普通高等学校2023年高二数学第二学期期末考试试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线x+y=a与圆f+y2=4交于A6两点，且|。4+。同=|。4一（其中。为坐标原点），则实数”的

值为

A.2B.V6C.2或—2D.水或—屈

2.若关于x的不等式2/+。—lnx<0有解，则实数。的取值范围是（）

,c1

A.-oo,-ln2——-oo,In2——

2

3.已知A={X|X2-2X—3<0},B={x\x<a\,若A包含于B,则实数。的取值范围是（）

A.（-l,+oo）B.[3,+co）C.（3,+oo）D.（-00,3]

4.某家具厂的原材料费支出x（单位：万元）与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据,

用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为$=6x+$,则刃为（）

X24568

y2535605575

A.10B.12C.20D.5

5.三个数Q=(g)2,力=ln],c=21之间的大小关系是（）

A.h<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

6.已知以双。+尸）以帖/7+5m（。+4）5出/?=^,a是第四象限角，则tan（a-（）

11

A.-7B.——C.-D.7

77

7.甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是!外,

2

2

其余每局比赛甲队获胜的概率都是假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（）

24816

A.—B.—C.—D.—

81272781

8.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸

取3次，设w为取得红球的次数，贝必；,-=

A.B.C.D.

三

1393S

9.已知数列｛m｝为单调递增的等差数列，s〃为前〃项和，且满足4二L%、4、%成等比数列，则工。=（）

A.55B.65C.70D.75

10.某单位为了解用电量V（度）与气温xCC）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了统

计表：由表中数据得到线性回归方程9=-2x+60,那么表中机的值为。

气温X(℃)181310-1

用电量y（度）2434m64

A.40B.39C.38D.37

11.下列说法中正确的是（）

①相关系数「用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，卜|越接近于1,相关性越弱；

②回归直线丁=云+。一定经过样本点的中心（无歹）；

③随机误差。满足E（e）=0,其方差的大小用来衡量预报的精确度；

④相关指数R?用来刻画回归的效果，R?越小，说明模型的拟合效果越好.

A.①②B.③④C.①④D.②③

12.已知变量x,y之间的线性回归方程为丫=_0.7%+10.3.且变量x,J之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误

的是（）

X681012

y6m32

A.变量之间呈现负相关关系

B.可以预测，当户20时,y=-3.7

C.m=4

D.该回归直线必过点（9,4）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数/（x）=e'+x的导函数为/（X）,则/（2）=.

L+lA-<1

14.已知函数./■（》）=3'+,则当函数P（x）=/（x）-G：恰有两个不同的零点时，实数。的取值范围是.

lnx,x>1

15.已知地球半径为R,处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75。，乙地纬度为北纬15。，则甲乙两地的球面

距离是________

16.已知抛物线y2=4x,焦点为b,准线为/,P为抛物线上一点，PAll,A为垂足，如果直线AE的斜率为-

那么^PAF的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，矩形ABC。所在的平面与直角梯形COE尸所在的平面成60的二面角，DE//CF,CD1DE,

AD=2,EF=3垃，CF=6,ZCFE=45°.

（1）求证：BF”面ADE;

（2）在线段CF上求一点G,使锐二面角B—EG—。的余弦值为也.

7

18.（12分）在极坐标系中，。为极点，点”（自，4）（。0>0）在曲线。：夕=4««。上，直线/过点40,4）且与QM垂

直，垂足为尸

（1）当时，求。。及/的极坐标方程

（2）当M在。上运动且点P在线段上时，求点尸的轨迹的极坐标方程

19.（12分）在平面直角坐标系X。），中，曲线C:x2+y2-6x=0,直线4：x-百y=（）,直线公氐—y=0以坐

标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）写出曲线C的参数方程以及直线4，的极坐标方程；

(2)若直线4与曲线C分别交于O、A两点，直线4与曲线c交于O、B两点，求△AOB的面积.

20.(12分)如图，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,CD=2(瓜+也),8C=2及，BF<BC,梯形ABC。

的高为0+1,£是的中点，分别以为圆心，CE,小为半径作两条圆弧，交4B于EG两点.

(1)求/BFC的度数；

(2)设图中阴影部分为区域Q,求区域。的面积.

21.(12分)已知函数/(x)=x?+(2-a)x-alnMaeR).

(1)讨论/*)的单调性；

(2)当xNl时，/(x)>0,求a的最大整数值.

22.(10分)己知角a的终边经过点

(1)求tana的值；

.(左)

/、sina+—+cosa

⑵求I2)的值.

sin(^--a)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

分析：利用OAJ_OB,OA=OB,可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R,可

得出AB,求出AB的长，圆心到直线y=-x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求

出方程的解即可得到实数a的值.

