2023年高考数学理一轮复习教学案第8章8-3空间点直线平面之间的位置关系

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

【考试要求】

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

2.了解可以作为推理依据的公理和定理.

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

【知识梳理】

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

2.空间中直线与直线的位置关系

.平行直线

共面直线

相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有

I公共点

3.空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.

4.空间中平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）两个平面α,夕有一个公共点A,就说α,£相交于过A点的任意一条直线.（X）

（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.（√）

（3）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.（X）

（4）没有公共点的两条直线是异面直线.（X）

【教材题改编】

1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说

不正确的是（）

A.AB与CD是异面直线

B.GH与Cf）相交

C.EF//CD

D.EF与AB异面AD

答案Dh^∖∖∕^∖

解析把展开图还原成正方体，如图所示./城

还原后点G与C重合，点B与尸重合，由图可知ABC正确，EEF与AB

相交，故D错.

2.如果直线αU平面α,直线6U平面及且a〃£,则“与仇)

A.共面

B.平行

C.是异面直线

D.可能平行，也可能是异面直线

答案D

解析α〃夕，说明“与6无公共点，

.∙.”与匕可能平行也可能是异面直线.

3.如图，在三棱锥A—8CZ)中，E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,OA的中点，则(1)当

AC,8。满足条件时，四边形EPG”为菱形；

(2)当AC,B。满足条件_______时，四边形E尸GH为正方形.F∕V∖W

答案(1)4C=Bo(2)4C=B。且4C_LBOg/∖∖∖×/?

解析(1)：四边形EFGH为菱形，

.,.EF=EH,C

悬4C,EH脸BD,

.∖AC=BD.

(2)：四边形EFGH为正方形,

：.EF=EH且EF工Eff,

∖'EF^AC,EH*BD,

：.AC=BD且ACA.BD.

题型一平面基本性质的应用

例1如图所示，在正方体ABCD-43CQ∣中，点E,F分别是

AB,AAl的中点，连接。IRCE求证：

(I)E,C,Dl,F四点共面;

(2)CE,D↑F,D4三线共点.

证明(1)如图所示，连接CCl,EF,A∣B,

VE,F分别是AB,AAl的中点,

.∖EF∕∕A↑B,且EF=TAl8

又YAiDi〃BC,AiDi^BC,

四边形AiBCDl是平行四边形，

：.A\B//CD\,.∖EF∕∕CDi,

：.EF与CDl能够确定一个平面ECDiF,

即E,C,D),F四点共面.

⑵由(1)知EF//CDi,且EF=∣CDl,

.∙.四边形COIFE是梯形，

,CE与。IF必相交，设交点为尸，

则尸CCE,且P∈QιF,

YCEU平面ABcD,GFU平面AlADD1,

.∙.PG平面ABC£),且PC平面4AOOι.

又；平面48CZ)C平面AiADDl=AD,

.∖P≡AD,

：.CE,DiF,D4三线共点.

【备选】

如图所示，已知在正方体ABCQ-AιB∣C∣Q∣中，E,尸分别为。∣C∣,CIBl的中点，AC∏BD

—P,AlG∩EF=Q.求证：

(I)D,B,F,E四点共面；

⑵若AlC交平面DBFE于R点，则尸，Q,R三点共线.

证明(1)；EF是△力IBIG的中位线，

：.EF//BiD↑.

在正方体ABC。-AlBlGOl中，BiDi∕/BD,

J.EF//BD.

：.EF,8。确定一个平面，即O,B,F,E四点共面.

(2)在正方体ABCQ—AlBICQl中，

设平面A∣ACC∣为a,

平面BDEF为β.

∙.∙Q∈AQ,.∙.Q∈α.

又Q∈E凡.∙.0∈A

则。是α与夕的公共点，

同理，P是α与夕的公共点，

.,.a∏β=PQ.

又AICCβ=R,.∖R≡A↑C.

