高职应用数学（工科类和经管类专业）全套教学课件

应第1章基础知识用数学高职全套可编辑PPT课件基础知识极限与连续一元函数微分学导数的应用一元函数的积分学及其应用多元函数的微积分初步微分方程无穷级数1.代数基础知识2.函数的概念3.工程技术中函数的建立本章内容4.经济函数的建立5.初识数学软件MATLAB及绘图1.1.代数基础知识1.1.1指数及其运算1.1.2对数及其运算1.1.3方程1.1.4不等式1.1.1指数及其运算1．整数指数幂整数指数幂的意义及运算法则，即（1）正整数指数幂：(n为正整数)。（2）零指数幂：。（3）负整数指数幂：(，n为正整数)。（4）整数指数幂的运算法则：(，m，n为整数)2．分数指数幂1）n次根式（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根可以记作。（2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用和表示，其中称为a的n次算术根。负数没有偶次方根。（3）0的n次方根是0，记作。一般地，如果且，则称x为a的n次方根。2）分数指数幂为了实际需要，特规定：（1）（2）（3）整数指数幂的运算法则对于有理数指数幂也同样适用。前提是必须使运算法则中出现的每一个有理数指数幂都有意义。即当，p，q

为有理数时，有例1计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）。（1）解

（2）（3）（4）1.1.2对数及其运算1．对数的概念整数指数幂的意义及运算法则，即如果，那么b称为以a为底N的对数，记作其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数。通常，我们称形如的等式为指数式，称形如的等式为对数式。由对数的定义可知，当时，对数具有如下基本性质：（1）零和负数没有对数，即；（2），即1的对数为0；（3），即底的对数为12．积、商、幂的对数设，则因为所以当时，对数有如下运算法则：例2计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）。（1）解

（2）（3）（4）1.1.3方程1．直线方程如图1-1所示，已知直线l经过点，且斜率为k。设点为直线l上不同于点P0的任意一点，由斜率公式可得1）直线的点斜式方程图1-1整理得由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程。如图1-2所示，设直线l与x轴交于点，与y轴交于点，则a称为直线l在x轴上的截距（或横截距）；b称为直线l在y轴上的截距（或纵截距）。2）直线的斜截式方程即上述方程是由直线的斜率和在y轴上的截距确定的，所以称为直线的斜截式方程。图1-2设直线l与y轴的交点为，且直线l的斜率为k，则直线l的方程为例3某直线过点，且在y轴上的截距为-2。试写出该直线的方程。解

因为直线在y轴上的截距为-2，即过点，又因直线过点，所以直线的

斜率为故直线的方程为我们把形如（A，B不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程。3）直线的一般式方程例4将方程化为直线的一般式方程，并分别求出该直线在x轴和y轴上的截距。解

由可得直线的一般式方程为在一般式方程中，令，则，故直线在x轴上的截距为；令，则，故直线在y轴上的截距为-5。例5已知直线l经过点，斜率为-3，求直线l点斜式方程、斜截式方程和一般式方程。解

因直线l经过点，斜率为-3，则其点斜式方程为将上述方程变形后可得直线的斜截式方程将斜截式方程移项后可得直线的一般式方程2．一元二次方程1）公式法当时，方程的实数根可写为一般地，式子称为一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即。的形式，这个式子称为一元二次方程的求根公式。例6用公式法解下列方程：（1）；（2）。（1）解

方程有两个不等的实数根：即（2）方程有两个不等的实数根：2）因式分解法根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即引例根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为此方程的左边可以因式分解，得所以所以，方程的两个根为这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。或这两个根中，表示物体约在2.04s时落回地面，而表示物体被上抛或离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。例7解下列方程：（1）；（2）。解

于是得（1）因式分解，得（2）移项，合并同类项，得因式分解，得于是得1.1.4不等式1．不等式的概念及基本性质用不等号（）表示不等关系的式子称为不等式。性质1（传递性）如果，则。性质2（加法性质）如果，则。性质3（乘法性质）如果，则；如果，

则。不等式具有三条基本性质：例8某工人要在规定的时间内加工400个零件，如果他每小时加工50个便可按时完成任务。但当他加工3个小时后，因有事停工了50分钟，而后继续加工零件，问为了能够按时或提前完成任务，该工人在以后的时间内平均每小时至少要加工多少个零件？解

