2023年河南省某中学数学高二第二学期期末试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过三点41,3),B(4,2),C(L—7)的圆交y轴于M,N两点，贝！||MN|=()

A.2#B.8C.4痴D.10

2.集合M={x|(g)-l},N={x|y=lg(x+2)},则McN等于()

A.[0,+oo)B.(-2,0]C.(-2,+oo)D.(-8,-2>[0,-Ko)

3.已知变量x与)'正相关，且由观测数据算得样本平均数[=3,亍=3.5,则由该观测的数据算得的线性回归方程可

能是()

A.y=0.4x+2.3B.y-lx—2.4

c.y=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4

4.已知函数/(x)Jnx+(x-f)J€R，若对任意的XG[1,2],.“X)＞恒成立,则实数的取值范围是()

A.(-oo,V2)B.|^-oo,|C.(-oo,3)D.(一°°制

5.随机变量X的分布列如下：

X-101

\_

Pab

3

若EX=g,则0X的值是()

1245

A.—B.-C.-D.一

9999

6.随机变量X的分布列如下表，其中。，b,c成等差数列，且c=[ab,

2

X246

Pabc

则P(X=2)=()

7.曲线y=d—x+2在点（0,7（0））处的切线方程为（）

A.y=2x+lB.y=2x-\C.y=-x+2D.y=-x-2

8.设x,>eR,且肛HO,贝!+［）［5+y）的最小值为（）

A.-9B.9C.10D.0

9.已知等式二-一二二।-二;二;+1二二+二，=f二+2）'+匚乂二+3-+二式二+方+二3（:+。+二％定义映射

二"二」.二.二1二，一•［二J二，一一.，贝!I-.7:=（）

A.」2a;B.coj,4,a］

C.i?'—D.f-i,0.2--

10.某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节,

则不同排法的种数为（）

A.24B.36C.42D.48

11.如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A，28+4^3B.36+4^3c-ZS+v^D-36-g

12.若向量”，〃满足同=网=2,〃与人的夹角为60，贝“a+耳等于()

A.242+6B.2GC.4D.12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在正三棱锥P—ABC中，PA=2,A5=l,记二面角P—M—C,A-PC-3的平面角依次为a,£,

则3sin2a-2cos/?=.

14.在棱长为2的正方体ABC。一ABC。中，E是棱8C的中点，则C到平面瓦的距离等于.

42

15.用数学归纳法证明1+2+3++〃2=2±±(〃>1),在第二步证明从〃=左到〃=攵+1成立时，左边增加的项

2

数是项.

16.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8,若

用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(12分)已知椭圆C:三+当=l(a>方>0)的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点

ab

分别为(0,1+百)、(0,1-73).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不经过点A的直线/与椭圆。交于P、Q两点，且AP-AQ=0,试探究直线/是否过定点？若过定点，求出该

定点的坐标，若不过定点，请说明理由.

V2V2

18.(12分)已知椭圆C；与+4=1(。>8>0)的左焦点尸(一2,0)左顶点4(-4,。).

a'b-

(I)求椭圆C的方程；

(II)已知“2,3),Q(2,—3)是椭圆上的两点，A,5是椭圆上位于直线两侧的动点.若NAPQ=NBPQ,试

问直线A8的斜率是否为定值？请说明理由.

1,,

19.(12分)已知函数/(月=3%3—(4+1)炉+4依+2,3为实数).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若/(x)>-(a+1*+2xlnx+2在［l,e］上恒成立，求a的范围；

x=-1------1

2

20.(12分)在直角坐标系xQy中，直线的参数方程为:(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为

『2+与

［2

极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为pcos2e=sine.

(1)求直线的普通方程及曲线。的直角坐标方程;

(2)若直线与曲线。交于A,5两点，P(-l,2),求

113

21.(12分)二次函数f(x)=ax2+bx+c满足/(--+%)=/(---幻,且/(x)<2x解集为(-1,-)

442

(1)求f(x)的解析式；

⑵设g(x)=R)，若g(x)在xe[-1,2]上的最小值为-4,求机的值.

22.(10分)如图，四边形SA8C中，ABSC,AB±BC,SC=2AB=2BC,。为边SC的中点，现将SAD

沿折起到达尸4。的位置(折起后点S记为P).