.∙.R∈α,且R∈夕，

则RePQ,故P,Q,R三点共线.

思维升华共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不

共面的图是()

答案D

解析对于A,PS//QR,故P,Q,R,S四点共面；同理，B,C图中四点也共面；D中四

点不共面.

(2)在三棱锥A-BC。的棱AB,BC,CD,D4上分别取E,F,G,”四点，如果EF∩"G=

P,则点P()

A.一定在直线上

B.一定在直线AC上

C.在直线AC或8。上

D.不在直线Ae上，也不在直线80上

答案B

解析如图所示，

因为EFU平面ABC,HGU平面AC。，EFCHG=P,

所以Pe平面ABC,

Pe平面ACD.

又因为平面ABCrl平面ACD=-AC,

所以P∈AC.

题型二空间位置关系的判断

例2（1）下列推断中，错误的是（）

A.若MGa,MGβ,aCβ=l,则M∈∕

B.A≡a,A≡β,BGa,BGβ=aCβ=AB

C.IQa,A∈l^>A¢a

D.A,B,Cea,A,B,C≡β,且A,B,C不共线0ɑ,少重合

答案C

解析对于A,因为Mea,MRβ,aCβ=l,由公理3可知MC∕,A对；

对于B,A∈α,AQ6,Bea,B≡β,故直线4BUα,ABUβ,gpaΠβ=AB,B对；

对于C,若∕∏α=A,则有/Ca,A∈∕,但A∈a,C错；

对于D,有三个不共线的点在平面a,S中，故a,£重合，D对.

（2）已知在长方体438—AIBeQl中，M,N分别是长方形48∣C0ι与长方形BCGBl的中

心，则下列说法正确的是（）

A.直线MN与直线AiB是异面直线

B.直线MN与直线。。相交

C.直线MN与直线4G是异面直线

D.直线MN与直线4C平行

答案C

解析如图，因为M,N分别是长方形Aι8∣G。与长方形BCCIS的中心，所以M,N分别

是AG,BG的中点，所以直线MN与直线AB平行，所以A错误；

因为直线MN经过平面BBIDlD内一点、M,且点M不在直线。O∣上，

所以直线MN与直线是异面直线，所以B错误；

因为直线MN经过平面ABG内一点N,且点N不在直线AC1上，

所以直线MN与直线AG是异面直线，所以C正确；

因为直线MN经过平面4CG内一点M,且点M不在直线AlC上，所以直线MN与直线AlC

是异面直线，所以D错误.

【备选】

1.设a,b,C是三条不同的直线，a,A是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若aUa,bu',则“与6是异面直线

B.若“与〃异面，〃与C异面，则”与C异面

C.若α,b不同在平面α内，则α与b异面

D.若a,6不同在任何一个平面内，则。与b异面

答案D

2.如图所示，G,N,M,”分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线G”与例N

是异面直线的图形有________.（填序号）

答案②④

思维升华（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判

断，常借助正方体为模型.

（2）对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点8的连线和平面内不经过

点8的直线是异面直线.

跟踪训练2（1）空间中有三条线段AB,BC,CD,且N48C=/BC7）,那么直线A8与CO

的位置关系是（）

A.平行

B.异面

C.相交或平行

D.平行或异面或相交均有可能

答案D

解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，

如图可知AB与CQ有相交、平行、异面三种情况.

（2）若直线∕∣和/2是异面直线，人在平面α内，/2在平面£内，/是平面α与平面的交线，则

下列结论正确的是（）

A./与∕∣,/2都不相交

B./与∕∣,/2都相交

C./至多与/1，/2中的一条相交

D./至少与/”/2中的一条相交

答案D

解析如图1,/l与/2是异面直线，/l与/平行,/2与/相交，故A,B不正确；如图2,/1与

/2是异面直线，/1,/2都与/相交，故C不正确.