设该工人在以后的时间内平均每小时至少要加工个零件，根据题意得2．含有绝对值的不等式对于任意实数x，都有，并且1）或型不等式的几何意义为：数轴上表示实数x的点到原点O的距离。由绝对值的几何意义可知，不等式表示的是数轴上到原点的距离小于3的所有点的集合，如图1-5（a）所示；不等式表示的是数轴上到原点的距离大于3的所有点的集合，如图1-5（b）所示。（a）

（b）

图1-5由图1-5可知，不等式的解集为；不等式的解集为

。一般地，不等式的解集为；不等式的解集是

。例9解下列各不等式：（1）；（2）。解

（1）由不等式，得，故原不等式的解集为。（2）由不等式，得，故原不等式的解集为。其解集为2）或型不等式求解不等式时，可先设，则不等式化为即根据不等式的性质，可以求出，即原不等式的解集为。上述这种求解不等式的方法称为“变量替换法”或“换元法”。例10解不等式：。解

由原不等式可得于是即所以原不等式的解集为实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，如集合可以用数轴上位于-3与2之间的一条线段（不包括端点）来表示，如图1-6所示3．区间的概念1）有限区间图1-6由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点。不含端点的区间称为开区间，含有两个端点的区间称为闭区间。图1-7只含左端点的区间称为右半开区间，如集合表示的区间就是右半开区间，记作；只含右端点的区间称为左半开区间，如集合表示的区间就是左半开区间，记作。如图1-6中，集合表示的就是开区间，记作。如图1-7中，集合表示的就是闭区间，记作。综上所述，设a，b为任意实数，且，则有（1）开区间：；（2）闭区间：；（3）右半开区间：；（4）左半开区间：。以上介绍的开区间、闭区间、右半开区间和左半开区间统称为有限区间。集合可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表示，如图1-8所示。2）无限区间图1-8由图可以看出，集合所表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可以将其记作，其中符号“”读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，而并非某个具体的数。综上所述，设a，b为任意实数，且，则有（1）；（2）；（3）；（4）；以上这5种区间统称为无限区间。相比而言，有些集合用区间来表示，更为方便、简单。（5）实数集R如果用区间来表示，可以记作。4．邻域的概念设点与是两个实数，且，则称集合为点的邻域，记作，如图1-9所示．其中称为邻域中心，称为邻域半径。有时还会用到去掉中心的邻域，即集合，称其为点的去心邻域，记作，如图1-10所示。图1-9图1-10只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为5．一元二次不等式或。我们知道，对于一元二次方程，它的解按照判别式，，可以分为三种情况。下面，我们按照这三种情况分别讨论对应的一元二次不等式或的解集。（1）当时，方程有两个不相等的实数解和（），对应函数的图像与x轴有两个交点，即，，如图1-11（a）所示。此时不等式的解集为，不等式的解集为。（2）当时，方程有两个相等的实数解，对应函数的图像与x轴只有一个交点，即，如图1-11（b）所示。此时不等式的解集为

