2023-2024学年山东省济宁市曲阜一中数学九年级上册期末经典试题含解析

2023-2024学年山东省济宁市曲阜一中数学九上期末经典试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"O

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图，已知在AABC纸板中，AC=4,BC=S,AB=Il,尸是8C上一点，沿过点尸的直线剪下一个与AABC相似

的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么Cp长的取值范围是（）

2.如图，四边形ABer）与四边形GBEb是位似图形，则位似中心是（）

A.点AB.点BC.点FD.点D

3.用配方法解一元二次方程W—8X+9=0,变形后的结果正确的是（）

A.（x—4）2=-7B.（尤-4）2=7C.（χ+4）2=7D.（x-4）2=25

4.从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了15（）次，其中有5（）次摸到黑球，已知口袋中

有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（）

A.10个B.20个C.30个D.无法确定

5.掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（）

A.点数小于4B.点数大于4C.点数大于5D.点数小于5

6.在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm,O到CD的距离是6cm,则像CD的长是物体AB

长的（）

7.如图，在平面直角坐标系中，RtAABO中，ZABO=90o,OB边在X轴上，将AABO绕点B顺时针旋转60。得到ACB

D.若点A的坐标为(-2,2√3),则点C的坐标为()

⅜∙

A.(√3,1)B.(1,√3)C.(1,2)D.(2,1)

8.在ABCΦ,ZC=90o,AB=5,BC=4,以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与。A的位置关系是()

A.在OA外B.在。A上C.在。A内D.不能确定

9.如图，＞^∕l∕∕Z2∕∕∕3,若AB=6,BC=J),EF=6,则DE=()

--------CT~F∖----------13

A.4B.6C.7D.9

10∙如图，在矩形SC。中，-3=4'=：,若以4为圆心，4为半径作。1下列四个点中，在。J外的是()

O

A,点/B.点5C∙点CD.点D

二、填空题(每小题3分,共24分)

11.反比例函数y=A的图象具有下列特征

在所在象限内，y的值随犬值增大而减小.那么攵的取值范围是

X

12.如图，平面直角坐标系中，。尸与X轴分别交于4、B两点,点P的坐标为（3,-1）,AB=2y∕3.将。P沿着与

y轴平行的方向平移，使。尸与X轴相切，则平移距离为.

13.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/苏下降到12月份的5670元//，则

11、12两月平均每月降价的百分率是.

14.在AABC中，若AB=5,BC=13,AD是BC边上的高，AD=4,贝!∣tanC=.

15.已知正方形ABCD边长为4,点尸为其所在平面内一点，PD=小,ZBPD=90o,则点4到8P的距离等于.

16.如图，在平面直角坐标系X"、中，矩形EFGO的两边在其坐标轴上，以》轴上的某一点为位似中心作矩形ABeO,

使它与矩形EEGo位似，且点B,尸的坐标分别为（-4,4）,（2,1）,则点。的坐标为.

17.正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上，且DP=L点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为

18.如图，AC是。。的直径，弦BO_LAC于点E,连接ZJC过点。作OF_L8C于点尸，若8O=12c,〃，AE=4cm,则

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A,B的坐标分别是

A(3,3)、B(1,2),Z∖AOB绕点O逆时针旋转90。后得到△AiOBi.

(1)画出AAIOB1,直接写出点A∣,Bl的坐标；

(2)在旋转过程中，点B经过的路径的长.

20.(6分)定义：将函数G的图象绕点P(机，0)旋转180。，得到新的函数C2的图象，我们称函数Cz是函数G关于

点尸的相关函数。例如：当〃2=1时，函数y=(x-3)2+l关于点P(l,0)的相关函数为y=-(x+l)2-l.

(1)当，"=O时，

①一次函数y=-x+7关于点P的相关函数为；

②点A(5,-6)在二次函数y=αχ2.2αx+"(存0)关于点P的相关函数的图象上，求”的值；

(2)函数j=(x-2)2+6关于点P的相关函数是y=-(x-10)2-6,则”?=

(3)⅛m-l<x<m+2,函数y=x2-6mx+4n∣2关于点尸(”?，0)的相关函数的最大值为8,求，”的值.

