2023年北京东城区高三二模数学试题及答案

2023北京东城高三二模

数学

2023.5

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作

答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

(1)已知集合4={%€?4卜1＜》＜5},8={0,1,2,3,4,5},则

(A)A呈B(B)A=B

(C)BeA(D)6cA

(2)已知椭圆兰+目=1的一个焦点的坐标是(-2,0),则实数m的值为

3mtn

(A)1(B)V2

(C)2(D)4

oi

(3)已知数列{4}中，q=l,-------=0,S”为其前”项和，则Ss=

a

%„+i

(C)11(D)31

(4)在复平面内，。是原点，向量02对应的复数是-1+i,将。2绕点。按逆时针方向旋转

则所得向量对应的复数为

4

(A)—y/2(B)—\/2i

(C)-1(D)-i

(5)已知点M(l,百)在圆C:Y+y2=机上，过M作圆C的切线/,则/的倾斜角为

(A)30(B)60

(C)120(D)150

(6)某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、

石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有

(A)13种(B)14种

(C)15种(D)16种

’2*

(7)设函数/•*)=,'若/(幻为增函数，则实数a的取值范围是

x＞a.

(A)(0,4](B)[2,4]

(C)[2,+oo)(D)[4,+oo)

(8)“cos6=0"是"函数/(x)=sin(x+8)+cosx为偶函数”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(9)已知三条直线4：x-2y+2=0,/2:X-2=0,。：x+@=0将平面分为六个部分，则满足

1

条件的攵的值共有

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)无数个

(10)设。=已7^=1.01,c=In1.01,其中e为自然对数的底数，则

(A)a>h>c(B)b>a>c

(C)b>c>a(D)a>c>b

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)已知向量mb满足同=2,网=1,a与力的夹角为方，则=--\a-2b\=

(12)函数/(x)=sin(口x+夕)(0>0,时<"1)在一个周期内的部分取值如下表：

X兀兀715兀7K

~12124n~n

/(X)a1a一CI-1

则/(x)的最小正周期为；a=.

(13)若｛30341｝9｛小2-2%+>>0｝=0,则实数机的一个取值

为.

(14)如图，在正方体ABC。-ABGA中，E是Ag的中点，

平面ACE将正方体分成体积分别为匕,匕(匕<V2)的两部

分,则匕=_.

匕

(15)定义在区间［1,+00)上的函数/(x)的图象是一条连续不断的曲

线，“X)在区间［2A-1,2月上单调递增，在区间［2七2左+1］上单调递减，2=1,2,..给

出下列四个结论：

①若｛/(2%)｝为递增数列，则“X)存在最大值;

②若｛/(2%+1)｝为递增数列，则/(x)存在最小值;

③若/(2./(24+1)>0,且/(2幻+/(2Z+1)存在最小值，则|/(x)|存在最小值；

④若/(2幻/(2左+1)<0,且/(2幻-/(24+1)存在最大值，则|/(x)|存在最大值.

其中所有错误结论的序号有.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

在△ABC中，Z?sinA-acos—=0.

2

(I)求NB；

(II)若8=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC

存在且唯一确定，求a及△ABC的面积.

2

条件①：sinA+sinC=2sin8；

条件②：c=6;

条件③：ac=10.

注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别

解答，按第一个解答计分.

（17）（本小题14分）

如图，直角三角形A8C和等边三角形A3。所在平

面互相垂直，A3=AC=2,E是线段AD上一点.

（I）设E为A。的中点，求证：BELCD-,

（II）若直线CD和平面BCE所成角的正弦值为

求造的值.

（18）（本小题13分）

某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次

考试.两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：

学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7

第一次82897892926581

第二次83907595936176

（I）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试

成绩的概率；

（II）设x,（i=l,2,、7）表示第，•名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小

组7名学生中随机选取2名，得到数据4定义随机变量X,y如下:

0,OW无一*）<2,

0,0w看一Xj\<3,

1,2WX-x<4,

i1Ji

X=<1,3W|菁-Xj<6,Y—<

2,4WX「Xj<6,

2,IXj-Xj6,

3,\xi-xj26.

（i）求X的分布列和数学期望£X；

（ii）设随机变量X,丫的的方差分别为。x,DY,试比较ox与。y的大小.（结论不要求证

明）

3

(19)(本小题15分)

已知焦点为F的抛物线。»2=2〃%(〃>0)经过点知(1,2).

(I)设。为坐标原点，求抛物线C的准线方程及△OEM的面积；

(II)设斜率为M女工0)的直线/与抛物线C交于不同的两点AB,若以AB为直径的圆与抛

物线C的准线相切，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

(20)(本小题15分)

已知函数/(x)=e'sinx—2x.

(I)求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(II)求“X)在区间［-1,1］上的最大值；

(III)设实数。使得/(x)+x>ae*对xeR恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由.

(21)(本小题15分)

已知有穷数列4：卬%，，对5?3)中的每一项都是不大于〃的正整数.对于满足14机4〃的

整数机，令集合4，")=伙|%=，〃，％=1，2,,〃}.记集合4〃?)中元素的个数为S(nj)(约定空集的

元素个数为0).

(I)若46,3,2,5,3,7,5,5,求A(5)及s(5)；

(II)若一!一+」一+一+」一=〃，求证：a］,a2,,%互不相同；

s(q)i(a2)s(a“)

(III)己知q=。，。2=。，若对任意的正整数i，j"Hj，i+J4")都有i+/e&q)或i+_/eA(4J),

求a,+a2+…+””的值.