，不等式

的解集为R，不等式的解集为。（3）当时，方程没有实数解，对应函数

的图像与x轴没有交点，如图1-11（c）所示。此时不等式

的解集为R，不等式的解集为。（a）

（b）

（c）图1-11例11k为何值时，方程无实数解。解

可化为。依题意知，此方程的判别式，即因此，需要解不等式。解方程得由于二次项系数为，所以不等式的解集为，即当时，方程无实数解。1.2函数的概念1.2.1函数的概念与性质1.2.2基本初等函数1.2.3复合函数1.2.4初等函数和分段函数1.2.1函数的概念与性质1．函数的概念1）函数的定义引例1在自由落体运动中，物体下落的距离s随下落时间t的变化而变化，下落距离s与时间t之间的依赖关系可表示为引例2某儿童玩具的销售价格是每套20元，假设销售量是q套，那么销售收入R与销售量之间的对应关系为定义1设有两个变量x和y，D是一个非空数集，若当变量x在集合D内任取一个值，变量y依照一定法则f，总有确定的值与之对应，则称变量y是x的函数，记为其中，D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。对于确定的，与之对应的y0称为函数在x0处的函数值，记作当x取遍D中的一切数值时，对应的函数值y的集合称为函数的值域，记作M：例1设函数，求。解例2判断下列函数是否为同一函数：（1）；（2）。解2）函数的两要素把函数的定义域和对应法则称为函数的两要素。（1）函数的定义域为，而函数的定义域为，故不是同一函数。（2）两个函数的定义域和对应法则都相同，故是同一函数。例3求下列函数的定义域：（1）； （2）。解（1）因，解得且。所以函数的定义域为（2）因解得，所以函数的定义域为。3）函数的表示法解析法：用数学式子表示函数，也称公式法．由于表达简单，便于理论推导和运算，它在高等数学中是最常见的函数表示法。表格法：用表格的形式表示函数，如表1-1以列表的形式给出了国内生产总值与年份之间的函数关系。函数通常有三种不同的表示方法：表1-1单位：亿元图像法：用图形表示函数，其优点是形象直观，可以看到函数的变化趋势，如某地一天的气温变化曲线图、上证指数K线图等。1）单调性2．函数的性质设函数在区间I内有定义，若对区间I内的任意两点，当时，有，则称在区间I内单调增加，区间I称为单调增区间；当时，有，则称在区间I内单调减少，区间I称为单调减区间。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。2）奇偶性设函数的定义域关于原点对称（即若，则），若对于任意的，都有，则称为偶函数；若对于任意的，都有，则称为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。3）有界性设函数在区间I上有定义，如果存在一个正数M，使得与任一所对应的函数值都满足不等式，则称函数在I内有界；如果这样的M不存在，则称函数在I内无界。4）周期性设函数在区间D上有定义，若存在常数，对于任意的，恒有，则称是以T为周期的周期函数。1.2.2基本初等函数1．常数函数常数函数的定义域为，对应法则是对于任何，x所对应的函数值y恒等于常数C。其函数图像为平行于x轴的直线，如图1-12所示。图1-122．幂函数（a）

（b）图1-13幂函数的定义域和值域由a而定，但在内都有定义，且其图像都经过点。如图1-13所示给出了几个常见幂函数的图像。3．指数函数指数函数的定义域为，值域为，图像都经过点。当时，单调增加；当时，单调减少。指数函数的图像均在x轴上方，如图1-14所示。图1-144．对数函数对数函数是指数函数的反函数。对数函数的定义域为，值域为，图像都经过点。当时，

单调增加；当时，单调减少。对数函数的图像在y轴的右方，如图1-15所示。

图1-15当时，简记为，它是常见的对数函数，称为自然对数。其中，

为无理数。5．三角函数正弦函数，余弦函数；正切函数，余切函数；正割函数，余割函数。三角函数有：（1）和的定义域为，值域为，都以为周期。是奇函数，是偶函教，如图1-16所示。图1-16（2）的定义域是，的定义域是，它们都以为周期，且都是奇函数，分别如图1-17（a）和（b）所示。（a）

（b）图1-176．反三角函数（1）反正弦函数是正弦函数在区间上的反函数，其定义域为，值域为，如图1-18（a）所示。（a）

（b）图1-18（2）反余弦函数是余弦函数在区间上的反函数，其定义域为，值域为，如图1-18（b）所示。（3）反正切函数是正切函数在区间内的反函数，其定义域为，值域为，如图1-19（a）所示。（4）反余切函数是余切函数在区间内的反函数，其定义域为，值域为，如图1-19（b）所示。（a）

