2023-2024学年江苏省江阴市临港科创实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省江阴市临港科创实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+y＝3 B．2x3﹣x＝1 C．y+＝5 D．3x﹣x2＝62．（3分）一元二次方程x2+4x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定3．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝54．（3分）某县2014年的GDP是250亿元，要使2016年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x（）A．250（1+2x）2＝360 B．250（1+2x）＝360 C．250（1+x）（1+2x）＝360 D．250（1+x）2＝3605．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）A．3，4，6，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．8，10，12，156．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，（）A． B． C． D．＝7．（3分）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，不能使△ADE∽△ACB的是（）A．∠1＝∠C B．∠2＝∠B C． D．8．（3分）下列语句中不正确的有（）①长度相等的弧是等弧②垂直于弦的直径平分弦③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧⑤半圆是圆中最长的弧⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆A．5个 B．4个 C．3个 D．2个9．（3分）在Rt△ABC中，∠B为直角，∠A的平分线为AD交BC于点D，且BD：DE：EC＝1：2：3，则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝；③当∠AEC＝135°时，E为△AEC的外心，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（）A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每空3分，满分24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题11．（3分）cos60°＝．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3．13．（3分）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比1小，则你构造的一元二次方程是．14．（3分）顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm，则它的外接圆的直径cm．15．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯长一尺，现有圆形木材，埋在墙壁里，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为寸．16．（3分）已知s满足2s2﹣3s﹣1＝0，t满足2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，则s+t＝．17．（3分）在半径为2的⊙O中，弦AB的长度2，点C为⊙O上异于A、B两点的一个动点°．18．（3分）如图，半圆中AC为直径，AC＝20，D在半圆上，，则CD＝．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过19．（8分）解方程：（1）（x﹣2）2＝4；（2）x2﹣4x﹣1＝0．20．（8分）计算：（1）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°；（2）．21．（10分）求值：（1）已知，求的值；（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．22．（10分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）（6，2）．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；（2）这个圆的半径为；（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M（填内、外、上）；（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，分别画出图1和图2中∠P的平分线．24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若，BC＝6，求BD的长．25．（10分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，且sin∠ABC＝，BO＝2OC．（1）求⊙O的半径；（2）求∠BAC的正切值．26．（10分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．（1）AB＝米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能27．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，识别的最远水平距离OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）28．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M（1）求证：MF＝NF；（2）若AB＝6，BC＝10时，求MF的长；（3）若时，求的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+y＝3 B．2x3﹣x＝1 C．y+＝5 D．3x﹣x2＝6【解答】解：A．该方程是二元一次方程；B．该方程是一元三次方程；C．该方程是二元一次方程分式方程；D．该方程是一元二次方程．故选：D．2．（3分）一元二次方程x2+4x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：Δ＝42﹣8×1×（﹣2）＝24＞5，∴有两个不相等的实数根，故选：A．3．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣6x＝1，x2﹣7x+4＝1+5，（x﹣2）2＝6，故选：D．4．（3分）某县2014年的GDP是250亿元，要使2016年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x（）A．250（1+2x）2＝360 B．250（1+2x）＝360 C．250（1+x）（1+2x）＝360 D．250（1+x）2＝360【解答】解：2015年的GDP为250×（1+x），2014年的GDP为250×（1+x）（8+x）＝250×（1+x）2，即所列的方程为250（8+x）2＝360，故选：D．