(1)求证：AD1PC；

27r

(2)若“为PO中点，当-时，求二面角A-MB—C的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

3—212+7

由已知得3"=丁7=一二，k=--=-3,所以3/CB=T，所以即AABC为直角三角形，其外接

1—43CB4—1

AC

圆圆心为AC中点(1,一2),半径为长为二-=5,所以外接圆方程为(x—i)2+(y+2)2=25,令％=0,得

y=±2痴一2,所以|MN|=4«,故选C.

考点：圆的方程.

2、B

【解析】

X

I>口。

试题分析：集合>1,M={x|x<0},

2>

N={x|y=lg(x+2)}={x|x>-2},.,.AcB={x|xW0}c{x|x>-2}={x|-2<xW0},故选B.

考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.

3、A

【解析】

试题分析：因为与；正相关，排除选项c、D,又因为线性回归方程恒过样本点的中心|一【、5,故排除选项B；故

选A.

考点：线性回归直线.

4、B

【解析】

对任意的xe[l,2],/'(x)・x+/(x)>0恒成立o对任意的xe[l,2],空二|"1>0恒成立，=对任意的xe[l,2}

£！

2%2_2a+1>0恒成立，参变分离得到,<x+2恒成立，再根据对勾函数的性质求出1+2在％目1，2]上的最小值即可.

XX

【详解】

解:〃力=电当H/eR

r(x)「一

二对任意的xe[l,2],f(x)>-x»f'(x),即/(x)+x•/(x)>0恒成立

二对任意的xe[1,2],江二生主!>o恒成立，

X

二对任意的xe[l,2],2f_2rx+l>0恒成立，

£

.+恒成立，

2x2xx

1a

又由对勾函数的性质可知g(x)=x+2在xe[l，2]上单调递增，，=

X

.」<1，即十斗

故选：B.

【点睛】

本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题.

5、D

【解析】

2111

由题设可得。+匕=一/一。=一=>Q=一2=一,

3362

所以由数学期望的计算公式可得E（X2）=0xg+lxg=g（E（X））2=g,

所以由随机变量的方差公式可得

95

2

DX=E(X)-(E(X))-=-,应选答案D。

9

6、A

【解析】

根据a,b,c成等差数列，a+b+c=l,。=；仍可解得趾,。，进而求出P（X=2）

【详解】

4

a=—

2h=a+c7

,1,14

由(c=一得.则尸（X=2）=1,故选A.

2

Q+/7+C=12

21

【点睛】

本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出.

7,C

【解析】

求导，把x=0分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程.

【详解】

y=x3-x+2=y'=3x2-1

将x=0代入导函数方程，得到％=-1

将x=0代入曲线方程，得到切点为：（0,2）

切线方程为：y=-x+2

故答案选C

【点睛】

本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.

8、B

【解析】

利用柯西不等式得出最小值.

【详解】

4112

(f+-)(j2+—)>(x・一+——y)2=1.

yx2xy

2「

当且仅当孙=一即盯=±拒时取等号.

孙

故选：B.

【点睛】

本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题.

9、C

【解析】

试题分析：

本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定

不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简.解：

比较等式两边x3的系数，得4=4+b”则bi=L故排除A,D；再比较等式两边的常数项，有I=l+bi+b2+b3+b4,

.,.bi+b2+b3+b4=l.故排除B故应选C

考点：二项式定理

点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型.

10、B

【解析】

先用捆绑法将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；将这个整体与英语，物理全排列，分析排好后的空位数目，再

在空位中安排数学，最后由分步计数原理计算可得.

【详解】

由题得语文和化学相邻有8种顺序；将语文和化学看成整体与英语物理全排列有用种顺序，排好后有4个空位，数

学不在第一节有3个空位可选，则不同的排课法的种数是2x6x3=36,故选B.

【点睛】

本题考查分步计数原理，属于典型题.

11、C

【解析】

由三视图可知，正方体的棱长为2,直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3,由此可求得几何体的表

面积.

【详解】

由三视图可知，正方体的棱长为2,直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3,故该几何体的表面积

为

S=2x2xS'4-zx2x2*4--x2x3x2+zx2vTx+3s)—0^)’

ZiZ、、/

=28+㈤

【点睛】

本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能

力.

12、B

【解析】

将卜+q平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.

【详解】

因为k+〃1=忖2+2,小卜0$60。+忖2=4+4+4=12,所以卜+0=26,

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算"+)对这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

作POL平面4BC,连接CO延长交A3于点O,连接PD可得。为A3的中点，CDLAB,于是二面角

「一•一。的平面角为/电)0=£.作4£，P。，垂足为E点，连接8E,根据可得BEJ.PC.可

得NAE8为A-PC-B的平面角夕，利用余弦定理即可得出.

