正确，∴其中正确结论的序号为①②④．故答案为：①②④．三、（每小题5分，共10分）17．（5分）计算：．【答案】﹣2．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝|4×﹣3|+1×（1﹣2）＝|2﹣3|+1﹣2＝2﹣3+1﹣2＝﹣2．18．（5分）解不等式组【答案】见试题解答内容【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：由不等式3x+1＜x﹣3得：x＜﹣2，由不等式≤+1，得：x≥﹣5，所以原不等式组的解集是：﹣5≤x＜﹣2．四、（每小题6分，共12分）19．（6分）先化简，再求值：，其中：x＝2cos45°，y＝tan45°．【答案】，﹣1﹣．【分析】根据分式的除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值分别求出x、y，代入计算即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当x＝2cos45°＝，y＝tan45°＝1时，原式＝＝﹣1﹣．20．（6分）今年五•一节期间，小欣一家乘出租车去飞机场乘机旅游，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达飞机场．问走路线一时的平均车速是每小时多少千米？【答案】走路线一时的平均车速是每小时50千米．【分析】设走路线一时的平均车速是每小时x千米，则走路线二时的平均车速是每小时（1+80%）x千米，利用时间＝路程÷速度，结合走路线二能比走路线一少用10分钟到达飞机场，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设走路线一时的平均车速是每小时x千米，则走路线二时的平均车速是每小时（1+80%）x千米，根据题意得：﹣＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意．答：走路线一时的平均车速是每小时50千米．五、（每小题7分，共14分）21．（7分）如图，已知直线＝﹣x+b与反比例函数交于P、Q两点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．点Q（4，m），且反比例函数y＝的图象经过点．（1）求直线和反比例函数的解析式；（2）求△POQ的面积．【答案】（1）直线的关系式为y＝﹣x+5，反比例函数的关系式为y＝；（2）．【分析】（1）根据反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出反比例函数的关系式，再确定点Q的坐标，确定一次函数的关系式即可；（2）求出一次函数和反比例函数的交点坐标，确定点P的坐标，再由三角形面积之间的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点．∴k＝×8＝4，∴反比例函数的关系式为y＝，∵点Q（4，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝＝1，∴点Q（4，1），∵点Q（4，1）在直线y＝﹣x+b上，∴b＝1+4＝5，∴直线的关系式为y＝﹣x+5，答：直线的关系式为y＝﹣x+5，反比例函数的关系式为y＝；（2）由于方程组的解为，，∵点Q（4，1），∴点P（1，4），当y＝0时，即0＝﹣x+5，∴x＝5，即点A（5，0），∴S△POQ＝S△POA﹣S△QOA＝×5×4﹣×5×1＝，答：△POQ的面积为．22．（7分）在“国际无烟日”来临之际，树人中学某班课外兴趣活动小组就一批公众对在餐厅吸烟所持的三种态度（彻底禁烟、建立吸烟室、其他）进行了调查，并把调查结果绘制成如图①和图②的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：​（1）本次抽样调查的样本容量是200；（2）被调查中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的有82人；（3）现从3名不吸烟者和2名吸烟者中随机抽取2人，求抽取到的2人中至少有一名吸烟者的概率．（用树状图或列表法解答）．【答案】（1）200；（2）82；（3）．【分析】（1）由其他类别人数及其所占百分比可得样本容量；（2）总人数乘以彻底禁烟人数所占比例，再减去吸烟者人数即可得出答案；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是（29+9）÷19%＝200，故答案为：200；（2）被调查中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的有200×53%﹣24＝82（人），故答案为：82；（3）列表如下：不吸不吸不吸吸吸不吸（不吸，不吸）（不吸，不吸）（吸，不吸）（吸，不吸）不吸（不吸，不吸）（不吸，不吸）（吸，不吸）（吸，不吸）不吸（不吸，不吸）（不吸，不吸）（吸，不吸）（吸，不吸）吸（不吸，吸）（不吸，吸）（不吸，吸）（吸，吸）吸（不吸，吸）（不吸，吸）（不吸，吸）（吸，吸）由表知，共有20种等可能结果，其中抽取到的2人中至少有一名吸烟者的有14种结果，所以抽取到的2人中至少有一名吸烟者的概率为＝．六、（每小题8分，共16分）23．