山东省潍坊市青州第三中学高二数学理月考试题含解析

山东省潍坊市青州第三中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数） A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e]参考答案：B【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围． 【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根， ∴y=f（x）与y=ax有2个交点， 又∵a表示直线y=ax的斜率， ∴y′=， 设切点为（x0，y0），k=， ∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0）， 而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=， ∴直线l1的斜率为， 又∵直线l2与y=x+1平行， ∴直线l2的斜率为， ∴实数a的取值范围是[，）． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题． 2.凸边形有条对角线，则凸边形的对角线的条数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A． B． C． D．4参考答案：D【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，∴4a+6b=12，即2a+3b=6，∴=（）×=（12+）≥4当且仅当时，的最小值为4故选D．【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，确定a，b的关系是关键．4.已知集合，，则

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略5.下列不等式证明过程正确的是（

）A．若,则

B．若，，则C．若，则

D．若，则参考答案：D对于A：a，b∈R，不满足条件，对于B，x，y∈R+，lgx，lgy与0的关系无法确定，对于C：x为负实数，则，故错误，对于D：正确，故选D.

6.直线的参数方程是（

）A、（t为参数）

B、（t为参数）C、

（t为参数）

D、（t为参数）参考答案：C7.已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为

.参考答案：18略8.已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（

）A． B． C． D．参考答案：D9.如果命题“”为假命题，则（

）

A．均为假命题

B．中至少有一个真命题C．均为真命题

D．中只有一个真命题参考答案：D10.已知，则、、的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将编号为1，2，3，4，5的5个小球，放入三个不同的盒子，其中两个盒子各有2个球，另一个盒子有1个球，则不同的放球方案有

▲

种（用数字作答）。参考答案：9012.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当BE⊥PC时，的值为．参考答案：

【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当BE⊥PC时，的值为．【解答】解：取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（，2，0），C（0，，0），设E（a，b，c），=λ（0≤λ≤1），则，即（a，b﹣，c）=λ（，0），∴，∴E（），∴=（），=（﹣，，0），∵BE⊥PC，∴=﹣2λ+﹣（2﹣）2λ=0，解得．∴当BE⊥PC时，的值为．故答案为：．13.已知函数，其导函数为，设，则

．参考答案：-9900．略14.已知函数，则***．参考答案：略15.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为

．参考答案：，，，即，圆心为，点的直角坐标为，.

16.已知函数若，则的取值范围是

参考答案：

略17.经过点P（2，），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】在直角坐标系中，求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程．【解答】解：在直角坐标系中，过点P（2，），且垂直于极轴的直线x=，其极坐标方程为ρcosθ=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．（Ⅰ）求证：∥面；（Ⅱ）求二面角——的余弦值．参考答案：解：（Ⅰ）在中、分别是、的中点∴∥

…………………3分又∵平面，平面∴∥平面

………5分（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，

………7分平面的一个法向量…9分设平面的一个法向量为则即取.

……………略19.(本大题满分8分)巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查,得到了如下列联表:

男生女生合计

收看

10

不收看

8

合计

30已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是.(I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关?(II)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X,求X的分布列和均值.(参考公式：，)

0.1000.0500.0102.7063.8416.635

参考答案：(Ⅰ)

男生女生合计收看10616不收看6814合计161430由已知数据得:所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关.…………4分(Ⅱ)的可能取值为，

……6分所以的分布列为:012的均值为:

…………8分20.(本小题满分12分)已知函已数f(x)=

，g(x)＝

(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出？(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合参考答案：(1)f(x)＝cos2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)．所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可．(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＋＝cos(2x＋)＋，当2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)时，h(x)取得最小值－＋.h(x)取得最小值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．21.如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．参考答案：【考点】LN：异面直线的判定．【分析】假设b与c共面，设b与c确定的平面为γ，推导出a∥γ，从而a∥b，与a∩b=A矛盾，由此能证明b与c是异面直线．【解答】证明：（利用反证法）假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α=b，γ∩β=c．∵a∥c，a?γ，∴a∥γ．又∵a?α，且α∩γ=b，∴a∥b，这与a∩b=A矛盾．因此b与c不可能共面，故b与c是异面直线．22.设a是实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不小于． 参考答案：【考点】反证法与放缩法；二次函数的性质． 【专题】证明题；反证法． 【分析】因“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，故从反面进行证明．【解答】证明：∵f（x）=x2