【详解】

如图所示，

p

作PO,平面ABC,连接CO延长交AB于点D,连接PD.

则D为AB的中点，CD±AB,：.AB±PD.

，二面角。一48-。的平面角为/~00=。.

r)、~VjZrn&nn1rn百

rPu=.\Z—(—)=，CD=，OD=-CD=，

V22236

I-2c2V33OP21u

:.OP=《PD--OD?=*—.Asina=—.

3PD3V5

作AELPC,垂足为E点，连接BE,

l222-221

.cos/PCA=----+----------=-

2x1x24

AE=ACsinZPCA=\x

cAE2+BE2-AB27

在AEB中,cosp=-----------------------=—

2xAExBE15

2I17

3sin2a-2cos£=3x(yJ-)2-2x—=2.

故答案为L

【点睛】

本题主要考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，属于难题.

4

14、-

3

【解析】

由题意画出正方体ABC。一48GR，求出片的面积，利用等体积法求解G到平面42E的距离.

【详解】

由题意，画出正方体AB8—44G。如图所示,

AB=2,点E是8c中点，所以区E=l,

在BQiE中,旦£=石，40=2vLRE“22+（可=3,

9+5-8

所以cos/gED]=

2x3x75-5

sinZ5,ED,=7l-cos2=j一9=子

所以S8a£=；B|E〃EsinNB|EA哈3’

设G到平面BQ|E的距离为〃，

由％-鼻DC=%-鼻股，得§XQX2x2x2=gx3/z,

4

解得，h=-.

3

4

故答案为：—

【点睛】

本题主要考查求点到平面距离的方法、棱锥体积公式、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查等体积法的应用和学

生的转化和计算能力，属于中档题.

15、24+1

【解析】

42

根据等式1+2+3++〃2=巳产（”>1）时，考虑“=攵和〃=%+1时，等式左边的项，再把〃=攵+1时等式的左

端减去〃=攵时等式的左端，即可得到答案.

【详解】

解：当〃=攵时，等式左端=1+2++/,

当〃=%+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）++（左+1）二

所以增加的项数为：（左+1）2-/=2%+1

即增加了2Z+1项.

故答案为：2Z+1.

【点睛】

此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把〃=攵+1时等式的左端减去〃=攵时等

式的左端，属于基础题.

16、2

【解析】

根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.

【详解】

城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8.

本市共有城市数24,

用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，

每个个体被抽到的概率是—

244

丙组中对应的城市数8,

则丙组中应抽取的城市数为‘X8=2,故答案为2.

4

【点睛】

本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清

晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

r21

17、（1）—+/=1（2）直线/过定点（0,-一）

3-2

【解析】

（1）根据圆A的圆心和半径写出圆的标准方程，令x=0求得圆与）’轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进

而求得椭圆的标准方程.（1）根据APLAQ,利用点斜式设出直线PAQA的方程，并分别代入椭圆方程解出RQ两

点的坐标，由此求得直线/的方程，由此求得定点的坐标为（o,一g）.

【详解】

解：（1）依题意知点A的坐标为（0力），则以点A圆心，以。为半径的圆的方程为:

x2+(y-Z?)2=cr,

令x=0得y=6±a,由圆A与y轴的交点分别为（0,1+⑹、

A+a=1+y/3

可得〈解得人=l,a=>/3,

b—a=\—G

故所求椭圆C的方程为—+/=1.

3■

（2）由APAQ=0得APJ.AQ,可知融的斜率存在且不为0,

设直线J：y=丘+1-①则做：丁=一1犬+1-②

K

将①代入椭圆方程并整理得（1+3女2）+6日=0,可得与=一,

E2,

则“KT'

类似地可得迎=悬,坨=1-岛，

K十«3KIJ

2

由直线方程的两点式可得：直线/的方程为y=±k--1-X--1,

4k2

即直线/过定点，该定点的坐标为

【点睛】

本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问

题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.

直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.

22

rv

18、（I）—2-=1（II）答案见解析.

16+12；

【解析】

分析：（I）根据条件依次求得。，c和人，从而可得方程；

（H）当NAPQ=NBPQ,则PA、PB的斜率之和为（），设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,PA的直线方程为

y-3=k(x-2),PB的直线方程为y-9=-k(x-2),由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值;.