21.(6分)若二次函数y=a∕+bx+c的图象的顶点是(2,1)且经过点(1,-2),求此二次函数解析式.

22.(8分)已知抛物线y=gχ2+bx+c与X轴交于A(4,0)、B(-2,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m,四边形ABCD的面积为S,求S与m的函数关系式，并

求S的最值；

(3)点P在抛物线的对称轴上，且NBPC=45°,请直接写出点P的坐标.

23.(8分)阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德•欧拉(Le丽/mrdEMer)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧

拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则。/2=R2一2处.

如图1,。。和OI分别是aABC的外接圆和内切圆，。1与AB相切分于点F,设。。的半径为R,(Dl的半径为r,外

心0(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离0I=d,则有d2=R2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长Al交。O于点D,过点I作。O的直径MN,连接DM,AN.

VZD=ZN,NDMI=NNAI（同弧所对的圆周角相等），

Λ∆MDI^∆ANI,

.IM_ID

••=9

IAIN

ΛIAID=IMlN①,

如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作。O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF,

TDE是。。的直径，/.NDBE=90o,

VΘI与AB相切于点F,NAFl=90。，

ΛZDBE=ZIFA,

VNBAD=NE（同弧所对圆周角相等）,

Λ∆AIF^∆EDB,

.IAIF.三

DEBD

任务：（1）观察发现：IM=R+d,IN=（用含R,d的代数式表示）；

⑵请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）,（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分;

（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.

24.（8分）已知:如图，正方形ABCD,E为边A。上一点，ΔAHE绕点A逆时针旋转90后得到ΔAOb.

（1）如果乙4EB=65，求NoEE的度数;

（2）拓与。尸的位置关系如何?说明理由.

D

f∙AB

25.(10分)计算:

(1)2sin300+cos450-√3tan60o

(2)(√3)0-弓)'2+tan230°.

26.(10分)如图，已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF.

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)若AB=6,求菱形的面积.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、B

【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到AP的长的取值范围.

【详解】如图所示,过尸作PQ〃AB交AC于。或PE〃AC交A3于E,则S2∖8C4或△£?PES∕∖3C4,此时OV

PCV8;

如图所示,过产作NBPF=N4交A8于F,则PFS∕∖54C,

此时0VPC<8;

如图所示,过产作交于则

NCPG=N3ACGACPGS2^C4B,

此时,

ZkCPGs2I∖CK4,

当点G与点A重合时,C4ι=CPxC8,即41=CPX8,

：.CP=1,

...此时,OVCP≤1;

综上所述,CP长的取值范围是O<CP≤1.

故选8.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质.

2、B

【分析】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一

条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可.

【详解】解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B,

点B为位似中心

故选B.

【点睛】

此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键.

3、B

【解析】根据配方法解一元二次方程即可求解.

【详解】X2-8X+9=0,

二d-8x+16-16+9=0，

.•.（X—4）2=7,

故选：B.

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方.

4、B

【详解】解:摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是啬=；,

设口袋中大约有X个白球，则一"一=,，

x+103

解得x=l.

经检验：x=l是原方程的解

故选B.

5、D

【解析】根据所有可能的的6种结果中，看哪种情况出现的多，哪种发生的可能性就大.

【详解】掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况，

即：点数为1,2,3,4,5,6；其中点数小于4的有3种，点数大于4的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5

的有4种，

故点数小于5的可能性较大，

故选：D.

【点睛】

本题考查了等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是关键.

6、A

【分析】作OEj_AB于E,OF±CDTF,根据题意得到△A0Bs4C0D,根据相似三角形的对应高的比等于相似比

计算即可.

作OE_LAB于E,OF±CD≠F,

由题意得,AB〃CD,

Λ∆AOB<^∆COD,

.CDOF1

••------—---->-_—,

ABOE3

Λ像CD的长是物体AB长的g.

故答案选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.

7、B

【解析】

作CH_LX轴于如图，

点A的坐标为(-2,26)√181∙x轴于点8,.ZanNBAC=—=3√3,

AB

.∙.NA=30,

VAABO绕点8逆时针旋转60。得到AC8D,

：.BC=BA=2瓜OB=2,NCBH=30，

在放△口?”中,CH=-BC=3√3，

2

BH=6CH=3,

OH=BH-OB=3-2=1,

.∙.C(1,√3)

故选：B.

