2025-2026学年七年级数学下册 第八章 整式乘法与因式分解 单元检测拔尖卷 沪科版

2025-2026学年七年级数学下册第八章整式乘法与因式分解单元检测拔尖卷沪科版一、单项选择题（每小题5分，满分40分）1．下列计算正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．2．近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚1nm（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为0.00000000034m．数据A．0.34×10−8 B．34×10−93．下列选项中，因式分解正确的是（）A．a2−4ab+4bC．a2+2a+1=(a+1)4．人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式x3−4x因式分解后，取自己的年龄14作为A．101214 B．101410 C．141212 D．1214165．下列各式可以利用平方差公式计算的是（）A．(4p+q)(4q−p) B．(m+1)(−m−1)C．(−a+b)(a−b) D．(x+2y)(−x+2y)6．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a>b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（）A．a+b=9 B．a−b=3 C．a2+b7．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，当n−m=3时，A．6 B．15 C．18 D．308．若3a=4，4b=5，A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，满分20分）9．因式分解(p−5)(p+1)+9=．10．若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为11．若a−b=3，ab=2，则a3b−2a12．在把x，y的值代入(x+y)(x−3y)−my(nx−y)（m，n均为常数）计算时，小明把y的值看错了，其结果等于9；小红把正确的x，y的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把y的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，m+n=．三、解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）13．（8分）先化简，再求值：(3x+y)2+y(x−3y)−(3x−y)(3x+y)，其中x=−2，14．（10分）定义：规定i的平方等于−1，即i2=−1，则i叫做虚数单位，形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数1−2i的实部是1，虚部是（1）复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似．如：①(2+i)+(3−4i)=(2+3)+(1−4)i=5−3i；②(3+i)i=3i+i填空：①(1−2i)+(2+i)=；②(2+i)(3−i)=；（2）若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：1+2i的共轭复数为1−2i．若a+bi是(2+i)(3−i)的共轭复数，则a=，b=，(b−a)2=（3）已知(m+i)(n+i)=2−3i，其中m,n为实数，求15．（10分）（1）计算：(x+2y)(y−2)+(2y−4x)(y+1)；（2）分解因式：(a16．（10分）已知a和b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义a∗b=a2+2b（1）2∗3的值为；（2）若x∗(kx+2)是一个完全平方式，则k=；（3）已知x−y=1，且(x−3y)∗(3xy−4y2)=1317．（10分）在学习完全平方公式：(a±b)2（1）若ab=16，a+b=10，求a2（2）阅读以下解法，并解决相应问题．“若y满足(40−y)(y−20)=50，求(40−y)2解：设40−y=a，y−20=b，则a+b=(40−y)+(y−20)=20，ab=(40−y)(y−20)=50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足(30−x)(x−22)=6，则(30−x)2+(x−22)2②若x满足(2x+3)2+(2x−1)③如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，E，F分别是BC，CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为24，求图中阴影部分的面积．18．（12分）阅读材料：已知多项式3x3−x2解法：设3x3−由于上式为恒等式，为方便计算取x=−1，则3×(−1)3−根据上述材料，解决下列问题：（1）已知多项式x4+mx2+nx−16有因式(x−1)和(x−2)，则m=（2）已知x2+2x+1是多项式x3−x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A：a2B：(aC：(abD：(a+b故答案为：D.

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：0.000000000034=3.4×1故选：B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽3．【答案】C【解析】【解答】解：A：a2B：a2C：a2D：−2a故答案为：C.

【分析】根据完全平方公式和平方差公式、提取公因式的法则逐项判断解答即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：x=x=x(x-2)(x+2)，当x=14时，x-2=14-2=12，x+2=14+2=16，所以组成的密码可以是121416.故选：D.【分析】先将x35．【答案】D【解析】【解答】解：A、(4p+q)(4q-p)，无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意；B、(m+1)(-m-1)=-(m+1)(m+1)不可用平方差公式计算，不符合题意；C、(-a+b)(a-b)=-(a-b)(a-b)不可用平方差公式计算，不符合题意；D、(x+2y)(-x+2y)=(2y+x)(2y-x)可用平方差公式计算，符合题意.故选：D.【分析】根据平方差公式的形式为(a+b)(a-b)逐一判断即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：由条件可知a+b2=81,∴a+b=9,a−b=3,解得a=6，b=3，∴ab=6×3=18,a故选：D.【分析】用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：图①中阴影部分面积S1=m(n-6)+(m-6)(6-5)=mn-6m+m-6=mn-5m-6，图②中阴影部分面积S2=n(m-6)+(n-6)(6-5)=mn-6n+n-6=mn-5n-6，∴∴当n-m=3时，S1故选：B.【分析】利用图形得出S1=mn−5m−6,S8．【答案】B【解析】【解答】解：∵3a=4，4b=5，5c=9，