详解：(I)由题意可得，a=4,c=2由/=6+。2,得〃=42-22=12

22

所以椭圆C的方程为工+匕=1.

1612

(H)当NAPQ=N8PQ时，AP,族的斜率之和为。，设直线Q4的斜率为左，则直线P8的斜率为—〃，设

A（W，yJ3（*2，%）,的方程为4-3=：（X-2）.

卜-3=攵（》-2）

联立《尤22消），得

—+—=1

I1612

（3+4后2）%2+8（3及一%2）%+4（4k2+9—12&）-48=0.

8k（2k-3）

所以2+西

3+4k2

8M2攵+3）

同理2+々=

3+4公

16^—12—48A

所以玉+x%-x

23+4k223+4k2

女(玉+工2)—4左1

所以&B=&

2

X2-Xx玉一尤2

所以A8的斜率为定值!

2

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用

。，仇c,e的关系，确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础，通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组，应用一

元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数''的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变

形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

19、(I)见解析；CD)(-In3--,+?)

44

【解析】

(I)求得函数的导数/心：)=(尤-2)(x-2a)令/(x)=0,解得x=2或2a,根据根的大小三种情况分类讨论，即

可求解.

(II)依题意有;X)-3+l)f+4以+2>-(a+1)炉+2xlnx+2在［l,e］上的恒成立，

1,11,I

转化为a>-五/+耳］於在［l,e］上的恒成立，设g(x)=--x2+-］nx,xe［l,e］,利用导数求得函数g(x)的单

调性与最大值，即可求解.

【详解】

(I)由题意，函数/(x)=§犬3-(a+l)x_+4ax+2,

则/4尤)=x2-2(a+l)x+4a=(x-2)(%-2a)

令/'(x)=0,解得x=2或2a,

①当a=l时，有2。=2,有/4x)=(x-2尸？0,故.f(x)在R上单调递增；

②当。<1时，有2a<2,7(x)，r(x)随x的变化情况如下表：

X(-00,2(7)2a(2a,2)2(2,+8)

g'(x)+0一0+

g(x)z极大X极小z

由上表可知/(x)在(—,2a)和(2,+00)上单调递增，在(2a,2)上单调递减；

③同②当a>l时，有2a>2,

有/(x)在(-0Q,2)和(2a,+8)上单调递增，在(2,2a)上单调递减；

综上，当。>1时，f(x)在(F,2)和(2a,田)上单调递增，在(2,2。)上单调递减；

当。=1时，f(x)在R上单调递增；

当"1时，Ax)在(YO,2”)和(2,+8)上单调递增，在(2a,2)上单调递减.

(II)依题意有;V-(。+l)f+4依+2>-(a+1)/+2xlnx+2在［l,e］上的恒成立,

即4ax>-工d+2xlnx在［l,e］上的恒成立，

3

故a>--!-/+_1］11》在［1,句上的恒成立，

122

11

设g(x)=--X02+-Inx,xefl,e］,则有。>8(初皿…(*)

易得=-,九+」—二——----,令g'(x)=°,有—f+3=。，x=V3,

62x6x

g(x),g'(x)随X的变化情况如下表:

X1(1,6)V3(瓜e)e

g'(x)+0—

g(x)/极大

2

由上表可知，g(x)11m=g(百)=-*?(V3)；ln百="ln3-；

又由(*)式可知a>g(x)max=；ln3-5,

故”的范围为(,ln3-!，+?).

44

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算

能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，

从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

20、(1)x+y-l=0,y=/；(2)2.

【解析】

(1)由直线的参数方程，消去参数，即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标的转化公式，可将0cos2。=sine化

为直角坐标方程；

(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再设A,8两点对应的参数为:石，根据韦达定理，即可求出结果.

【详解】

(1)直线的普通方程为x+y-1=0

由夕cos2e=sin。，得p2cos26=2sin6,

则y=Y,故曲线C的直角坐标方程为y=f.

[।夜，

x=-l------1

(2)将《，代人y=尤2,得产+"—2=0,

y=2+且

I2

设A,3两点对应的参数为。出，

则草2=一2,

故|以|—|尸3|=旧|=2.

【点睛】

本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

21、(1)f(x)-2x?+x—3(2)m=1?-x/2

【解析】

(1)直接根据两个已知条件得到关于a,b,c的方程，解方程组即得了(力的解析式；(2)对m分类讨论，利用二次函数

的图像和性质求m的值