（8分）如图，已知某吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′＝2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B'处，紧绷着的吊绳A'B'＝AB．AB垂直于地面O′B于点B，A'B'垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA'＝OA＝10米，且∠A＝37°，∠A'＝30°．（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）（参考数据：，）【答案】（1）BC＝1米；（2）B′C＝（5﹣8）米．【分析】（1）过点O作OE⊥AB交A′C于点F，在Rt△OAE、Rt△OA′F中，利用直角三角形的边角间关系分别求出OE、OF，再利用线段的和差关系及矩形的性质得结论；（2）在Rt△OAE、Rt△OA′F中，利用直角三角形的边角间关系及矩形的性质分别求出AB、A′C′，再利用线段的和差关系得结论；【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB，垂足为E，交A′C于点F．∵AB⊥O′B，A′C⊥O′B，∴四边形CBEF是矩形．∴BC＝EF，BE＝CF．在Rt△OAE、Rt△OA′F中，∵sinA＝，sinA′＝，∴OE＝sinA•OA＝sin37°×10≈×10＝6（米），OF＝sinA′•OA′＝sin30°×10≈×10＝5（米）．∴BC＝EF＝OE﹣OF＝6﹣5＝1（米）．答：此重物在水平方向移动的距离1米；（2）∵AB⊥O′B，A′C⊥O′B，OE⊥AB，OO′⊥O′B，∴四边形CBEF、四边形OO′CF是矩形．∴CF＝OO′＝BE＝2米．在Rt△OAE、Rt△OA′F中，∵cosA′＝，cosA＝，∴A′F＝cosA′•OA′＝cos30°×10＝×10＝5（米），∴AE＝cosA•OA＝cos37°×10＝×10＝8（米）．∴AB＝A′B′＝AE+BE＝8+2＝10（米）．∴A′C＝A′F+CF＝（5+2）米．∴B′C＝A′C﹣A′B′＝（5+2）﹣10＝（5﹣8）米．答：此重物在竖直方向移动的距离B′C为（5﹣8）米．24．（8分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D；过点D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，．求优弧的长．【答案】（1）见解析；（2）8π．【分析】（1）连接OD交BC于H，利用三角形的内心及平行线的性质即可得出结论；（2）连接BD，OB，利用三角形的内心可得DB＝DE＝6，再利用sin∠BDH＝＝＝得∠BDH＝60°，进而△OBD是等边三角形，由弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O切线；（2）解：连接BD，OB，如图，∵点E是△ABC的内心，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，∵BH＝BC＝×6＝3，在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，∴∠BDH＝60°，又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，∴∠BOC＝120°，∴优弧的长是＝8π．七、（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．点E为边OA（不包括O、A两点）上一动点过点E作x轴的垂线l交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P．（1）求抛物线的解析式；（2）连结PD，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PMAD为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结PC，当P在CD上方的抛物线部分时，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，试求点E的坐标，并判断此时△PCM的形状．【答案】（1）y＝﹣；（2）不存在点P使得四边形PMAD是平行四边形；（3）当E（1，0），△PCM是等腰三角形；当E（，0），△PCM是直角三角形；【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，求得a，c的值，进而求得结果；（2）求出AC的解析式，设出点P坐标和M坐标，进而表示出PM，由PM＝AD列出方程，进一步得出结果；（3）可推出△PCF与△ACO相似，从而得出△FCP∽△OAC或△FCP∽△OCA，设E（m，0），则P（m，﹣），F（m，4），表示出CF＝t，PF＝﹣，当△FCP∽△OAC时，从而，得出，求得m的值，进而得出结果；当△FCP∽△OCA时，同样的方法求得结果．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），∴c＝4，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A点坐标为（3，0），∴9a﹣6a+4＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣；（2）假设存在点P，使四边形PMA