（b）图1-191.2.3复合函数定义2设y是u的函数，u是x的函数。如果的值域与的定义域的交集不是空集，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，其中u称为中间变量。例4写出下列函数的复合过程：（1）； （2）。解（1）（2）1.2.4初等函数和分段函数1．初等函数定义3由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成，并且用一个式子表示的函数叫做初等函数。2．分段函数引例3自2018年8月1日起，北京巡游出租车（不含电动车）白天的基本收费标准如下：行驶里程若不超过3km，则收费13元；若超过3km，则超出部分按2.3元/km收费．另外，每运次加收1元燃油附加费．那么，每运次的行驶里程数km与费用元之间的关系为例5已知分段函数（1）求；（2）求其定义域，并画出其图像。解（1）（2）其定义域为。图像如图1-20所示。图1-20常用的分段函数有：1）绝对值函数绝对值函数的图像如图1-21所示。图1-212）符号函数符号函数的图像如图1-22所示。图1-221.3工程技术中函数的建立例1建筑工程中采石或取土时，常用炸药包进行爆破．实践表明，爆破部分呈倒立圆锥形状，如图1-23所示．圆锥的母线长度即爆破作用半径L，它是一定的，圆锥的底面半径即漏斗底半径为r，试求炸药包爆破体积与埋藏深度之间的函数关系。解图1-23由图1-23可知因为圆锥的体积公式为，所以将代入体积公式，可得炸药包爆破体积与埋藏深度之间的函数关系为解图1-24由已知可得例2一条横断面为等腰梯形的排水渠道，底宽为，边坡1∶1（即坡角），如图1-24所示．在过水断面（即垂直于水流的横断面）的面积A一定的条件下，试建立渠道的湿周L（即水流与界壁接触的长度）与水深h之间的函数关系。因为又因为过水断面的面积A一定，即A为常量，所以可求得将上式代入湿周L的表达式，便得到湿周L与水深h的函数关系式，即为由于底宽b总是取正，即，即，则或，又由于水深h总是取正的，即，因此湿周L与水深h的函数定义域为。例3电力部门规定：居民每月用电量不超过30度时，每度电按0.5元收费；当用电量超过30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费；当用电量超过60度时，超过部分按每度0.8元收费。试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系。解当时，；当时，；当，。所以例4弹簧在汽车悬吊系统中广泛应用，在弹性限度内，弹簧伸长量与受力大小成正比。现在有一弹簧受力4N，伸长了0.01m，求该弹簧的伸长量与受到的力之间的函数关系。解由此得伸长量l与受到的力F之间的函数关系为设弹簧受力为FN时，其伸长量为lm，由题意可知（k为比例常数）将已知条件时，，代入上式，得1.4经济函数的建立1.4.1需求函数1.4.2供给函数1.4.3成本函数1.4.4收入函数与利润函数1.4.5单利与复利1.4.1需求函数常见的需求函数有如下三种函数模型：线性函数；二次函数；指数函数。例1某计算器售价80元/台时，月销售量是1000台；当价格调整为85元/台，月销售量600台，求该商品的线性需求函数。解所求的需求函数为设该商品的线性需求函数为。由题意可知，当时，；当时，。代入上式得某商品的市场供给量S受商品价格的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；价格下跌将使供给量减少。供给量S是商品价格p的函数，称为供给函数，记为。供给量S是价格p的单调增函数。一般地，使某种商品的市场需求量与供给量相等的价格称为均衡价格。1.4.2供给函数当价格时，商品供不应求，商品的价格有提高的趋势；当价格时，商品供过于求，商品的价格有下降的趋势；当价格在p0

处时，供给量等于需求量。这就体现了价格的市场调节作用。总成本C是指用于生产的总费用。它由固定成本C0和可变成本C1构成。固定成本C0是指在一定时期内，不受产量变动影响的成本，如厂房、设备等费用。可变成本C1是指随产量变化而变化的成本，如工人的工资、原材料等。因此总成本C是产量q的函数，即，称为成本函数。平均成本函数（也叫单位成本函数）记为1.4.3成本函数总收入R是指生产者将产品售出后的全部所得，总收入等于产品的单价P与销售量q的乘积。假设销售过程中价格P不变，则总收入是销售量q的函数，即，称为收入函数。假设生产的产量全部销售出去，即那么，总利润L就是总收入R减去总成本C，表示为产量=销售量=需求量总利润也是产量q的函数，称为利润函数。1.4.4收入函数与利润函数例2某厂生产一种元器件，每日最多生产200件。每日的固定成本为240元，每生产一件产品的可变成本为16元，每件的售价是20元，求：（1）该厂日总成本函数、总收入函数和总利润函数；（2）日产量为100件时的总成本和平均成本；（3）该厂每日至少生产多少件产品，才不亏本。解（1）总成本函数为总收入函数为总利润函数为（2）日产量为100件时的总成本为日产量为100件时的平均成本（元）（元/件）（3）若不亏本，至少利润不能为负数，令，得件，即该厂每日至少生产60件以上的产品，才不亏本。解总收入函数为总利润函数例3已知某产品的总成本函数为，该产品的价格P与销售量q的关系为