*2

图1图2

题型三空间几何体的切割（截面）问题

N分别是棱DDI和BBl上的点，MD=3DDι,

例3(1)在正方体ABCD-A↑B↑C∖D∖中，M,

NB=/Bι,那么正方体中过M,N,G的截面图形是（）

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

答案C

解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的

交点.

如图，设直线GM,CO相交于点P,直线ClMCB相交于点Q,连接交直线AO于点E,

交直线AB于点F,则五边形ClMEeV为所求截面图形.

（2）已知正方体ABCD-A↑B↑C∖D∖的棱长为2.以Dl为球心，小为半径的球面与侧面BCClBI

的交线长为.

答案5

解析以A为球心，小为半径的球面与侧面BCGS的交线是以Cl为圆心，1为半径的圆

与正方形BCGBl相交的一段瓠（圆周的四分之一），其长度为:X2πX1=去

o

延伸探究将本例⑵中正方体改为直四棱柱ABCD-AlBlCtDl的棱长均为2,ZBAD=60.

以D1为球心，小为半径的球面与侧面BeCIBI的交线长为.

答案,

解析如图，设囱G的中点为E,球面与棱BB],CG的交点分别为P,Q,

连接。B,DB,DιP,DiE,EP,EQ,

由N8AO=6（Γ,AB=AD,知aABQ为等边三角形，

∙,∙D∖B∖=DB—2,

C为等边三角形，

则DIE=小且瓦L平面BCC1B1,

为球面截侧面BCCiBi所得截面圆的圆心，

设截面圆的半径为r,

则2Ξ7

Γ=√Λ⅛-D1E=√53=√2.

又由题意可得EP=EQ=√L

.∙.球面与侧面BCClBl的交线为以E为圆心的圆孤PQ.

又DιP=√5,

B∣P=√D∣P2-D∣BT≈1,

同理CIQ=1,

；.尸，Q分别为881,CG的中点，

π

.∙.NPEQ=Q

知免的长为^χ√5=华，即交线长为华.

【备选】

如图，在正方体ABCO-4B∣GD∣中，E是8C的中点，平面α经过直线B£）且与直线GE

平行，若正方体的棱长为2,则平面α截正方体所得的多边形的面积为.

9

答案ɔ

解析如图，过点B作3M〃CLE交SCl于点M,过点M作8。的平行线，交ClDl于点、N,

连接DM则平面BDMW即为符合条件的平面ɑ,

由图可知M,N分别为BlcI,GA的中点,

故BD=2巾,MN=y∣2,

且BM=DN=邓,

.∙.等腰梯形MNoB的高为

.∙.梯形MNQB的面积为

∣×(√2+2√2)×^=∣.

思维升华(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直

线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

(2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

跟踪训练3(1)正方体ABCO-ABGd的棱长为2,己知平面心_LAC∣,则关于α截此正方

体所得截面的判断不正确的是()

A.截面形状可能为正三角形

B.截面形状可能为正方形

C.截面形状可能为正六边形

D.截面面积最大值为3小

答案B

解析易知A,C正确，B不正确，下面说明D正确，

如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，≡=2√2,

GW=√2,

OEKO0,2+0，E'yJ1+性A坐,

所以S=2×∣×(√2+2√2)×2^=3√3,

故D正确.

⑵(2022•兰州模拟)如图，正方体4C的棱长为1,点M在棱4A上，AlM=2MD↑,过M的

平面α与平面4BG平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为

答案3√2

解析在平面A。IzM中寻找与平面ABG平行的直线时，只需要ME〃BC1,如图所示,

因为4M=2MD∣,故该截面与正方体的交点位于靠近。，4,C的三等分点处，

故可得截面为MlHGFE,

设正方体的棱长为3α,

则Λ∕E=2√^/,MI=y∣2a,

IH=2yj2a,HG=y∣2a,FG=2y∣2a,EF=巾a,

所以截面MlHGFE的局长为ME+EF+FG+GH+H/+/M=9yβa,

又因为正方体4C的棱长为1,即34=l,

故截面多边形的周长为3√Σ

课时精练

1.给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（）

A.OB.1C.2D.3

答案B

解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.

