18.2.1 矩形 人教版数学八年级下册素养提升练习(含解析)

第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形基础过关全练知识点1矩形的定义1.在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,如果添加一个条件,即可推出该四边形是矩形,那么这个条件可以是.

知识点2矩形的性质2.【教材变式·P53例1】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC+AB=12,则边AB的长为()A.3B.4C.23D.423.图1是一种矩形时钟,图2是时钟示意图,时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上,时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O处.若AB=30cm,则BC的长为cm(结果保留根号).

图1图24.在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AE⊥BD,垂足为E,且AE平分∠BAO.(1)求∠AOB的度数;(2)若AB=2cm,求矩形ABCD的面积.知识点3直角三角形斜边上中线的性质5.(2023江苏南通期中)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线.若∠A=50°,则∠BCD的度数为()A.40°B.30°C.25°D.20°6.如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为()A.5B.4C.342D.7.(2023湖南郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,则CM=.

8.【构造斜边中线】(2022云南昆明八中期中)如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线,点G是CE的中点,DG⊥CE于点G.(1)求证:DC=BE;(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数.知识点4矩形的判定9.(2023河南新乡期末)四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,若要使四边形ABCD成为矩形,则可添加的条件是()A.∠AOB=90°B.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=BC10.如图,在四边形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,已知AB∥CD,且AB=CD,点E是AD延长线上一点,连接EC,若EC=CA,且CD平分∠ECA.求证:四边形ABCD是矩形.11.(2023河北石家庄四十中期末)如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD边上,CF=AE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四边形BFDE的面积.12.【新素材】【新独家原创】2023年4月16日,第九届全国青年科普创新实验暨作品大赛(江西赛区)复赛在江西省科技馆举行.如图,矩形ABCD的两边AB、CD是未来太空车的两条赛道,AB=240cm,BC=80cm,未来太空车P从A开始沿AB边以40cm/s的速度移动,未来太空车Q从C开始沿CD边以20cm/s的速度移动,如果未来太空车P,Q分别从A,C同时出发,当其中一车到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为ts.当t为何值时,四边形QPBC为矩形?13.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,E为AB的中点,过点A作AF∥BD,交DE延长线于点F,连接BF.(1)求证:AF=BD.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?请证明你的结论.能力提升全练14.(2023上海中考,5,★★☆)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A.AB∥CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D15.(2023辽宁大连期中,10,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,过对角线的交点O作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F,则AE的长是()A.12B.78C.116.【社会主义先进文化】(2022湖北十堰中考,13,★☆☆)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜,一农村民居侧面截图如图所示,屋坡AF,AG分别架在墙体的点B,C处,且AB=AC,四边形BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°,则∠A=°.

17.(2023湖北荆州中考,12,★☆☆)如图,CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE=.

18.(2022吉林中考,13,★★☆)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的中点,点F在对角线AC上,且AF=14AC,连接EF.若AC=10,则EF=19.【数学文化】(2023四川内江中考,16,★★☆)出入相补原理是中国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建的.“将一个几何图形任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG=.

20.(2020云南中考,6,★★☆)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=210,则DE的长是.

21.(2023湖南岳阳中考,21,★☆☆)如图,点M在▱ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中,选择一个合适的选项作为已知条件,使▱ABCD为矩形.(1)你添加的条件是(填序号);

(2)添加条件后,请证明▱ABCD为矩形.22.【新考向·尺规作图】(2022山西中考,17,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.(1)实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为点O,交边AD于点E,交边BC于点F(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母);(2)猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明.素养探究全练23.【推理能力】长与宽之比为2∶1的矩形纸片被称为标准纸,请思考并解答下列问题:(1)将一张标准纸ABCD(AB<BC)对开,如图所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸,请给予证明.(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作:第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图甲);第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上的点N处,折痕为DG(如图乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处;第三步:沿直线DM折叠(如图丙),此时G点恰好与点N重合.请你探究:矩形纸片ABCD是不是标准纸?并说明理由.(3)不难发现,将一张标准纸按如图所示的方式一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=2,问:第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索并直接写出第2020次对开后所得标准纸的周长.

