2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类专题01新知识学习型新定义问题之求函数的取值范围（解析版）

资料整理资料整理资料整理专题01新知识学习型&新定义问题之求函数的取值范围（解析版）通用的解题思路：第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看，二次函数看对称轴与区间的位置关系；第二步：当时，；当时，；所以.二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。若自变量的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时，取到最值.若，如图②，当时，；当时，.若，如图③，当，；当，.若，且，，如图④，当，；当，.1.（中考真题）设a、b是任意两个不等实数,我们规定：满足不等式a⩽x⩽b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足：当m⩽x⩽n时,有m⩽y⩽n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”。(1)反比例函数是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a，b的值。【解答】解：（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y＝在第一象限，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝2013；当x＝2013时，y＝1，所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y＝x；②当k＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y＝﹣x+m+n；（3）∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或；②当a＜2＜b时，此时二次函数y＝x2﹣x﹣的最小值是﹣＝a，根据“闭函数”的定义知，b＝a2﹣a﹣或b＝b2﹣b﹣；a）当b＝a2﹣a﹣时，由于b＝（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝＜2，不合题意，舍去；b）当b＝b2﹣b﹣时，解得b＝，由于b＞2，所以b＝；③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵＜0，∴舍去．综上所述，或．资料整理2．（中考真题）若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．(1)①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；(2)若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；(3)若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）解：①当时，则，即，，，随的增大而增大，，②若函数，当时，，，，当时，则，，综上所述，时，，时，，（2）解：对于函数，，，函数在第一象限内，随的增大而减小，，解得，当时，，，∵当时，随的增大而增大，当时，取得最小值，此时取得最大值，最大值为；（3）对于函数，，抛物线开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，当时，函数y的最大值等于，在时，①当时，即时，，，，的最小值为（当时），若，解得，但，故不合题意，故舍去；②当时，即时，，，，的最小值为（当时），若，解得，但，故不合题意，故舍去③当时，即时，，i)当时，即时，对称轴为，，抛物线开口向上，在上，当2时，有最小值，，解得；ii)当时，即时，，，，对称轴为，，抛物线开口向上，在上，当2时，有最小值，解得，综上所述，时，存在．3．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”①（