【点睛】

根据直线解析式求出点A的坐标，然后求出AB、OB,再利用勾股定理列式求出OA,然后判断出NC=30。，CD〃*轴

，再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出BE,利用勾股定理列式求出CE,然后求出点C的横坐标

,再写出点C的坐标即可.

8、B

【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可.

【详解】解：由勾股定理得：AC=y∣AB2-BC2=√52-42=3,

∙.∙AC=半径=3,

.∙.点C与。A的位置关系是：点C在。A上,

故选：B.

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r,点到圆心的距离是d）的位置

关系有3种：d=r时，点在圆上：d<r点在圆内；d>r点在圆外.掌握以上知识是解题的关键.

9、A

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.

【详解】解：

.ABDE

"'~BC~~EF'

TAB=6,BC=9,EF=6,

.6DE

..—=----，

96

ΛDE=4

故选：A

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.

10、C

【解析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.

【详解】解：如下图,连接AC,

V圆A的半径是4,AB=4,AD=3,

：•由勾股定理可知对角线AC=5,

.∙.D在圆A内,B在圆上,C在圆外，

故选C.

【点睛】

本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、k>0

【分析】直接利用当k>l,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随X的增大而减小；当kVl,双

曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随X的增大而增大，进而得出答案.

【详解】解：V反比例函数y=±的图象在所在象限内，y的值随X值的增大而减小，

X

Λk>l.

故答案为：k>l.

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，掌握基本性质是解题的关键.

12、1或1

【分析】过点P作PCJ_x轴于点C连接PA,由垂径定理得。尸的半径为2,因为将。尸沿着与y轴平行的方向平移,

使。尸与X轴相切，分两种情况进行讨论求值即可.由

AB=2-73，AC=BC——AB-,

2

点尸的坐标为(1,-1),.PC=I,

PA=y]PC2+AC2=2>

将。尸沿着与y轴平行的方向平移，使。尸与X轴相切，

；・①当沿着y轴的负方向平移，则根据切线定理得：PC=PA=2即可，

因此平移的距离只需为1即可；

②当沿着y轴正方向移动，由①可知平移的距离为3即可.

故答案为1或L

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质及切线定理，关键是根据垂径定理得到圆的半径，然后进行分类讨论即可.

13、10%

【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是X,那么11月份的房价为7000(1-X),12月份的房价为700O(I-X)

2,然后根据12月份的价格即可列出方程解决问题.

【详解】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是X,

由题意，得：7000(1-x)2=5670,

解得：Xl=(M=I0%,X2=1.9(不合题意，舍去).

故答案为：10%.

【点睛】

本题是一道一元二次方程的应用题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程

是解题的关键.

2一1

14、一或一

5―4

【分析】先根据勾股定理求出8。的长，再分高Ao在AABC内部和外部两种情况画出图形求出CD的长，然后利用

正切的定义求解即可.

【详解】解：在直角AABD中，由勾股定理得：BD=代_42=3,

Ao42

若高AO在AABC内部，如图1,则CO=BC-8。=10,ΛtanC=——=一=一；

CD105

AD41

若高AO在AABC外部，如图2,贝IJCf>=8C+BO=16,ΛtanC=——=一=一.

CD164

21

故答案为：二或“

【点睛】

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，属于常见题型，正确画出图形、全面分类、熟练掌握基本知识是解答的

关键.

3月+6或

15、

22

【分析】由题意可得点尸在以。为圆心，逐为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点尸是两圆的交

点，分两种情况讨论，由勾股定理可求8P,AH的长，即可求点A到8P的距离.

【详解】V点P满足尸D=石，

二点P在以。为圆心，石为半径的圆上，

'；ZBPD=90o,

.∙.点尸在以Bo为直径的圆上,

.∙.如图，点尸是两圆的交点，

若点尸在上方，连接AP,过点A作A7/L3P,

YCD=4=BC,ZBCD=90o,

ΛBD=4√2,

•：NBPD=90。,

22

：.BP=yJBD-PD=3√3*

VZBPJD=90°=ZBAD,

.∙.点A,点5,点D,点尸四点共圆，

：.ZAPB=ZADB=45o,且AHLBP,

二ZHAP=NA尸”=45。，

：.AH=HP,

在RtAAaB中，AB2=AH2+BH2,

Λ16=AH2+(3√3-AH)2,

3Λ^+√5（不合题意），或AH=宏!二Yl

：.AH=

22

若点尸在CD的右侧，

同理可得AW=36±β

2

综上所述：AH=巫卫或莫H.

