2024年初中升学考试模拟测试湖南省衡阳市衡州中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2023年湖南省衡阳市衡州中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）2017的相反数是（）A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a2b）3＝a2b3 C．（a2）3＝a8 D．（a2）3＝a63．（3分）我国倡导的“一带一路”建设覆盖总人口约为44亿人，44亿用科学记数法表示为（）A．44×108 B．4.4×108 C．0.44×1010 D．4.4×1094．（3分）下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．（3分）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x＞27．（3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②内错角相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④矩形的对角线相等．其中假命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）如图所示的三棱柱，高为8cm，底面是一个边长为5cm的等边三角形．要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（）cm．A．28 B．31 C．34 D．369．（3分）不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A． B． C． D．10．（3分）若函数y＝（n﹣2）是反比例函数，则n为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不对11．（3分）在一幅长60m，宽40m的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是2816m2，设观光小道的宽为xm，那么x满足的方程是（）A．2x（60+2x）+2x（40+2x）＝2816 B．（60+2x）（40+2x）＝2816 C．（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816 D．x（60+2x）+x（40+2x）＝281612．（3分）如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝13，点A、B的坐标分别为（1，0），（6，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，线段BC扫过的面积为（）A．84 B．80 C．91 D．78二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝．14．（3分）若正n边形的一个外角是36°，则n＝．15．（3分）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为．16．（3分）如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为10g．请你判断：1个物块B的质量是g．17．（3分）如图，△ABC中，AB＝a，BC＝2a，∠B＝90°，将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设DE交AC于点G，若△ADG的面积比△CEG的大8，则代数式a（a﹣b）的值为．18．（3分）如图，等边△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，若等边△ABC的边长为2，则线段OC长的最大值是．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（1）（b﹣a）2﹣a（a﹣2b）；（2）．20．（6分）某校为了调查初三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了初三男生和女生各50人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了初三男生的学习时间的频率分布表和女生学习时间的频率分布直方图（学习时间x，单位：小时，0≤x≤6）．男生周日学习时间频率表学习时间频率0≤x＜10.341≤x＜20.362≤x＜30.383≤x＜40.224≤x＜50.145≤x＜60.06（1）请你判断该校初三年级周日学习用时较长的是男生还是女生，并说明理由；（2）从这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到一男一女的概率．21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．（1）EF与BD存在怎样的位置关系？请说明你的理由；（2）若BD平分∠ABC，∠A＝130°，∠C＝70°，求∠CFE的度数．22．（8分）九（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况（单位：吨），随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：月均用水量x（吨）频数（户）频率0＜x≤560.125＜x≤100.2410＜x≤15160.3215＜x≤20100.2020＜x≤2542520.04请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均有水量超过20吨的家庭大约有多少户？23．（8分）某过街天桥的截面图形为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为：i＝1：（i＝1：是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG＝45°（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；（2）求DE的长；（3）若决定对该天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长．（结果精确到0.01）24．（8分）⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．（1）求y与x之间的关系式；（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．25．（10分）如图，半圆O中，AB＝8cm，点M为AB上一点，AM＝6cm，点P为半圆上一个动点，连接PM、AP，过点A作AN⊥PM，垂足为N．小明根据学习函数的经验，对线段AP、AN、NM的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）设AP的长度为xcm，AN的长度为y1cm，NM的长度为y2cm，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP、AN、NM的长度的几组值，如表：x/cm012345677.57.647.787.908y1/cm00.991.992.973.924.825.615.995.565.184.463.300y2/cm65.915.655.214.533.562.120.242.253.014.005.016请计算，当PM⊥AB时，AP＝cm；（2）利用表格中的数据，在如下平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数y2关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ANM是等腰三角形时，直接写出AP长度的近似值．（保留一位小数）26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．①求点F的坐标；②直接写出点P的坐标．