详解：VOA±OB,OA=OB,

AAAOB为等腰直角三角形，

又圆心坐标为(0,0),半径R=L

**•AB=y/2R=2^2♦

，圆心到直线y=-x+a的距离d=AB==^2，

A|a|=L

:.a=±l.

故答案为c.

点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候

较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别

得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.

2、A

【解析】

先将不等式转化为a<Inx-2/,然后构造函数/(x)=lnx-2/,只要。小于的最大值即可

【详解】

[[/2

解：由2%2+Q—lnx<0，得〃<lnx—2/，令/(x)=lnx-2x2(%>0),则/(不)=——4x=......-(x>0)

xx

当0<x<；时，/(x)>0；当时，/(x)<0

所以/(%)在(0,g)上单调递增，在(p+oo)上单调递减

所以当x=，时，.f(x)取最大值/d)=ln1-2x9=-ln2—1,

22242

所以a<-ln2--

2

故选：A

【点睛】

此题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题

3、B

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,根据A是3的子集列不等式，由此求得。的取值范围.

【详解】

由%2-2%-3=（》-3）（》+1）<0解得-1<%<3,所以A=（T,3）,由于6={x|x<a}且A包含于8,所以.23,

故”的取值范围是［3,+8）.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题.

4、C

【解析】

由给定的表格可知元=5,9=50,代入》=6X+G,可得A.

【详解】

解：由给定的表格可知土=5,歹=50,

代入y=6x+b,可得h=20♦

故选：C.

【点睛】

本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题.

5、A

【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性求解

【详解】

0<«=（|）2<（|）°=1

/>=ln—<lnl=0

5

3

c_2^〉2°=1，故b<ci<c

故选：A

【点睛】

本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用.

6、A

【解析】

通过和差公式变形，然后可直接得到答案.

【详解】

4

根据题意©05（£+尸）以应（?+5由（£+/?）5吊/?=二=（：05«,1是第四象限角，故

tan«=-—,而lan（a-匹）=蚂？~-=-7,故答案为A.

441+tana

【点睛】

本题主要考查和差公式的运用，难度不大.

7、B

【解析】

1,（2Y门Y4

若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2,所以概率为P=--=—，故选B.

2⑶27

8、B

【解析】

先根据题意得出随机变量，然后利用二项分布概率公式计算出n:一、。

rB,（3§久"2）

【详解】

由题意知，，由二项分布的概率计算公式得..，

9（3.：）P«=2）=C/（i）

故选：B.

【点睛】

本题考查二项分布概率的计算，关键是要弄清楚随机变量所服从的分布，同时也要理解独立重复试验概率的计算公式,

着重考查了推理与运算能力，属于中等题。

9,A

【解析】

设公差为d,d>0,%2=/4，（1+21）2=1+81,解出公差，利用等差数列求和公式即可得解.

【详解】

由题：数列｛为｝为单调递增的等差数列，S“为前〃项和，且满足q=1,%、生、为成等比数列，设公差为d,d>0,

2

a3=%4，（1+24）~=l+8d,

解得d=l,

10x9

所以，o=lO+-^—=55.

故选：A

【点睛】

此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系求解公差，利用求和公式求前十项之和.

10、C

【解析】

由表中数据计算可得样本中心点(耳亍)，根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得〃?的值.

【详解】

上*--18+13+10+(-1)

由表格可知x=----------------L=10,

4

—24+34+加+64122+/〃

y=-------------------=----------,

44

根据回归直线经过样本中心点G，3),

小、-122+，〃、，八“

代入回归方程可得-------=-2x10+60,

4

解得m-38>

故选：C.

【点睛】

本题考查了线性回归方程的简单应用，由回归方程求数据中的参数，属于基础题.

11、D

【解析】

运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可

【详解】

①相关系数，•用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，卜|越接近于1,相关性越强，故错误

②回归直线，=云+。一定经过样本点的中心(五方，故正确

③随机误差，满足E(e)=0,其方差。(e)的大小用来衡量预报的精确度，故正确

④相关指数配用来刻画回归的效果，解越大，说明模型的拟合效果越好，故错误

综上，说法正确的是②③

故选。

【点睛】

本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题

12、C

【解析】

根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.

【详解】

对于A:根据8的正负即可判断正负相关关系.

线性回归方程为y=_0.7x+10.3,6=-。・7<0,故负相关.

对于B：当户20时，代入可得尸-3.7

对于G根据表中数据：了=；（6+8+10+12）=9.