22

【点睛】

本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以O为圆心，逐为半径的圆和以50为直径的圆的交点是解决问题的

关键.

16、（0,6）

【分析】首先求出位似图形的位似中心坐标，然后即可得出点D的坐标.

【详解】连接BF交轴于P,如图所示：

∙.∙矩形EEGo和矩形ABeO,点8,尸的坐标分别为（τ,4）,（2,1）,

.∙.点C的坐标为（0,4）

VBC/7GF

.GPGF2↑

**PC^BC^4^2

ΛGP=1,PC=2,OP=3

.∙.点P即为其位似中心

ΛOD=6

.∙.点D坐标为（0,6）

故答案为：（0,6）.

【点睛】

此题主要考查位似图形的性质，熟练掌握，即可解题.

17、1

【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ,PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ,PQ的值，从而找出其最小值

求解.

【详解】解：如图，连接BP,

V点B和点D关于直线AC对称,

ΛQB=QD,

则BP就是DQ+PQ的最小值，

T正方形ABCD的边长是4,DP=I,

ΛCP=3,

22

ΛBP=λ∕4+3-5

ΛDQ+PQ的最小值是L

【点睛】

本题考查轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

18、√B.

【分析】连接OB,根据垂径定理和勾股定理即可求出OB,从而求出EC,再根据勾股定理即可求出BC,根据三线合

一即可求出BF,最后再利用勾股定理即可求出OF.

【详解】连接0B,

YAC是Θ0的直径，弦8O_LAC,

：・BE=ɪBD=6cm,

2

22222

在RtAOEB中，OB=OE+BE9即0呼=(OB-4)+6,

13

解得：OB=—,

2

ΛAC=2OA=2OB=13cm

贝UEC=AC-AE=9cm,

BC=√EC2+BE2=√92+62=3√13cm,

YOFJLBC,OB=OC

TC=当皿

(13丫2

'∙OF=∣OB2-BF2==y∕l3cm

yE9

故答案为旧.

【点睛】

此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.

三、解答题(共66分)

5yr

19、(1)Ai(-3,3),Bi(-2,1)；(2)——.

2

【解析】试题分析：(1)根据网格结构找出点A8绕点。逆时针旋转90。后的对应点4,Bl的位置，然后顺次连接即

可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；

(2)利用勾股定理列式求出08的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；

试题解析：(1)如图，4(—3,3),4(—2,1).

(2)由8(1,2)可得：OB=底

20、(1)①)，=一%-7；②a=』；(2)6；(3)m

的值为—2+√巨或4—2√7.

6

【分析】(1)①由相关函数的定义，将y=-x+7旋转变换可得相关函数为y=-x-7;

②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；

(2)两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；

(3)先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三

种情况分类讨论，获得对应的m的值.

【详解】解：(1)①根据相关函数的定义，

y=-x+7关于点P(0,0)旋转变换可得相关函数为y=7；

故答案为：y--X-~!∙,

②∙.∙y=ax2-2ax+a=a(x-l)2,

y=ax1-2ax+a关于点尸(0,0)的相关函数为y=-a(x+l)2.

∙.∙点A(5,-6)在二次函数y=-α(x+1)?的图象上，

.∙.-6=-α(5+l)2.

解得：a=y.

6

(2)•••丁=(无一2)2+6的顶点为(2,6)；

y=-(龙一10)2—6的顶点坐标为(1(),-6)；

∙.∙两个二次函数的顶点关于点P(m,0)成中心对称，

2+10,

:∙m=-------=6

2

故答案为：6；

(3)Vy=X2-6nιx+4m2=(x-3m)2-5m2,

.e.y=x2-6/nx+4m2关于点P(〃?,0)的相关函数为y=-(x+m)2+5m2.