5．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）A．3，4，6，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．8，10，12，15【解答】解：A、∵3×7≠6×6；B、∵5×4≠6×7；C、∵2×8≠4×3；D、∵15×8＝10×12；故选：D．6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，（）A． B． C． D．＝【解答】解：∵DE∥B，∴△ADE∽△ABC，∵相似比为，∴，故A、B错误；∵相似三角形的周长之比等于相似比，∴的周长5，故C正确；∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，∴，故D错误．故选：C．7．（3分）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，不能使△ADE∽△ACB的是（）A．∠1＝∠C B．∠2＝∠B C． D．【解答】解：A、∵∠1＝∠C，∴△ADE∽△ACB，故A选项不符合题意；B、∵∠2＝∠B，∴△ADE∽△ACB，故B选项不符合题意；C、∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故C选项不符合题意；D、∵∠A＝∠A，，∴不能判定△ADE∽△ACB，故D选项符合题意；故选：D．8．（3分）下列语句中不正确的有（）①长度相等的弧是等弧②垂直于弦的直径平分弦③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧⑤半圆是圆中最长的弧⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解答】解：①能够互相重合的弧是等弧，故长度相等的弧是等弧不正确；②垂直于弦的直径平分弦，本小题说法正确；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④平分弦（不是直径）的直径也必平分弦所对的两条弧，故本小题说法不正确；⑤半圆不是圆中最长的弧，故本小题说法不正确；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，本小题说法正确；故选：B．9．（3分）在Rt△ABC中，∠B为直角，∠A的平分线为AD交BC于点D，且BD：DE：EC＝1：2：3，则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【解答】解：如图：过点D作DF⊥AC，垂足为F，∴∠DFC＝90°，∴∠C+∠FDC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠FDC，∵BD：DE：EC＝1：2：5，∴设BD＝a，则DE＝2a，∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，∴BD＝DF＝a，在Rt△DFC中，CD＝DE+CE＝5a，∴CF＝＝＝2a，∴sin∠FDC＝＝＝，∴sin∠BAC＝sin∠FDC＝，故选：A．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝；③当∠AEC＝135°时，E为△AEC的外心，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（）A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝∠DAC＝45°，∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，∴∠CAF＝∠DAE，故①正确；∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，∴AC＝AD，∴＝＝，∵∠CAF＝∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴＝＝，∴FC＝DE；依据外心的定义，三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，故③错误；如图，连接BD交AC于点O，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，当点F与点B重合时，点E与点O重合，点E与点D重合，∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，∵BC＝CD＝OD，∴vF＝vE，∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误．综上所述：正确的结论是①②，共2个．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每空3分，满分24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题11．（3分）cos60°＝．【解答】解：cos60°＝．故答案为：．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，得AB为斜边．由tanA＝＝3，得BC＝3AC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，得AB＝＝AC．cosB＝＝＝，故答案为：．13．（3分）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比1小，则你构造的一元二次方程是x（x﹣2）＝0（答案不唯一）．【解答】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根比1小，∴当另一根为5时，该一元二次方程为x（x﹣2）＝0．故答案为：x（x﹣8）＝0（答案不唯一）．14．（3分）顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm，则它的外接圆的直径8cm．【解答】解：如图；△ABC中，AC＝BC＝4cm；易知∠OCA＝∠ACB＝60°；又∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形；∴OA＝OC＝AC＝4cm；故等腰三角形的外接圆直径是8cm．15．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯长一尺，现有圆形木材，埋在墙壁里，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为26寸．【解答】解：设圆材的圆心为O，延长CD，连接OA由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，则AD＝BD＝AB＝8，设圆形木材半径为r寸，则OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，∵OA2＝OD8+AD2，∴r2＝（r﹣7）2+54，解得：r＝13，即⊙O的半径为13寸，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．16．（3分）已知s满足2s2﹣3s﹣1＝0，t满足2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，则s+t＝．