2023年湖南省衡阳市衡州中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）2017的相反数是（）A．﹣2017 B．2017 C．﹣ D．【答案】A【分析】根据相反数特性：若a．b互为相反数，则a+b＝0即可解题．【解答】解：∵2017+（﹣2017）＝0，∴2017的相反数是（﹣2017），故选：A．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a2b）3＝a2b3 C．（a2）3＝a8 D．（a2）3＝a6【答案】D【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方分别计算即可．【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；B、（a2b）3＝a6b3，故选项错误，不符合题意；C、（a2）3＝a6，故选项错误，不符合题意；D、（a2）3＝a6，故选项正确，符合题意．故选：D．3．（3分）我国倡导的“一带一路”建设覆盖总人口约为44亿人，44亿用科学记数法表示为（）A．44×108 B．4.4×108 C．0.44×1010 D．4.4×109【答案】D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答】解：44亿＝4400000000＝4.4×109．故选：D．4．（3分）下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据立方根的定义对A、D进行判断；利用二次根式的性质对B、C进行判断．【解答】解：A．＝2，所以A选项不符合题意；B．﹣＝﹣3，所以B选项符合题意；C．＝2，所以C选项不符合题意；D．﹣＝﹣（﹣）＝，所以D选项不符合题意．故选：B．5．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形；B．是轴对称图形，不是中心对称图形；C．不是轴对称图形，是中心对称图形；D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：D．6．（3分）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x＞2【答案】B【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x+2≠0，解得：x≠﹣2．故选：B．7．（3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②内错角相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④矩形的对角线相等．其中假命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定和矩形的性质分别对各命题进行判断即可．【解答】解：①根据平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题；②两直线平行，内错角相等，故②为假命题；③根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故③是假命题；④根据矩形的性质，矩形的对角线相等，故④是真命题．故选：B．8．（3分）如图所示的三棱柱，高为8cm，底面是一个边长为5cm的等边三角形．要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（）cm．A．28 B．31 C．34 D．36【答案】A【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数，相减即可求出需要剪开的棱的条数，剪开的棱至少有一条是高．【解答】解：三棱柱的展开图如图；由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，则至少需要剪开的棱的条数是：9﹣4＝5（条）．故至少需要剪开的棱的条数是5条．需剪开棱的棱长的和的最小值为：8+5×4＝28（cm）．故选：A．9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：解不等式3x﹣1＞2得：x＞1，解不等式﹣3x+6≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示出来为：故选：C．10．（3分）若函数y＝（n﹣2）是反比例函数，则n为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不对【答案】C【分析】根据反比例函数的定义可得n2﹣5＝﹣1，且n﹣2≠0，解可得答案．【解答】解：由题意得：n2﹣5＝﹣1，且n﹣2≠0，解得：n＝﹣2．故选：C．11．（3分）在一幅长60m，宽40m的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是2816m2，设观光小道的宽为xm，那么x满足的方程是（）A．2x（60+2x）+2x（40+2x）＝2816 B．（60+2x）（40+2x）＝2816 C．（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816 D．x（60+2x）+x（40+2x）＝2816【答案】C【分析】根据面积的和差列方程即可．【解答】解：根据题意得：（60+2x）（40+2x）﹣60×40＝2816，即（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816，故选：C．12．（3分）如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝13，点A、B的坐标分别为（1，0），（6，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，线段BC扫过的面积为（）A．84 B．80 C．91 D．78【答案】A【分析】首先根据题意作出图形，则可得线段BC扫过的面积应为平行四边形BCC′B′的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．则可由勾股定理求得AC的长，由点与一次函数的关系，求得A′的坐标，即可求得CC′的值，继而求得答案．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（6，0），∴AB＝5．