②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.

③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,

那么这两个角相等或互补，故③错误.

④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误.

2.己知小，〃是两条不同的直线，ɑ,α是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）

A.若机_La,n±β,a邛,则直线机与"可能相交或异面

B.若a_L£,InUa,HU°,则直线m与〃一定平行

C.若机_La,n//β,a∖-β,则直线m与n一定垂直

D.若，“〃a,n//β,a//β,则直线相与〃一定平行

答案A

解析〃?，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面,

对于A,若％_La,∏1β,aLβ,则直线m与"相交垂直或异面垂直，故A正确;

对于B,若a_L尸，mUa,n(^β,则直线相与〃相交、平行或异面，故B错误;

对于C,若"i_La,〃〃夕，akβ,则直线坎与"相交、平行或异面，故C错误;

对于D,若zn〃a,n//β,a//β,则直线机与“平行或异面，故D错误.

3.（2022•营口模拟）已知空间中不过同一点的三条直线”,6I,则3/两两相交"是''α,

b,/共面”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析空间中不过同一点的三条直线”,b,I,若“，b,/在同一平面，则α,b,/相交或α,

b,/有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行.

所以α,b,/在同一平面，则α,b,/两两相交不一定成立；

而若a,b,/两两相交，则”,b,/在同一平面成立.

故''a,b,/两两相交”是“a,b,/共面”的充分不必要条件.

4.如图所示，在正方体ABCQ-AlSCld中，E是平面A。。A的中心，M,N,尸分别是8∣G,

CC∣,AB的中点，则下列说法正确的是（）

A.MN=-^EF,且MN与EF平行

B.MN也EF,且MN与EF平行

C.MN=*F,且MN与E尸异面

D.MN≠^EF,且MN与EP异面

答案D

解析设正方体ABCD-A↑B∖C∖D∖的棱长为2a,

则MN=y∣MG+CN=7停下+管》=也.,

作点E在平面4BC。内的射影点G,连接EG,GF,

所以EF^y∣EG2+GF2

=√30,

所以MNWTE凡故选项A,C错误；

连接OE,因为E为平面AOA4的中心,

所以DE=^A↑D,

又因为M,N分别为BCI,CCl的中点，

所以MN"B∣C,

又因为BlC〃Ai。，所以MN〃E£>,

且DECEF=E,

所以MN与EF异面，故选项B错误.

5.如图所示，平面aC平面”=/,Λ∈a,BGa,AB∩I=D,C≡β,C日,则平面ABC与平面

夕的交线是（）

A.直线ACB.直线AB

C.直线C。D.直线BC

答案C

解析由题意知，D∈Z,lUβ,所以f>∈∕f,

又因为OGA8,所以O∈平面ABC,

所以点。在平面ABC与平面夕的交线上.

又因为Ce平面ABC,C6β,

所以点C在平面广与平面ABC的交线上，

所以平面A8C∩平面S=CD

6.（2022.厦门模拟）下列说法正确的是（）

A.两组对边分别相等的四边形确定一个平面

B.和同一条直线异面的两直线一定共面

C.与两异面直线分别相交的两直线一定不平行

D.一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交

答案C

解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；

如图1,直线QQi与&Cl都是直线AB的异面直线，同样。A与BiG也是异面直线，故B

错误；

如图2,设直线AB与CQ是异面直线，则直线AC与BQ一定不平行，否则若AC〃BQ,有

AC与80确定一个平面ɑ,则4CUa,BDUa,所以A∈α,BGa,C∈α,D∈a,所以AB

Uα,CD⊂β,这与假设矛盾，故C正确；

如图1,AB//CD,而直线AAl与AB相交，但与直线CZ）不相交，故D错误.

a∕∕a∖

7.已知a,b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，在下列命题①〃」=a〃八

a∕∕β∖

a//αla±αl

②,Ua∕∕β∙,③，〃=.〃〃；④,中，正确的命题是_______（只填序号）.

a-Lβ}b//a）o±ιɑj

答案②④

解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所

以①是假命题；

②根据直线与平面的位置关系，由α,α,可得出ɑ〃人所以②是真命题；

③根据直线与平面的位置关系，可得〃与b可以是平行或相交或异面，所以③是假命题；

④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题.