∴9=5c9．【答案】(【解析】【解答】解：(p−5)(p+1)+9=p2−4p+4=(p−2)2，

10．【答案】4【解析】【解答】解：设另一个因式为x+m，则(x+1)(x+m)===那么m=3，b=m+1=3+1=4，

故答案为：4.【分析】设另一个因式为x+m，计算(x+1)(x+m)后，根据对应系数相等即可求得答案.11．【答案】18【解析】【解答】解：a3b−2a2b12．【答案】7【解析】【解答】(x+y)(x-3y)-my(nx-y)==因为不论y为何值，结果都是9，所以-2-mn=0，-3+m=0，所以m=3，n=−∴m+n=3+(−2故答案为：73【分析】先展开合并，根据题意得到含有y的项的系数为0求出x和y的值，然后代入计算解答即可.13．【答案】解：(3x+y)=9=(9=7xy−y2；

当x=−2，y=3时，原式【解析】【分析】先根据完全平方公式、单项式乘多项式法则以及平方差公式对原式进行化简，再将x、y的值代入化简后的式子求值.14．【答案】（1）3−i；7+i（2）7；-1；64（3）解：∵(m+i)(n+i)=mn+mi+ni+i又(m+i)(n+i)=2−3i，∴mn−1=2，m+n=−3，∴mn=3，∴m2【解析】【解答】解：（1）①(1−2i)+(2+i)=1−2i+2+i=3−i；

②(2+i)(3−i)=6−2i+3i+1=7+i．

故答案为：3−i，7+i；(2)∵(2+i)(3−i)=7+i，a+bi是(2+i)(3−i)的共轭复数，∴a+bi=7−i，即a=7，b=−1，

∴(b−a)2故答案为：7；-1；64；

【分析】（1）根据复数加减法和乘法运算则逐一计算解答即可；（2）先计算出(2+i)(3-i)的结果，再根据共轭复数的定义求出a、b的值，最后代入计算即可；（3）先将((m+i)(n+i)展开，根据复数相等的条件得到mn与m+n的值，再运用完全平方公式的变形解答即可.15．【答案】（1）解：(x+2y)(y−2)+(2y−4x)(y+1)=(xy−2x+2=xy−2x+2y2−4y+2（2）解：(==(a2−4a+4)(【解析】【分析】(1)用多项式乘以多项式的法则把多项式各部分展开，再去括号、合并同类项；

(2)先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式.16．【答案】（1）10（2）±2（3）解：∵a∗b=∴(x−3y)∗(3xy−4y∵x−y=1，∴(x−y)2=x【解析】【解答】解：（1）∵a∗b=a∴2∗3=2故答案为：10；（2）∵a∗b=∴x∗(kx+2)=x∵x∗(kx+2)是一个完全平方式，∴x∴2k=±4，∴k=±2，

故答案为：±2；【分析】(1)根据题目中给出的定义代入计算即可；(2)根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可；(3)先根据题目中给出的定义得到x2+y17．【答案】（1）解：∵ab=16，a+b=10，∴a==1=100−32

=68；（2）解：①52；②设s=2x+3，t=2x−1，∴s2+t∴−2st=(s−t)∴2st=60，∴2(2x+3)⋅(2x−1)=60；③由题意得S阴影设8−x=a，4−x=b，则S阴影∴a−b=8−x−(4−x)=8−x−4+x=4，∵(8−x)⋅(4−x)=ab=24，∴a2+b2=【解析】【解答】解：（2）①设30−x=m,x−22=n，则mn=6，(30−x)====52，

故答案为：52；【分析】(1)根据已知条件和完全平方公式进行计算即可；(2)①先求出((30-x)+(x-22)，再利用完全平方公式求出答案即可；②设s=2x+3，t=