∵∠CAB＝90°，BC＝13，∴AC＝＝12．∴A′C′＝12．∵点C′在直线y＝2x﹣4上，∴2x﹣4＝12，解得：x＝8．即OA′＝8．∴CC′＝AA′＝OA′﹣OA＝8﹣1＝7，∴S▱BCC′B′＝7×12＝84，即线段BC扫过的面积为84．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝130°．【答案】130°．【分析】根据平行线的性质求解即可．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝130°，故答案为：130°．14．（3分）若正n边形的一个外角是36°，则n＝10．【答案】见试题解答内容【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．【解答】解：n＝360°÷36°＝10．故答案为：10．15．（3分）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为．．【答案】．【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可．【解答】解：∵（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代数式是：（+）÷，＝•＝•＝．故答案为：．16．（3分）如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为10g．请你判断：1个物块B的质量是5g．【答案】5．【分析】可以分别设物块A、B、C的质量是x，y，z，然后根据两个天平列出方程组，消去z，得出y与x之间的关系即可得出答案．【解答】解：设物块A、B、C的质量分别是x克，y克，z克，根据题意得，①×3﹣②，得2x＝4y，∴x＝2y，∵x＝10，∴2y＝10，解得，y＝5，即，1个物块B的质量是5g．故答案为：5．17．（3分）如图，△ABC中，AB＝a，BC＝2a，∠B＝90°，将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设DE交AC于点G，若△ADG的面积比△CEG的大8，则代数式a（a﹣b）的值为﹣8．【答案】﹣8．【分析】由平移的性质可得AD＝BE＝b，然后根据已知条件可得S长方形ABED﹣S△ABC＝8，再根据长方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论．【解答】解：∵AB＝a，BC＝2a，∠B＝90°，将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF，∴AD＝BE＝b，AB＝DE＝a，∵△ADG的面积比△CEG的大8，即S△ADG﹣S△CEG＝8，∴（S△ADG+S四边形ABEG）﹣（S△CEG+S四边形ABEG）＝8，∴S长方形ABED﹣S△ABC＝8，∴BE•AB﹣BC•AB＝8，∴ab﹣×2a•a＝8，∴ab﹣a2＝8，∴a（b﹣a）＝8，∴a（a﹣b）＝﹣8．故答案为：﹣8．18．（3分）如图，等边△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，若等边△ABC的边长为2，则线段OC长的最大值是1+．【答案】1+．【分析】取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形斜边上的中线以及等边三角形的性质，即可得出OD、CD的长度，再根据三角形的三边关系即可得出OC＜OD+CD，由此即可得出当点O、C、D三点共线时，OC＝OD＝CD的值最大，代入数据即可得出结论．【解答】解：取AB的中点D，连接OD、CD，如图所示，∵△AOB为直角三角形，D为AB的中点，∴OD＝AB，∵△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB的中点，∴AB＝AC＝2，CD＝AC，∴OD＝1，∴CD＝，在△OCD中，OC＜OD+CD．当点O、C、D三点共线时，OC＝OD+CD最大，此时OC＝1+．故答案为：1+．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（1）（b﹣a）2﹣a（a﹣2b）；（2）．【答案】（1）b2；（2）．【分析】（1）先按照完全平方公式，单项式乘以多项式的法则计算整式的乘法，再合并同类项即可得到答案；（2）先通分，计算括号内的分式的加减运算，同步把除法转化为乘法，约分后可得答案．【解答】解：（1）（b﹣a）2﹣a（a﹣2b）＝b2﹣2ab+a2﹣a2+2ab＝b2；（2）＝（+）•＝•＝•＝．20．（6分）某校为了调查初三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了初三男生和女生各50人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了初三男生的学习时间的频率分布表和女生学习时间的频率分布直方图（学习时间x，单位：小时，0≤x≤6）．男生周日学习时间频率表学习时间频率0≤x＜10.341≤x＜20.362≤x＜30.383≤x＜40.224≤x＜50.145≤x＜60.06（1）请你判断该校初三年级周日学习用时较长的是男生还是女生，并说明理由；（2）从这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到一男一女的概率．【答案】见试题解答内容【分析】（1）分别求出男生和女生周日学习用时的平均数，由此判断即可；（2）从被抽到的100名学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中男生由2人，女生由4人，列树状图求得抽到1男1女的概率即可．【解答】解：（1）由频数分布直方图得女生学习时间的平均数为：（10×1.5+10×2.5+14×3.5+8×4.5+2×5.5）＝2.75；由男生周日学习时间频率表得男生学习时间的平均数为：0.5×0.34+1.5×0.36+2.5×0.38+3.5×0.22+4.5×0.14+5.5×0.06＝3.39，∵2.75＜3.39，∴该校初三年级周日学习用时较长的是男生；（2）这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中，男生有3人，女生有2人，列树状图如图所示，由树状图可知，共有20种情况；刚好抽到一男一女的有12种等可能结果，所以刚好抽到一男一女的概率为＝．21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．（1）EF与BD存在怎样的位置关系？请说明你的理由；（2）若BD平分∠ABC，∠A＝130°，∠C＝70°，求∠CFE的度数．【答案】（1）EF∥BD，理由见解答；（2）∠CFE＝85°【分析】（1）根据AD∥BC，得到∠1＝∠DBC，根据∠1＝∠2，得到∠DBC＝∠2，根据同位角相等，两直线平行即可得到EF∥BD；（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠ABC＝180°﹣130°＝50°，根据BD平分∠ABC，得到∠DBC＝∠ABC＝×50°＝25°，得到∠2＝∠DBC＝25°，在△CEF中，根据三角形内角和定理得到∠2+∠C+∠CFE＝180°即可求解．