8.（2022・渭南模拟）在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为.（填序号）

①过平面ɑ外的两点，有且只有一个平面与平面ɑ垂直：

②若平面夕内有不共线三点到平面ɑ的距离都相等，则α〃Α

③若直线/与平面ɑ内的任意一条直线垂直，则/，田

④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.

答案①②④

解析对于①，当平面ɑ外两点的连线与平面ɑ垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α

垂直，所以①不正确；

对于②，若平面“内有不共线三点到平面ɑ的距离都相等，平面α与S可能平行，也可能相

交，所以②不正确；

对于③，直线/与平面内的任意直线垂直时，得到/J_a,所以③正确；

对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直

线外的一点，所以④不正确.

9.如图,平面ABEFl.平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,ZBAD=ZFAB

=90o,BC//ADKBC=^AD,BE//AFS.BE=^AF,G,，分别为杼1,尸。的中点.

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C,D,F,E四点是否共面？为什么？

⑴证明VG,H分别是E4,FQ的中点,

.,.GH^AD.

又BC破4力，.∙.GH^BC.

四边形BCHG为平行四边形.

⑵解,.∙BE统%F,G是物的中点，

：.BE蕊FG,

：.四边形BEFG为平行四边形,

.∖EF∕∕BG.

由⑴知BGCH,

J.EF//CH,

.∙.EF与CH共面.

又DGFH,

：.C,D,F,E四点共面.

10.如图，四棱柱ABa)—AIBICIQI的侧棱AA」底面ABCQ,四边形A8C。为菱形，E,F

分别为44”Cel的中点，M为AB上一点.

⑴若AE与CM相交于点K,求证AE,CM,D4三条直线相交于同一点;

TT___

(2)若4B=2,AAι=4,ZBAD=y求点。到平面FBc的距离.

⑴证明:OiE与CM相交于点K,

.∖K≡D↑E,KSCM,

而OIEU平面ADD1A1,CMU平面ABCD,

且平面A。QAC平面ABCD=AD,

.∙.K∈AO,

ΛDιE,CM,D4三条直线相交于同一点K.

(2)解：四边形ABC。为菱形，AB=2,

：.BC=CD=2,

而四棱柱的侧棱AΛ∣，底面ABCD,

.,.CG_L底面ABCD,

又•./是Cel的中点，CCl=4,/.CF=2,

；.BF=DF=2®

JT

又・・・四边形ABC。为菱形，ZBAD=y

：.BD=AB=I,

∙*∙S"BD=∣×2×-∖∕(2√2)2-ɪ=√7.

设点D1到平面FBD的距离为〃，点B到平面DD↑F的距离为d,

贝IJd=2sin

又∙VDI-FBD=VB-DDIF»

•∙qXSzibBQX。S△nn、FXd,

解得h=生

即点D1到平面FBD的距离为零.

11.如图，点N为正方形ABCz）的中心，△&?£＞为正三角形，平面EC。，平面ABCZ）,M是

线段EO的中点，则（）

A.BM=EN,且直线8M,EN是相交直线

B.BM乎EN,且直线BM,&V是相交直线

C.BM=EN,且直线SM,EN是异面直线

D.BMWEN,且直线BM,EN是异面直线

答案B

解析如图，取C。的中点0,连接OMEO,因为△■£€1£＞为正三角形，所以Eoj_C£＞,又

平面EQ）J"平面A8CD,平面ECDQ平面ABa）=CZ）,所以E0_L平面ABCD设正方形ABcD

的边长为2,则E0=√5,ON=I,所以EM=EO2+OM=4,得EN=2.过M作CD的垂线，

垂足为P,连接BP,则MP=坐，CP=∣,所以BM2=Mp2+jgp2=惇｝+®2+22=7,得

BM=S,所以BMWEN.连接BD,BE,因为四边形ABeD为正方形，所以N为8。的中点，

即EN,均在平面BoE内，所以直线BM,EN是相交直线.