答案全解全析基础过关全练1.答案∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)解析∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,需要加一个直角,即∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°.(任选一个即可)2.B∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OD=OB,∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AO=AB,∴AC=2AO=2AB,∵AC+AB=2AB+AB=12,∴AB=4,故选B.3.答案303解析过O点作OE⊥CD,OF⊥AD,垂足分别为E,F,由题意知∠FOD=2∠DOE,∵∠FOD+∠DOE=90°,∴∠DOE=30°,∠FOD=60°,在矩形ABCD中,∠C=90°,∴OE∥BC,∴∠DBC=∠DOE=30°,∵CD=AB=30cm,∴BD=2CD=60cm,∴BC=602-34.解析(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO=12BD,由AE⊥BD,AE平分∠BAO,易证△AOE≌△∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°.(2)由(1)知△AOB是等边三角形,∴∠BAO=60°,∴∠ACB=30°,∴AB=12∴AC=2AB=4cm,∴BC=42-2∴矩形ABCD的面积=2×23=43(cm2).5.A在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴CD=DA=12AB,∴∠ACD=∠∵∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=40°,故选A.6.D连接OD(图略),∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OD,∠ADC=∠BAD=∠ABC=90°,∵OM∥AB,∴OM⊥AD,∴AM=DM,∵O是AC的中点,∴OM是△ABD的中位线,∴AB=2OM=6,∵BC=10,∴AC=AB2+∵∠ABC=90°,O为AC的中点,∴BO=12AC=34,故选7.答案5解析连接CM(图略),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=AC∵点M是AB的中点,∴CM=128.解析(1)证明:连接DE.∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵AE=EB,∴DE=EB=EA,∵DG⊥EC,EG=GC,∴DE=CD,∴DC=BE.(2)设∠BCE=x.∵EB=DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=x,∴∠EBD=∠BDE=∠DEC+∠DCE=2x,∵∠AEC=∠EBD+∠ECD,∴66°=3x,∴x=22°,∴∠BCE=22°.9.B∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.故选B.10.证明∵AB∥CD,且AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵EC=CA,且CD平分∠ECA,∴CD⊥AE,即∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形.11.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DF∥EB,AB=CD,又∵CF=AE,∴DF=BE,∴四边形BFDE是平行四边形,∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形.(2)∵AF平分∠DAB,DC∥AB,∴∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠DFA,∴AD=DF=5,∵AE=CF=3,DE⊥AB,∴DE=AD2-AE2=4,∴12.解析根据题意得CQ=20tcm,AP=40tcm,则BP=(240-40t)cm,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,CD∥AB,∴只有CQ=BP时,四边形QPBC是矩形,即20t=240-40t,解得t=4,故当t=4时,四边形QPBC是矩形.13.解析(1)证明:∵AF∥BD,∴∠FAE=∠DBE,∵E为AB的中点,∴EA=EB,在△AEF和△BED中,∠∴△AEF≌△BED(ASA),∴AF=BD.(2)当△ABC满足AB=CB时,四边形AFBD是矩形.证明:由(1)可知AF=BD,∵AF∥BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=CB,BD平分∠ABC,∴BD⊥AC,∴∠BDA=90°,∴平行四边形AFBD是矩形.能力提升全练14.C∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,由AB=CD不能判定四边形ABCD为矩形,故选项A不符合题意;∵AD=BC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,由AB=CD不能判定四边形ABCD为矩形,故选项B不符合题意;∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴AB的长为AD与BC之间的距离,∵AB=CD,∴CD⊥AD,CD⊥BC,∴∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形,故选项C符合题意;∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∵∠A=∠D,∴∠B=∠C,∵AB=CD,∴四边形ABCD可能是等腰梯形,故选项D不符合题意.故选C.15.B连接BE,如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=90°,AD=BC=4,OB=OD,∵EF⊥BD,∴DE=BE,设AE=x,则BE=DE=4-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得x2+32=(4-x)2,解得x=78,即AE=78.16.答案110解析∵四边形BDEC为矩形,∴∠DBC=90°,∵∠FBD=55°,∴∠ABC=180°-∠DBC-∠FBD=35°,∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=35°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=110°.17.答案3解析∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,CD=5,∴AB=2CD=10,∵∠ACB=90°,AC=8,∴BC=AB∵E为AC的中点,∴AE=CE,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=1218.答案5解析在矩形ABCD中,AO=OC=12∵AF=14AC,∴点F为AO的中点∵点E为边AD的中点,∴EF为△AOD的中位线,∴EF=12OD=14BD=19.答案60解析连接OE,如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∵AB=5,∴AC=AB2+BC2=13,∴OB=OC=132,∴S△BOC=S△BOE+S△COE=12OB·EG+12OC·EF=12S△ABC=12×12×5×12=15,∴1220.答案83或解析如图,∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°,∴BC=AC2-当点E在CD上时,∵AE2=DE2+AD2=EC2,∴DE2+4=(6-DE)2,∴DE=83当点E'在AB上时,∵CE'2=BE'2+BC2=E'A2,∴(6-AE')2+4=AE'2,∴AE'=103∴DE'=AD2+AE'综上所述,DE=83或221.解析(1)