可得］=—0.7x9+10.3=4.

即（（6+m+3+2）=4,

解得：,“5.

对于O：由线性回归方程一定过（五y）,即（%4）.

故选：C.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、e2+\

【解析】

先求导，再代值计算.

【详解】

.r（x）="+i,

.•.r（2）=e2+l,

故答案为：e2+\.

【点睛】

本题考查了导数的运算法则，属于基础题.

【解析】

由题方程恰有两个不同的实数根，得.丫二八^与丁二方有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可

【详解】

由题可知方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根，所以y=/(X)与y="有2个交点，

因为4表示直线丁=办的斜率，当x>l时，=设切点坐标为(七,坊)，Z=一，

X/

所以切线方程为y-yo='(x-Xo),而切线过原点，所以尢=1,x°=e,k=L,

xoe

所以直线4的斜率为,，直线/，与y=：x+l平行，所以直线/，的斜率为工，

e33

所以实数〃的取值范围是

I_3ej

故答案为彳，一］

L3ej

【点睛】

本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的

开闭，是易错题

15、-R

3

【解析】

同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角，进而求得两地间距离.

【详解】

由题意可知，同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上

当甲地纬度为北纬75。,乙地纬度为北纬15。,则两地间所在的大圆圆心角为60。

60x〃xR兀R

所以两地的球面距离为/

180

故答案为飞-

【点睛】

本题考查了球的截面性质，大圆及球面距离的求法,属于基础题.

16、46

【解析】

分析：首先根据题中所给的抛物线的方程，求得抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A点的坐标，根据两点斜率坐标

公式求得力=2g,从而得到%=2百，代入抛物线的方程，求得对应的横坐标，之后求得相应的线段的长度，根

据面积公式求得三角形的面积.

详解：因为y2=4x,所以准线=尸(1,0),因为PA_L/,垂足为A，所以设4—1,以)，因为百，

所以"2=一百，所以以=26，所以力=2百，把力=28代入V=4x中，得％=3,所以

|时=3—(-1)=4,所以SpAF=gx|AP|x|y/=gx4x2Vi=4Vi,故答案是4G.

点睛：该题考查的是有关抛物线的定义和有关性质的问题，以及直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要对

相应的公式和结论要熟记并能熟练地应用，从而求得结果.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)G为线段5的中点.

【解析】

(1)利用面面平行的判定定理证明出平面BCE〃平面ADE,再利用平面与平面平行的性质得出BF〃平面ADE；

(2)由CDLAD,CD1DE,由二面角的定义得出NADE=60，证明出平面CDE，平面ADE,过点A在平

面内作AO_LOE,可证明出40_L平面C0EE,以点。为坐标原点，OE、所在直线分别为,'轴、z轴

建立空间直角坐标系。一肛z,设点G的坐标为(3,7,0)(-lWfW5),利用向量法结合条件锐二面角的余弦值为平

求出f的值，由此确定点G的位置.

【详解】

(1)在矩形A3CD中，BC//AD,又Q4)u平面ADE,平面ADE,

BCH平面ADE,同理可证CFH平面ADE,

QBCcCF=C,BC、C/u平面BCE,..平面8CF〃平面AOE,

防匚平面以7/^二^^/平面人0石；

(2)在矩形ABCO中，CDLAD,又CDVDE,则矩形ABC。所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平

面角为NADE,即乙4£>£=60.

又QADcQE=O,\8人平面ADE,

作AOLOE于。，(340匚平面血石，..40,8,

又CDDE=D,CD、£>£匚平面。£>£五，二40，平面8£：尸.

作EHLCF于H,QEF=30，NECF=45°，；.CD=EH=HF=3,

QCF=6,：.CH=DE=3,00=1,OE=2.

以。为原点，OE、Q4所在直线分别为>轴、z轴如图建立空间直角坐标系。-孙z,

则8（3,0,6）、£（0,2,0）,设G（3,7,0）（—lW）.

则选=卜3,2,—6）,fiS=（0,r,-V3）,

=

BE-%=0—3x+2y—y/3z0j-

设平面BEG的一个法向量为仆=(x,y,z),贝卜1，即〈/，取＞=3,贝!lz=6"x=2-t,

BG•勺=0ty-y/3z=0

则平面BEG的一个法向量为£=(2-/,3,后上

网2近,

UUN印

.又平面OEG的一个法向量为%=(0,0,1)，/.cos。4,%

“/-41+137

解得/=2或。=一日(舍去).

此时，H=bG(3，；1，O］即所求点G为线段CT的中点.