，求总收入函数和总利润函数。1）单利计算公式设初始本金为P0，计息期（如一年）的利率为r，则第一年末的本利和为；第二年末的本利和为；……第n年末的本利和为。1.4.5单利与复利2）复利计算公式设本金为P0，计息期（如一年）的复利率为r，则第一年末的本利和为；第二年末的本利和为；……第n年末的本利和为。解单利例4现有初始本金1000元，若银行储蓄的年利率为3%，问：（1）按单利计算，5年末的本利和是多少？（2）按复利计算，5年末的本利和又是多少？复利已知，则5年末的本利和：（元）（元）利息是资金的时间价值的一种表现形式，复利计息更好地体现了资金的时间价值，而且结算周期越短，越能体现资金的时间价值。如果每个计息期结算n次，设本金为P0，计息期（如一年）的利率为r，则m个计息期的本利和为解（1）复利计息，一年结算一次，五年后的本利和为例5设有本金为10000元，年利率为6%，计息期五年，分别计算下列情况的本利和：（1）复利计息，一年结算一次；（2）复利计息，3个月结算一次。（2）复利计息，3个月结算一次，五年后的本利和为（元）（元）知中有行初识数学软件MATLAB及绘图MATLAB是美国MathWorks公司开发的软件，它具有强大的数值计算、符号计算和图形绘制等功能，其清晰明了的操作界面及接近数学表达式的自然化语言，使初学者易于学习和掌握。MATLAB可以方便、快捷地计算很多复杂的数学问题，使人们避免了烦琐的计算。例如，它可以进行多项式的计算以及代数式的进一步化简；进行代数方程和微分方程的求解；可以求极限、导数、积分，进行幂级数的展开等。这些运算功能将在后续章节中进行介绍。1．MATLAB的启动和操作界面MATLAB软件安装之后，一般会在桌面生成快捷方式。双击图标即可启动MATLAB软件。启动MATLAB软件之后，可以看到MATLAB的操作界面。该操作界面是一个高度集成的工作界面，常用的区域有菜单栏、命令窗口（CommandWindow）、当前路径窗口（CurrentDirectory）、工作空间（Workspace）、历史命令窗口（CommandHistory），如图1-26所示。工作空间历史命令窗口命令窗口菜单栏图1-262．MATLAB的基本操作MATLAB语言是一种表达式语言，用户所输入的表达式将被MATLAB系统解释并求值。具体操作就是在命令窗口输入函数、矩阵、表达式等信息，单击回车键后就可执行了。我们先认识MATLAB中常用的基本运算符，如表1-2所示。数学表达式MATLAB表达式数学表达式MATLAB表达式a+ba-ba*ba/ba^bexp(x)

或

>=或<=或==或~=log(x)loga(x)sqrt(x)abs(x)sin(x)asin(x)πpiinf表1-2解>>1.5^3-sin(pi)/3+sqrt(5)回车，输出结果为ans=5.6111例1计算注意：命令窗口中的“>>”为命令提示符，表示MATLAB正处于准备状态。在命令提示符后输入命令并按下回车键，MATLAB就会执行所输入的命令，并在命令后面给出计算结果。在命令窗口输入：3．用MATLAB绘制函数图像MATLAB具有强大的作图功能，无论是二维图像还是三维图像，作图方法都非常简单。它是通过描点、连线来实现的，故在画一个图形之前，必须先取得该图形上一系列点的坐标，然后将该点集的坐标传给MATLAB函数作图。在作图过程中，数据点通过向量或矩阵的形式给出。1）利用MATLAB作二维图形（1）矩阵的输入法>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]A=123456789在MATLAB输入矩阵时，将矩阵的所有元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素。同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。例如，在MATLAB中利用冒号可以产生行向量。冒号表达式的一般格式为（2）冒号表达式a:b:c其中，a为初始值，b为步长，c为终止值。冒号表达式可产生一个由a开始到c结束、以步长b自增的行向量。例如，>>t=0:2:10t=0246810注意：向量也是特殊的矩阵。在用MATLAB进行矩阵A和B的乘法运算时，要求A的列数与B的行数相等，如果不满足这个条件，就会给出错误信息，此时提示用户两个矩阵是不可乘的。例如，（3）矩阵乘法>>A=[1,2,3;4,5,6];B=A*A错误使用*内部矩阵维度必须一致。（3）矩阵乘法在MATLAB中，还可以进行矩阵和数的乘法运算。矩阵和数相乘是矩阵中的每个元素与这个数相乘。例如，>>A=[1,2,3;4,5,6];>>5*Aans=51015202530（4）点运算两矩阵进行点运算是指它们对应的元素之间进行相关运算，要求两矩阵的行数和列数都相同。点运算符有“.*”，“./”和“.^”。例如，>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];>>B=[-1,0,1;1,-1,0;0,1,1];>>C=A.*BC=-1034-50089注意：用MATLAB画图时，一定要注意区分矩阵乘法与点运算的区别。例如，对于行向量t=0:2:10，t*t是无意义的，而t.*t则表示t中的对应元素相乘。（5）绘制二维图形在MATLAB软件中，plot函数是绘制二维图形最常用的函数。它有多种语法格式，可以实现多种功能，最基本的语法格式是plot(x,y)解在命令窗口中输入如下程序：例2绘制函数在区间的图形>>x=-10*pi:0.1:(10*pi);>>y=sin(x)./x;>>plot(x,y)运行结果得到的图形如图1-27所示。图1-272）利用MATLAB作三维图形（1）产生三维数据在MATLAB中绘制三维网格图时，先要生成在x-y平面的网格数据，再以一组z轴的数据对应这个二维的网格，最后调用绘图函数绘制。在MATLAB中产生三维数据的方法如下：将x方向的区间分成m份，将y方向的区间分成n份；再根据各划分点分别作平行于两坐标轴的直线，将区域分成