【解答】解：（1）EF∥BD，理由如下：∵AD∥BC，∴∠1＝∠DBC，∵∠1＝∠2，∴∠DBC＝∠2，∴EF∥BD；（2）∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣130°＝50°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×50°＝25°，∴∠2＝∠DBC＝25°，在△CEF中，∠2+∠C+∠CFE＝180°，∴∠CEF＝180°﹣25°﹣70°＝85°．22．（8分）九（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况（单位：吨），随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：月均用水量x（吨）频数（户）频率0＜x≤560.125＜x≤100.2410＜x≤15160.3215＜x≤20100.2020＜x≤2542520.04请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均有水量超过20吨的家庭大约有多少户？【答案】（1）频数分布表和频数分布直方图见详解；（2）120户．【分析】（1）根据表中的数据可以将频数分布表补充完整，根据频数分布表中的数据可以将频数分布直方图补充完整．（2）根据频数分布表中的数据可以计算出该小区月均有水量超过20吨的家庭大约有多少户．【解答】解：（1）样本容量为6÷0.12＝50，50×0.24＝12，4÷50＝0.08月均用水量x（吨）频数（户）频率0＜x≤560.125＜x≤10120.2410＜x≤15160.3215＜x≤20100.2020＜x≤2540.082520.04由频数分布表知，5＜x≤10有12人，10＜x≤15有16人，（2）1000×（0.08+0.04）＝120（户），答：该小区月均有水量超过20吨的家庭大约有120户．23．（8分）某过街天桥的截面图形为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为：i＝1：（i＝1：是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG＝45°（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；（2）求DE的长；（3）若决定对该天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长．（结果精确到0.01）【答案】见试题解答内容【分析】（1）坡度为坡角的正切值，由此可求出坡面AB的坡度；（2）在Rt△CED中，根据坡比可求出坡角的度数，进而由坡角的正弦函数求出DE的长；（3）分别在Rt△AFG和Rt△AGB中，根据坡角的度数和铅直高AG的长求出水平宽FG、BG的长，进而可由FB＝FG﹣BG求得FB的长．【解答】解：（1）在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，∴AG＝BG．∴AB的坡度＝；（2）在Rt△DEC中，∵tan∠C＝，∴∠C＝30°．又∵CD＝10，∴DE＝＝5（m）；（3）由（1）知AG＝BG＝5．在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，tan∠AFG＝，即，解得FB＝﹣5≈3.66．答：改建后需占路面宽度约为3.66m．24．（8分）⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．（1）求y与x之间的关系式；（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据切线长定理得到BF＝AD＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，（2）由（1）求得xy＝36；最后由根与系数的关系求得a的值，通过解一元二次方程即可求得x、y的值；（3）由AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，S△COD＝××（3+12）×12＝45．【解答】解：（1）如图1，作DF⊥BN交BC于F；∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，∴AB⊥AM，AB⊥BN．又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，∵BC＝y，∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；∵DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，整理为：y＝，∴y与x的函数关系式是y＝．（2）由（1）知xy＝36，x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的两个根，∴根据韦达定理知，xy＝，即a＝72；∴原方程为x2﹣15x+36＝0，解得或．（3）如图2，连接OD，OE，OC，∵AD，BC，CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，∴S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，∴S△COD＝××（3+12）×12＝45．25．（10分）如图，半圆O中，AB＝8cm，点M为AB上一点，AM＝6cm，点P为半圆上一个动点，连接PM、AP，过点A作AN⊥PM，垂足为N．小明根据学习函数的经验，对线段AP、AN、NM的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）设AP的长度为xcm，AN的长度为y1cm，NM的长度为y2cm，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP、AN、NM的长度的几组值，如表：x/cm012345677.57.647.787.908y1/cm00.991.992.973.924.825.615.995.565.184.463.300y2/cm65.915.655.214.533.562.120.242.253.014.005.016请计算，当PM⊥AB时，AP＝4cm；（2）利用表格中的数据，在如下平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数y2关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ANM是等腰三角形时，直接写出AP长度的近似值．（保留一位小数）【答案】（1）4；（2）见解析；（3）4.4cm和7.8cm．【分析】（1）证明△PMB∽△APB，得PB＝＝4（cm），再利用勾股定理即可得出答案；（2）根据表格，描点、连线即可；（3）观察图象即可得出答案．【解答】解：（1）如图，连接BP，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∵PM⊥AB，∴∠PMB＝90°，∴∠MPB+∠PBA＝90°，∴∠PAB＝∠MPB，∴△PMB∽△APB，∴，∴PB＝＝4（cm），在Rt△ABP中，AP＝＝4（cm），故答案为：4；（2）如图所示即为所求，（3）由（2）中图象可知，交