浙江省杭州市江心岛中学高二数学理下学期期末试卷含解析

浙江省杭州市江心岛中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）Ａ．48

Ｂ．36

Ｃ．28

Ｄ．20参考答案：C略2.将多项式分解因式得，则（）A.20 B.15 C.10 D.0参考答案：D【分析】将展开，观察系数，对应相乘，相加得到答案.【详解】多项式，则，故选：D．【点睛】本题考查了二项式定理，属于简单题目3.如，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()

A．6

B．9

C．12

D．18参考答案：B4.设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（）A．a2+b2 B．2ab C．a D．参考答案：A【考点】不等式比较大小．【分析】根据不等式的性质和作差法即可比较大小【解答】解：∵0＜a＜b且a+b=1∴∴2b＞1∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0∴a2+b2＞2ab∴最大的一个数为a2+b2故选A5.设a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（）条件．A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则成立，即充分性成立，若a=﹣1，b=1，满足，但a＞b＞0不成立，即必要性不成立，故“a＞b＞0”是“”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．6.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为A.－1

B.0

C.

D.1参考答案：D略7.如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 A．

B．

C．

D．参考答案：C8.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③

B．①④

C．②③

D．②④参考答案：B略9.在各项均为正数的等比数列{an}中，，，则的值是（

）A．1

B．2

C.

D．4参考答案：D由题意，得到解得：，即，∴故选：D

10.在△ABC中，若，则△ABC的面积为(

)A． B． C．5 D．参考答案：A【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】依题意可求得cosC，从而可求得sinC，利用三角形的面积公式即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，a=10，b=8，cos（A+B）=﹣cosC=，∴cosC=﹣，又C∈（0，π），∴sinC==，∴S△ABC=absinC=×10×8×=．故选A．【点评】本题考查正弦定理，考查三角函数的诱导公式，考查利用正弦定理求解三角形面积的方法，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，设，若存在不相等的实数a，b同时满足方程和，则实数m的取值范围为______．参考答案：【分析】根据奇偶性定义求得为奇函数，从而可得且，从而可将整理为：，通过求解函数的值域可得到的取值范围.【详解】

为上的奇函数又且

且即：令，则在上单调递增

又

本题正确结果：【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到奇偶性的判定、单调性的应用，关键是能够将问题转化为的值域的求解问题；易错点是在求解的取值范围时，忽略的条件，错误求解为，造成增根.

12.甲、乙两人在次测评中的成绩由下面茎叶图表示，其中有一个数字无法看清，现用字母代替，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

.

甲

乙

8885109

参考答案：13.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．参考答案：(－2,15)14.若圆与圆内切，则的值为_______；参考答案：15.若直线与曲线相切,则=

．参考答案：16.设平面的法向量为(1,－2,2)，平面的法向量为，若∥，则的值为

▲

参考答案：－4设平面的法向量，平面的法向量，因为∥，所以，所以存在实数，使得，所以有，解得，故答案为.

17.已知函数在时有极值0，则=

，

参考答案：=2，9略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BB1和CD的中点．（Ⅰ）求AE与A1F所成角的大小；（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，利用向量方法求AE与A1F所成角的大小；（Ⅱ）证明∠EAB就是AE与平面ABCD所成角，即可求AE与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）如图，建立坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），E（1，0，），A1（0，0，1），F（，1，0）=（1，0，），=（，1，﹣1）∴=0，所以AE与A1F所成角为90°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴BB1⊥平面ABCD∴∠EAB就是AE与平面ABCD所成角，又E是BB1中点，在直角三角形EBA中，tan∠EAB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，所以，//平面.

（2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，，而，所以平面，又平面，所以.

（3）存在满足条件的.

依题意，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，所，易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，则，又二面角的大小为，所以，解得.故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.略20.(本小题满分14分)已知函数，其中是自然对数的底数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的单调区间；（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.参考答案：（1），，，

………………1分曲线在点处的切线斜率为.

…………2分又，所求切线方程为，即．……3分（2），①若，当或时，；当时，.的单调递减区间为，；单调递增区间为.

…5分②若，，的单调递减区间为.…6分③若，当或时，；当时，.

的单调递减区间为，；单调递增区间为.

…8分（3）当时，由（2）③知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，

在处取得极小值，在处取得极大值.

……………10分

由，得.

当或时，；当时，.

在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

故在处取得极大值，在处取得极小值.

…12分

函数与函数的图象有3个不同的交点，

，即.

.…………14分21.某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3 （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值． 参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；函数最值的应用． 【专题】计算题；应用题． 【分析】（Ⅰ）根据每日的利润L=S﹣C建立函数关系，然后根据当x=2时，L=3可求出k的值； （Ⅱ）当0＜x＜6时，利用基本不等式求出函数的最大值，当x≥6时利用函数单调性求出函数的最大值，比较两最大值即可得到所求． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：L= 因为x=2时，L=3 所以3=2×2++2 所以k=18 （Ⅱ）当0＜x＜6时，L=2x++2 所以L=2（x﹣8）++18=﹣[2（8﹣x）+]+18≤﹣2+18=6 当且仅当2（8﹣x）=即x=5时取等号 当x≥6时，L=11﹣x≤5 所以当x=5时，L取得最大值6 所以当日产量为5吨时，毎日的利润可以达到最大值6． 【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题． 22.已知函数图象上的点处的切线方程为．（1）若函数在时有极值，求的表达式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．参考答案：（1）（2）试题分析：（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1，可得f′（1）=-3，再根据f（1）=-1，又由f′（-2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．（2）由题意函数f（x）在区间上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间大于或等于0，从而求出b的范围试题解析：，┉…………1分因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，┉…………2分又得．┉…………3分（1）因为函数在时有极值，所以，┉4分解得，