）

②（

）

③（

）（2）若点与点关于x的“H函数”的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求的值或取值范围；（3）若关于x的“H函数”（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．【详解】（1）①是“H函数”②是“H函数”③不是“H函数”；故答案为：√；√；×；（2）∵A,B是“H点”∴A,B关于原点对称，∴m=4,n=1∴A(1,4），B（-1，-4）代入，得，解得，又∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，∴-＞2，∴-＞2，∴-1＜a＜0，∵a+c=0，∴0＜c＜1，综上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜1；（3）∵是“H函数”，∴设H点为（p,q）和（-p,-q）,代入得，解得ap2+3c=0,2bp=q，∵p2＞0，∴a,c异号，∴ac＜0，∵a+b+c=0，∴b=-a-c，∵，∴，∴，∴c2＜4a2，∴＜4，∴-2＜＜2，∴-2＜＜0，设t=，则-2＜t＜0，设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0），∴x1,x2是方程=0的两根，∴====2=，又∵-2＜t＜0，∴2＜＜2．4.（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h＝ymax﹣ymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝ymax﹣ymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（）；②y＝﹣2x+2（）；③y＝x2（）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，∴y＝2x是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y＝﹣2x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y＝x2是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；∴y＝x2不是“极差常函数”，故答案为：×；当x＝0时，y＝q，∴函数与y轴的交点为（0，q），当y＝0时，x＝﹣，∴函数与x轴的交点为（﹣，0），∴S＝×|q|×|﹣|＝1，∴＝2，当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，∴p＝1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝x；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，∴p＝﹣1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x＝，∵b＝a+3，∴x＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a+3≤，∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，∵，∴2a+2﹣＞0，∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，∴≤2a2+5a﹣3≤9，∴≤4ah≤81．5.（雅实）若函数、满足，则称函数y是、的“融合函数”.例如，一次函数和二次函数，则、的“融合函数”为.（1）若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求k的值；（2）若为二次函数，且，在时取得最值，函数为一次函数，且、的“融合函数”为，当时，求函数的最小值（用含t的式子表示）；（3）若二次函数与一次函数，其中且，若它们的“融合函数”与x轴交点为、，求的取值范围.【解答】解：(1)由题意可得y1、y2的融合函数，将点代入，可得：，解得.∵，∴，∵y2为一次函数，∴，即，∴在x=t处取得最值，∴，即，∴，即，∴，对称轴：.①若时，即当时，，②若时，即当时，，③若时，即当时，.(3)y1、y2的融合函数，∵与y轴交于点、，∴，，∵，又∵，∴，∴，∵∴，∴，当时，，当时，，.6．（立信）已知：抛物线：（）．（1）若顶点坐标为，求和的值（用含的代数式表示）；（2）当时，求函数的最大值；（3）若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求，，的值；此时，若时，抛物线的最小值为，求的值．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），∴y＝a（x﹣1）2+1＝ax2﹣2ax+a+1，∴b＝﹣2a，c＝a+1；（2）∵y＝ax2+bx+c，a＞0，c＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点，∴|ax2+bx+c|≥0，∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0，∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，∴函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1；（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，∴方程组只有一组解，∴ax2+（b﹣m）x++m+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（b﹣m）2﹣4a（+m+c）＝0，整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，∵不论m为任何实数，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0恒成立，∴，∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．此时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k+1时，y的最小值为k，∴（k+1﹣1）2＝k，解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，∴k＝0；③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，∴（k﹣1）2＝k，解得：k＝或，∵k＞1，∴k＝，综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或．7．（长郡）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．【详解】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，∵1≤x≤3，∴k﹣1≤y≤3k﹣1，∵函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“k属和合函数”，∴（3k﹣1）﹣（k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝4；当k＜0时，y随x的增大而减小，∴3k﹣1≤y≤k﹣1，∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝﹣4，综上所述，k的值为4或﹣4；（2）∵反比例函数y＝，k＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合函数”，∴﹣＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，∴a﹣b＝﹣；（3）∵二次函数y＝﹣x2+2ax+3的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x＝﹣1时，y＝2﹣2a，当x＝1时，y＝2+2a，当x＝a时，y＝a2+3，①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有y最大值＝2﹣2a，当x＝1时，有y最小值＝2+2a∴（2﹣2a）﹣（2+2a）＝k•[1﹣（﹣1）]＝2k，∴k＝﹣2a，而a≤﹣1，∴k≥2；②如图2，当﹣1＜a≤0时，当x＝a时，有y最大值＝a2+3，当x＝1时，有y最小值＝2+2a，∴a2+3﹣（2+2a）＝2k，∴k＝，∴≤k＜2；③如图3，当0＜a≤1时，当x＝a时，有y最大值＝a2+3，当x＝﹣1时，有y最小值＝2﹣2a，∴a2+3﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝，∴＜k≤2；④如图4，当a＞1时，当x＝1时，有y最大值＝2+2a，当x＝﹣1时，有y最小值＝2﹣2a，∴（2+2a）﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝2a，∴k＞2．综上所述，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，k的取值范围为k≥．8．（师大附中博才）已知a、b是两个不相等的实数且，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有为正数，我们就称此函数是闭区间上的“t倍函数”．例如：正比例函数，当时，，则是上的“2倍函数”．(1)已知反比例函数是闭区间上的“2倍函数”，且，求的值；(2)①已知正比例函数是闭区间上的“t倍函数”，求t；②一次函数是闭区间上的“2倍函数”，求此函数的解析式．(3)若二次函数是闭区间上的“7倍函数”，求实数a、b的值．【详解】（1）已知反比例函数是闭区间上的“2倍函数”，当时，，当时，；当时，，又，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，，且，，又，，（2）①已知正比例函数，y随x的增大而增大，且当时，；当时，，当时，，是闭区间上的“1倍函数”，即②一次函数是闭区间上的“2倍函数”，当时，，若时，y随x的增大而增大，当，则；当，则，，，将代入，得，若时，函数解析式为若时，y随x的增大而减小，当时，；当时，，，若时，函数解析式为，综合以上分析，函数的解析式为或．（3）由二次函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，二次函数是闭区间上的“7倍函数”，当时，，若时，根据增减性，当时，；当时，，两式相减得：，，，将代入得：，或，当时，；当时，（舍去，）．若时，当时，，解得（舍去）或，当时，解得或，均不符合，舍去．若，时，当时，，，则时，，若，，舍去，当时，，则（舍去）或．符合题意．综上分析，，或者，．9．（长郡）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P（x，y）的勾股值，记为．(1)已知点A（1，3），B（，4），C（，），直接写出，，的值；(2)已知点D是直线上一点，且，求点D的坐标；(3)若抛物线与直线只有一个交点M，已知点M在第一象限，且．令，试求t的取值范围．【详解】（1）解：∵A（1，3），B（−2，4），C（+2，−2），∴[A]=|1|+|3|=4，[B]=|-2|+|4|=6，[C]=|+2|+|−2|=+2+2-=4；（2）设D(m，n)，∵D是直线y＝x+2上一点，且[D]＝4，∴，解得或，∴点D的坐标（1，3）或（-3，-1）；（3）由题意方程组只有一组实数解，消去y得，由题意，∴，∴方程可以化为，∴，∴，∵，∴或，解得或，∵点M在第一象限，∴，∵=，∵，∴．10．（雅礼）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b