【解答】解：∵实数s、t满足2s2﹣2s﹣1＝0，8t2﹣3t﹣4＝0，且s≠t，∴实数s、t是关于x的方程2x4﹣3x﹣1＝3的两个不相等的实数根，∴s+t＝．故答案为：．17．（3分）在半径为2的⊙O中，弦AB的长度2，点C为⊙O上异于A、B两点的一个动点30或150°．【解答】解：如图：由题意得：AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，分两种情况：当点C在优弧上时∠AOB＝30°；当点C在劣弧上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B+∠ACB＝180°，∴∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝150°；综上所述：∠BCA＝30°或150°，故答案为：30或150．18．（3分）如图，半圆中AC为直径，AC＝20，D在半圆上，，则CD＝2或．【解答】解：由于D在半圆上，，如图6，当点D是，连接OD交BC于点E，在Rt△ABC中，AB＝16，∴BC＝＝12，∴CE＝BE＝BC＝6，Rt△COE中，OC＝，EC＝6，∴OE＝＝8，在Rt△CDE中，CE＝5，∴CD＝＝4；如图2，当点D在，取的中点F、BF，过点BF分别作BM⊥CD，垂足分别为M、N，∵＝＝，∴∠FBC＝∠BCD，DB＝BF＝FC，∴BF∥CD，∴四边形CDBF是等腰梯形，∴DM＝CN，MN＝BF＝2，∵∠BAC＝∠FCN，∠ABC＝∠FNC＝90°，∴△ABC∽△CNF，∴＝，即＝，解得CN＝，∴CD＝5CN+MN＝，综上所述CD＝2或CD＝．故答案为：2或．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过19．（8分）解方程：（1）（x﹣2）2＝4；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝2，x﹣2＝±2，∴x8＝4，x2＝2；（2）x2﹣4x﹣8＝0，x2﹣7x＝1，x2﹣7x+4＝1+2，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝，∴，．20．（8分）计算：（1）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°；（2）．【解答】解：（1）原式＝2××﹣3×＝﹣＝1；（2）原式＝+＝+＝+|＝（3+＝2+7+1﹣＝+4．21．（10分）求值：（1）已知，求的值；（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．【解答】解：（1）设a＝4k，b＝3k，则＝＝＝﹣；（2）设＝＝＝k，则a＝2k，b＝8k，∵a+b+c＝22，∴2k+4k+3k＝22，解得：k＝2，∴a＝4，b＝8，∴3a﹣b+2c＝6×4﹣8+5×10＝24．22．（10分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．【解答】（1）证明：根据题意得：Δ＝（﹣2m）2﹣3（m2﹣4）＝3m2﹣4m7+16＝16＞0，∴此方程有两个不等的实数根，（2）解：方程的两个根分别为x1，x7，其中x1＞x2，若x4＝3x2，由（1）知，Δ＝16，∴x＝＝m±3，∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，m+2＝8（m﹣2），解得：m＝4，即m的值为8．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）（6，2）．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）；（2）这个圆的半径为2；（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M内（填内、外、上）；（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，分别画出图1和图2中∠P的平分线．【解答】解：（1）∵A（0，4），5），∴AB的垂直平分线所在直线为x＝2，∴圆心M在直线x＝2上，设M（4，m），∴MA＝MC，∴4+（m﹣4）3＝16+（m﹣2）2，解得m＝5，∴M（2，0），故答案为：（3，0）；（2）∵M（2，4），∴MA＝2，故答案为：2；（3）∵D（5，﹣4），0），∴MD＝＜2，∴点D（5，﹣2）在⊙M内，故答案为：内；（4）图8，连接AP，∵AB＝AC，∴＝，∴∠APB＝∠ACP，∴PA平分∠BPC；图2，连接AO与弧，连接PD，∵AB＝AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠BPD＝∠CPD，∴PD平分∠BPC．24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若，BC＝6，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，∴AD⊥BC于点D，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA．（2）解：∵△ABD∽△CBA，∴＝，∵AB＝2，BC＝5，∴BD＝＝＝4，∴BD的长是2．25．（10分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，且sin∠ABC＝，BO＝2OC．（1）求⊙O的半径；（2）求∠BAC的正切值．【解答】解：（1）延长BC交⊙O于点D，连接AD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，sin∠ABC＝＝，∴设AD＝8a，则BD＝5a，∵AB2＝BD2﹣AD2，∴88＝25a2﹣16a2，∴a＝（负值舍去），∴BD＝．∴⊙O的半径长是．（2）过C作CH⊥AB于H，∵BO＝2OC，∴OC＝，∴BC＝OB+OC＝10，∵sin∠ABC＝＝，∴CH＝8，∴BH＝＝6，∴AH＝AB﹣BH＝5﹣6＝2，∴tan∠BAC＝＝＝4．26．（10分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．（1）AB＝（51﹣3x）米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能【解答】解：（1）设栅栏BC长为x米，∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，∴AB＝49+2﹣4x＝51﹣3x（米），故答案为：（51﹣3x）；（2）依题意，得：（51﹣8x）x＝210，整理，得：x2﹣17x+70＝0，解得：x8＝7，x2＝10．当x＝4时，AB＝51﹣3x＝30＞25，舍去，当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，答：栅栏BC的长为10米；（3）不可能，理由如下：依题意，得：（51﹣7x）x＝240，整理得：x2﹣17x+80＝0，∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜6，∴方程没有实数根，∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．27．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，识别的最远水平距离OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，