2

【点睛】

本题考查直线与平面平行的证明，以及二面角的计算，解题时要注意二面角的定义，本题考查二面角的动点问题，一

般要建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

18、（1）/?o=2正，极坐标方程为/Xsine+cos0)=4(2)P点轨迹的极坐标方程为G：夕=4sin6(6£0。

4

【解析】

(1)当。0=；时，凡=20,M(20,7)直角坐标系坐标为"(2,2),计算直线方程为y=-x+4化为极坐标方程

为Q(sin0+cos。)=4

(2)P点的轨迹为以0A为直径的圆，坐标方程为£：0=4sin。，再计算定义域得到答案.

【详解】

⑴当仇=：时，/?o=4cos4)=2上，

以。为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M(2,2),A(0,4),kOM=1,则直线/的斜率左=一1

由点斜式可得直线/：y=-x+4,化成极坐标方程为夕(sin8+cos6)=4；

7T

⑵・・•/_LOMN0H4=—,则P点的轨迹为以0A为直径的圆

2

此时圆的直角坐标方程为Y+U—2)2=4

2=4sin8TT

化成极坐标方程为G：夕=4sin6,又尸在线段上，由广，可得。=7，

p=4cos6/4

TT

...P点轨迹的极坐标方程为C|：2=4sin6(6e0,-).

【点睛】

本题考查了直线的极坐标方程，轨迹方程，忽略掉定义域是容易发生的错误.

19、(1)/,：6="wR),/,：^=-(peR).(2)空

634

【解析】

分析：(D直接根据圆的参数方程求出曲线C的参数方程，利用极坐标公式求出直线4，4的极坐标方程•(2)先求出

OA,0B,再利用三角形面积公式求MOB的面积.

,、2fx=3+3cosa

详解：(1)依题意，曲线C：(x—3)-+丫2=9,故曲线C的参数方程是｛..(a为参数)，

y=3sina

因为直线4：x—百y=(),直线小、&—y=0,故4，4的极坐标方程为

4：R),4：。

(2)易知曲线C的极坐标方程为夕=6cos。，

把6代入夕=6cos6,得自=3百，所以«3省,，

把6=2代入0=6cos8,得0=3,所以Bp,。］

所以S/B=1P^inZAOB=；x3石x3sin一?)=苧.

点睛：(1)本题主要考查直角坐标方程、参数方程和极坐标的互化，考查极坐标的应用，意在考查学生对这些知识的

掌握水平和计算能力.(2)第2问，化成直角坐标也可以解答，但是利用极坐标解答效率更高.

20、(1)NBFC=45"(2)/=2(6+1)

【解析】

(1)设梯形ABCO的高为力，求得sinNC8/=近上受，在ACBF中，由正弦定理求得sinNBFC=Y2,即可

42

得到ZBFC=45°.

(2)由(1),在&5C尸中，由余弦定理，列出方程87^-2(6+1)8尸+4月=0,解得即=2,利用面积公式,

即可求解.

【详解】

(1)设梯形ABC。的高为力，

因为sinZBCD=—==#+立,/BCD+4CBF=180°,

BC2724

所以sinZCBF=sin(l80°—ZBCD)=sinNBCD=近\叵.

+yfl20

CFBC

在ACBE中，由正弦定理，得，即V6+A/2sinZ.BFC，

sinZCBFsinNBFC

4

5

^sinZBFC=—.

2

又且CF>6C,所以N8fT=45°.

(2)由(1)得/石。F=/8/。=45°.在反5。厂中，由余弦定理推论，得cosNBFC二B1+©-BL,即

2BFxFC

BF?-2(6+1)BF+46=。，

解得BF=2,BF=26(舍去).

因为sCBF=S的G=gBPxbCxsinNBFC=；又2又#+也)x弓=6+\，

=

所以SQ=S^CBF+^AOAG2(>/3+1).

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息,

合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

21、⑴小)在,9上单调递减，在序+，|上单调递增.(2)2.

【解析】

分析：(1)先确定函数/(x)的定义域，再求出函数/(%)的导数，/'(x)=(1+。(2…),分类讨论，确定ago

X

和。>0时函数的单调性.

(2)根据题意，转化为X21时，/(X)min>0条件下求参数问题.由(1)可知：①当aWO时/(X)在(0,+8)上单调

递增，且/(1)=3-。>0,即/(x)2/(l)>0成立；②0<£«1时，即0<aW2,分析情况同①；③£〉1时，即

a>2,/Wmin=/-(y),构造关于。的新函数g(a)=l-t—ln^=—t—lna+l+ln2(a>2),判断函数的单调性，

确定函数零点位置2