个小矩形，生成代表每个小矩形顶点坐标的平面网格坐标矩阵；最后求对应网格坐标的Z矩阵。（1）产生三维数据MATLAB中的meshgrid函数可以将向量转换为矩阵，它的调用格式为[X,Y]=meshgrid(x,y);其中，x，y为向量。语句执行后，矩阵X的每一行都是向量x，行数等于向量y的元素的个数；矩阵Y的每一列都是向量y，列数等于向量x元素的个数。（1）产生三维数据根据每个网格点上的x，y坐标求函数值，则得到函数值矩阵Z。矩阵X，Y，Z的对应元素构成了曲面上的点集。例如，>>[x,y]=meshgrid(1:1:3,4:1:7)x=123123123123y=444555666777（1）产生三维数据如果，则对应的点集为

，

，

，

，

， , , , , , , 。将对应的点在空间中画出来，即可得到函数的部分图像。（2）绘制三维图形在MATLAB软件中，使用mesh函数可以实现三维图形的绘制，它的调用格式为mesh(x,y,z)解在命令窗口中输入如下程序：>>x=-10:0.5:10;>>y=-10:0.5:10;>>[x,y]=meshgrid(x,y);>>z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2);>>mesh(x,y,z)运行结果得到的图形如图1-28所示。图1-28例3绘制二元函数

在矩形区域

内的图像。（2）绘制三维图形小贴士：在MATLAB软件中，除了mesh函数外，还可以使用plot3函数、surf函数来绘制三维图形。它们的区别如下：mesh函数用于三维网格图绘制，plot3函数用于三维曲线图绘制，surf函数用于三维曲面图绘制。感谢聆听应第2章极限与连续用数学高职本章内容01极限的概念04函数的连续性03两个重要极限及无穷小的比较02极限的性质和运算法则05利用MATLAB软件求极限01数列的极限函数的极限02无穷小量与无穷大量032.1极限的概念2.1.1数列的极限1．整数指数幂定义1在某一法则下，当依次取时，对应的实数排成一列数，这列数就称为数列，记作。数列中的每一个数称为数列的项，第n项xn称为数列的一般项或通项。定义2对于数列，如果当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记作；如果数列没有极限，就说数列是发散的。其中，“lim”代表极限，极限符号下面的“”表示项数无限增大。解

例1讨论下列数列的变化趋势，说明极限是否存在，若存在，请写出它们的极限。（1）；（2）；（3）； （4）。（1）的项依次为，当n无限增大时，xn无限接近于1，所以。（2）的项依次为，当n无限增大时，xn总是在0和1两数中跳动，不趋近于某一个常数，所以，该数列的极限不存在。（3）的项依次为，当n无限增大时，xn无限接近于0，所以，。（4）为常数数列，无论n取怎样的正整数，xn始终为8，所以，。常数列的极限就是这个常数本身，即（C为常熟）。解

例2某单位购置一批价格100万元的设备，该设备每年的折旧费是当年价格的，那么随着时间的推移，该批设备的价格如何变化？当n无限增大（即）时，由数列极限的定义可知这批设备的价格（单位：万元）第一年为100，第二年为，第三年为