4

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)A(2)C(3)B(4)A(5)D

(6)C(7)B(8)C(9)C(10)A

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)12(12)兀:

2

7

(13)机=0(答案不唯一)(14)—

(15)①③④

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共13分)

R

解：(I)由正弦定理得。sinA=“sin8,由题设得asinB-acos—=0,

2

2asin—cos---acos—=0,

222

因为。<2<=,所以acos与#0.

222

工…B1

所以sm二n二.

22

B71Tl

—=—,Dn=—.6分

263

(II)选条件①：sinA4-sinC=2sinB.

因为匕=3,6=sinA+sinC=2sinB.

由正弦定理得"+C=20=6,由余弦定理得9="+C2—ac=m+c)2-3ac,

解得ac=9.

而zc一1-9g

所以SMBC=-acsin^=~^~

(ic=9

由'解得。=3.13分

。+c=6,

选条件②：c=C.

「I

已知8=2为=3,C=G,由正弦定理得sinC=—sin8=—

3b2

因为c<b,

所以C=”=”="2+C'2=2"

5

所以S~BC=3人。=苧・

(17)(共14分)

解：(I)由题设知AB，AC.

因为平面ABC1平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,,

所以AC1平面A3O.

因为BEu平面A8D,

所以AC1BE.

因为△ABO为等边三角形，E是A。的中点,

所以AD1BE.

因为ACAD=A,

所以BE1平面ACO.

所以BELCD............6分

4/7

(II)设生=/l,2e[0,1].

AD

取AB的中点。，BC的中点/，连接OD,OF,

则OD1AB,OFAC.

由(I)知AC1平面ABO,所以OF1平面ABO,

所以OP1AB,OFLOD.

如图建立空间直角坐标系。-xyz,则

A(-1,0,0),8(1,0,0),C(-1,2,0),£>(0,0,73).

所以BA=(-2,0,0),AO=(1,0,6),BC=(-2,2,0),

C£)=(l,-2,我

BE=BA+AE=BA+AAb=^-2,0,^>).

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),

nBC=0,—2x+2y=0,

则即《

n•BE=0,(2-2)x+V3/lz=0.

令x=则y=,z=2—九.于是〃=(—4).

Vio

因为直线CO和平面BCE所成角的正弦值为

lo-

所以gs<cn〃*g=..即(i-初也

\CD\\n\2国3.2+3/12+(2-<)210

整理得8分―26/1+11=0,

6

解得丸=,或/1=^.

24

因为2G[0,1],

।AE]_

所以几=上，即竺•=14分

2AD2

（18）（共13分）

解：(I)根据表中数据,可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是

学生1,

学生2,学生4,学生5,

则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概

4

率为一.3分

7

(II)(i)随机变量X可能的取值为0,1,2.

这名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为

791,1,-3,3,1,-4,-5

3

百=—;

7

6

_2

a一=~9

67

2

一=­.

好7

则随机变量X的分布列为：

X012

322

P

777

X的数学期望EX=0X3+1X2+2X2=9............11分

7777

（ii）DX<DY............13分

（19）（共15分）

解：（I）因为抛物线y2=2px（p〉0）过点（1,2）,

所以2P=4,即p=2.

故抛物线。的方程为V=4x,焦点尸(1,0),准线方程为工=一1.

所以=gxlx2=1・........................6分

（II）设直线/的方程为），="+机（ZwO）.

由y-4x‘得％2工2+gm-4）x+m2=0.

y=kx+m

由△>（）有l-A机>0.

设A（Xi，y）,B（X|,y）,

AJ./L-i-M*7/、nt2—klTl

设AB的中点为NO。,%）,则%=」——=——-—

7

k—-kvn-i-Q

N到准线的距离d=%+1=-_竿三

2

\AB\=Jl+尸\x]-X2\=Jl+ZJ(X]+九2尸一4%1%2

k

依题意有网=d,

2

即亚巳JP嬴=公"+2,

kk

整理得公+2kn+机2=0,

解得上+加=0,满足△>().

所以直线>=履+〃?(ZHO)过定点(1,0).......................15分

(20)(共15分)

解：(I)f'(x)=e'(sinx+cosx)—2.

尸(0)=T,/(0)=0.

所以曲线旷=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为)，=—x.......................5分

(II)令g(x)=f\x)=eJ(sinx+cosx)-2,

则g'(x)=2e*cosx，

当时,g'(x)>0,g(x)在[-1,1]上单调递增.

因为g(0)=-l<0,^(l)=e(sinl+cosl)-2>0,

所以切e(0,1),使得g(x0)=0.

所以当xe(—l,x0)时，r(x)<0,/(x)单调递减：

当xe(x。/)时,尸(x)>0,“X)单调递增.

/(l)=esinl-2<e-2<l,/(-1)=2-^>1,

e

所以/(X)M=〃T)=2-誓.............11分

(III)满足条件的〃的最大整数值为-2.

理由如下：

不等式/(x)+x>〃e'恒成立等价于avsinx-三恒成立.

令9(x)=sin,

x

当x40时，一一>0,所以火x)>-l恒成立.

ex

YY—1

当x>0时，令h(x)=-----,/?(%)<0,hr(x)=———,

〃'(x)与力。)的情况如下:

X(0,1)1(l,+oo)

f

h(x)—0+

8

/z(x)、

e

所以咐濡=〃(1)=一

当x趋近正无穷大时，〃(x)<0,且〃(X)无限趋近于0,

所以〃(x)的值域为[-±0).

e

因为sinxe|-l,l],

所以夕(x)的最小值小于-1且大于-2.

所以。的最大整数值为-2.........................15分

(21)(共15分)

解：(I)由题设知4(5)={4,7,8},s(5)=3.........................4分

(II)依题意S(4)2I(i=\,2r-,n),

因止匕一——F——++―?—<n.

s(ajs(a2)s(a„)

又因为」-+」一++」一=