12.（2022•广州六校联考）如图,在正方体ABCZ）-A曲GA中,M,N,P分别是GDι,BC,

4人的中点，下列结论正确的是（）

A.AP与CM是异面直线

B.AP,CM,。。相交于一点

C.MN//BDi

D.MC〃平面BBQ1。

答案B

解析如图，连接MP,AC,

因为MP//AC,MP≠AC,

所以AP与CM是相交直线，

又平面A∣AOZ)ι∩平面GCDD∖=DDi,

所以AP,CM,OQi相交于一点，则A不正确，B正确;

令ACnBD=0,连接0。1,0N.

因为M,N分别是GQ∣,BC的中点，

版以ON〃D\M〃CD,0N=DiM=^CD,

则四边形MNODl为平行四边形,

所以MN∕∕0D∖,

因为MNa平面BB↑D↑D,

ODIU平面BBiDM

所以MN〃平面BBIOif),C不正确，D不正确.

13.楼长均为Im的正三棱柱透明封闭容器盛有4n√水，当侧面A48B水平放置时，液面

高为hm(如图1)；当转动容器至截面A∣8C水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A-

AlBe（如图2）,则“=,A=.

图1图2

较亚√3√2

U某122-2

解析由题意得SAABC=T×l×l×sin60°

=；XlXIX坐=乎，

AAI=1.

.v_le44_1乂近乂―近一〃

Z,

∙∙*A-A1BC—β∂∆Λβc∕ιAι—ɜʌ4XI一厄―

,

由KlfiZiD-A1B1ElD1=A-AiBC侍S^MABEDΛA]

=^jS^ABC'ΛAι，

:∙S四边形ABEZ)=]SzλA8C,

∙,∙SMDE=WAABC,

.匹=巫=姐

,∙^-√3^3-

..DCDE√6

•AC~AB~3，

：.DC=普,：.AD=I一普,

在等边AABC中，48边上的高为坐.

1一姐

.hAD3

1国=k-∏^,

2

=正—也

..〃―22-

14.（2022.盐城模拟）在棱长为4的正方体ABe。一AIBlG£）|中，P,。分别为棱AQ∣,Cel

的中点，过P,Q,A作正方体的截面，则截面多边形的周长是.

答案25+9√^+2√Π

解析如图所示，

过。作QM〃AP交BC于M,

由AlP=CQ=2,tanNA以ι=2,

则tanNCMQ=2,

CM=tanZCMQ=i,

延长MQ交BCl的延长线于E点，连接PE,交DICI于N点、,

则多边形AMQNP即为截面，

根据平行线性质有GE=CM=I,

C\N_C\E_\

两一两=5，

48

则CIN=WD∖N=y

因此NQ=^ɪ=率，

又"=也阡芬=2小，ΛM=√42+32=5,

M°=∖T+22=小,

所以多边形AMQNP的周长为

AM+MQ-∖-QN+NP+PA

=5+√5+^ψɪ+y+2√5

25+9√5+2√B

=3,

15.（2022•山西康杰中学模拟）如图，直四棱柱ABeD—AiBGd的底面是边长为2的正方形，

AA∣=3,E,F分别是A3,BC的中点，过点。，E,F的平面记为α,则下列说法中错误的

是（）

A.点B到平面α的距离与点Al到平面α的距离之比为1:2

B.平面α截直四棱柱ABCD-AlBiCiDi所得截面的面积为斗

C.平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47：25

D.