①当τn≤m一1,即加、•!■时，当X=加一1时，y有最大值为2.

2

/.Yn-1+m)2+5m2=8

.∙.∕7¾=-2-√13(不符合题意，舍去)，π¾=-2+√B.

②当〃?一l<-m≤m+2,即T≤∕"<,时，当X=一加时，y有最大值为2.

2

.*.5m2=8・

.∙.ml=-∣√10,∕722=∣√10(都不符合题意，舍去).

③当一根〉加+2,即机<一1,当X=帆+2,)'有最大值为2.

-(m+2+m)2+5m2=8.

:.n∖=4—2Λ∕7,m2=4÷2Λ∕7(不符合题意，舍去).

综上，加的值为—2+/或4—2√7.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质问题以及中心对称，以及相关函数的定义，旋转的性质，中心对称图形的性质，(3)是本

题的难点，需要分三类进行讨论，研究函数的变化轨迹，是很好的一道压轴问题.

21、y=-3X2+12Λ-11

【分析】用顶点式表达式，把点(L-2)代入表达式求得a即可.

【详解】解：用顶点式表达式：y=a(X-2)2+1,把点(1,-2)代入表达式，解得：a=-3,

函数表达式为：y=-3(x-2)2+l=-3X2+12X-1.

【点睛】

考查的是求函数表达式，本题用顶点式表达式较为简便.

22、(1)丫=；χ2-x-4;(2)S=-(m-2)2+16,S的最大值为16；(3)点P的坐标为：(1,-1+屈)或(1,

-1-√10).

【分析】(I)根据交点式可求出抛物线的解析式；

(2)由S=SΔOBC+SΔOCD+SΔODA,即可求解；

(3)ZBPC=45o,则BC对应的圆心角为90。，可作aBCP的外接圆R,贝IJNBRC=90。，过点R作y轴的平行线交过

点C与X轴的平行线于点N、交X轴于点M,证明^BMRgZkRNC(AAS)可求出点R(1,-1),即点R在函数对

称轴上，即可求解.

【详解】解：(1);抛物线y=gχ2+bx+c与X轴交于A(4,0)、B(-2,0),

，抛物线的表达式为：y='(x-4)(x+2)=—X2-X-4；

22

(2)设点D(m,—m2-m-4),可求点C坐标为(0,・4),

2

∙*∙S=SΔOBC+SΔOCD+SΔODA

1_.1,1._1,

=—×2×4+-×4∕M+-×4[-(z-m^-m-4)]

2222

="(m-2)2+16,

当m=2时，S有最大值为16；

(3)ZBPC=45o,则BC对应的圆心角为90。，如图作圆R,则NBRC=90。,

圆R交函数对称轴为点P,过点R作y轴的平行线交过点C与X轴的平行线于点N、交X轴于点M1设点R(m,n).

•：ZBMR+ZMRB=90o,ZMRB+ZCRN=90o,

.∙.ZCRN=ZMBR,

ZBMR=ZRNC=90o,BR=RC,

Λ∆BMR^∆RNC(AAS),

ΛCN=RM,RN=BM,

即m+2=n+4,-n=m,

解得：m=Ln=-1,

即点R(L-1),即点R在函数对称轴上，

2

圆的半径为：λ∕(i+2)+ι=√iδ.

则点P的坐标为：(1,-ι+√IU)或(1,-1-√io).

【点睛】

本题考查的是二次函数与几何综合运用，涉及圆周角定理、二次函数解析式的求法、图形的面积计算等，其中(3),

要注意分类求解，避免遗漏，能灵活运用数形结合的思想是解题的关键，(3)的难点是作出辅助圆.

23、(l)R-d；(2)BD=ID,理由见解析；(3)见解析；(4)√5∙

【解析】(1)直接观察可得；

(2)由三角形内心的性质可得NBAD=NCAD,ZCBI=ZABI,由圆周角定理可得NDBC=NCAD,再根据三角形外角

的性质即可求得NBlD=NDBL继而可证得BD=ID；

⑶应用(1)⑵结论即可；

(4)直接代入结论进行计算即可.

【详解】(1)：0、I、N三点共线，

ΛOI+IN=ON,

ΛIN=ON-OI=R-d,

故答案为：R-d；