，第四年为，……，第n年为。所以，随着时间的推移，这批设备的价格无限接近于0。2.1.2函数的极限规定：（1）x的绝对值无限增大用记号表示；

x小于0且绝对值无限增大用记号表示；

x大于0且绝对值无限增大用记号表示。（2）x无限接近x0用记号表示；

x从x0的左侧（即）无限接近x0用记号

表示；

x从x0的右侧（即）无限接近x0用记号

表示。例3作出函数的图形，在的前提下，讨论当时，该函数的变化趋势，并说出它的极限。1．当时，函数

的极限解

所作图形如图2-1所示。从图中可以看出，当x沿x轴的正方向无限增大时，曲线

无限接近于x轴，但始终不与x轴相交，故当时，函数以0为极限。图2-1类似地可定义：或定义3如果当x的绝对值无限增大，即时，函数值无限趋近于某一个确定的常数A，那么A就称为函数当时的极限，记作或解

例4如图2-2所示，有及。由于当和

时，函数不是无限接近于同一个确定的常数，所以不存在。图2-2由上面的例子可以看出，如果和都存在并且相等，那么

也存在并且与它们相等。如果和都存在，但不相等，那么不存在。定理1的充分必要条件是。解

例5讨论函数及当时的极限。因为，所以不存在。如图2-3所示为这两个函数的图形。

图2-3又因为，所以不存在。2．当时，函数的极限对于函数和，当时，和的变化趋势如图2-4所示。从图像容易看出，当时，和都无限接近于2。（a）

（b）

图2-4定义4设函数在点x0的附近有定义（在x0处可以无定义），如果存在一个常数A，当x无限趋于

时，函数的值无限趋近于A，那么A就称为函数当时的极限，记作或。

如果当x从x0的左边趋于x0（通常记作）时，无限接近某常数A，则常数A称为函数当时的左极限，记作或。如果当x从x0的右边趋于x0（通常记作）时，无限接近某常数A，则常数A称为函数当时的右极限，记作或。左极限与右极限统称为单侧极限。例6设，试判断是否存在。解

先分别求当时的左、右极限：因为，所以存在，且。例7设讨论极限是否存在？如图2-5所示解

因为，所以不存在。定理2当时，以A为极限的充分必要条件是在点处的左、右极限存在且都等于A，即图2-52.1.3无穷小量与无穷大量1．无穷小量引例单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，如图2-6所示。如果让单摆自己摆动，由于机械摩擦力和空气阻力，摆动幅度就会不断地减小，角逐渐趋向于零。对于这种变量变化趋于零的情形，我们给出如下定义。图2-6定义5在自变量x的某一变化过程中，若函数的极限为0，即，则称为在该变化过程中的无穷小量，简称无穷小。还可以由定义得到无穷小的如下性质：性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小。性质3有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。例8求

。解

又因，所以是有界函数，再由性质3知，。因，所以是时的无穷小。2．无穷大量定义6在自变量x

的某一变化过程中，若函数值的绝对值无限增大，则称为在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。记。定理3在自变量的同一变化过程中，无穷大、无穷小互为倒数关系，即如果（或），则有（或0）。3．无穷大与无穷小的关系01极限的性质极限的运算法则02极限的求法032.2极限的性质和运算法则1.1.4不等式定理1（唯一性）如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限唯一。定理2（有界性）如果函数在时存在极限，则必存在x0的某一邻域，使得在该邻域内有界。定理3（保号性）若在x0的左右近旁，恒有（或）且

，则（或）。2.2.2极限的运算法则定理4设，则（1）；（2）；（3）。推论1设，则。推论2设，则

。由极限的定义，显然有以下结论：（1）；（2）。2.2.3极限的求法1．直接代入法它适用于，其中函数和在x0点有定义，且，有例1求。解

由于将代入分母得，于是，由直接代入法得原式例2求。解

原式由于此时的分母恒为，于是，由直接代入法得所以，由无穷大与无穷小的关系知，原式。2．倒数法（型）它适用于，其中，但，记为“”型。方法：由直接代入法，先求其倒数的极限，再由无穷大与无穷小的关系得。例3求。解

将代入分母得，但代入分子得。于是，其倒数的极限为例4求。解

将代入分子、分母都是0，于是，将分子、分母先分解因式，得3．分解因式，约去零因子法（型）它适用于，其中且，记为“”型。方法：将分子或分母分解因式，约去共同的零因子，再用直接代入法。原式例5求。解

将代入分子、分母都是0，且分母中含有根号，因此先将分母有理化，再用直接代入法，即4．分子或分母有理化，约去零因子法（型）