2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区九年级上册数学期末联考试题含解析

2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区九上数学期末联考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

AEAD1

1.如图，在AABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且——=——=一，则SΔADE：S四边形BCED的值为（）

ABAC3

A.1：√3B,1：3C.1：8D.1：9

2.矩形的长为4,宽为3,它绕矩形长所在直线旋转一周形成几何体的全面积是（）

A.24乃B.33万C.56万D.42万

3.方程X2-X-I=O的根是（）

A-l+√5-l-√5„l+√31Y

ʌ.X1=——-——，X2=------——B.X1=---，x2=-

2

C.芭=1±走，X=上史D.没有实数根

'22

4.一元二次方程χ2-8χ-l=0配方后可变形为O

A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(χ-4)2=17D.(X—4)2=15

5.若2a=5b,贝!|巴=()

h

25

A.-B.-C.2D.5

52

6.若一元二次方程χ2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是()

A.a<lB.a≤4C.a<lD.a≥l

7.对于二次函数y=(X-I)?+2的图象，下列说法正确的是()

A.开口向下B.对称轴是x=-lC.与X轴有两个交点D.顶点坐标是(L2)

8.如图，AOC是由等腰直角AEOG经过位似变换得到的，位似中心在X轴的正半轴，已知EO=1,。点坐标为

0（2,0）,位似比为1:2,则两个三角形的位似中心尸点的坐标是（）

A.(g,θ)B.(1,0)C.(0,0)D.

9.下列关于X的方程中，一定是一元二次方程的为()

A.ax2+bx+c=QB.x2-2=(x+3)2

,3,

C.X2+---5=0D.X2=O

X

10.如图平行四边变形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC=2：3,AE交BD于F,贝!jSABFE：SAFDA等于()

A.2：5B.4：9C.4：25D.2：3

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.若关于X的一元二次方程依2一7χ-7=0有实数根，则左的取值范围是一

12.如图，将边长为4的正方形ABC。沿其对角线AC剪开，再把ΔABC沿着AD方向平移，得到V4QC,当两个

三角形重叠部分的面积为3时，则AA的长为

13.如图，在□J5C。中，AB=5,Ao=6,AD.AB,BC分别与。。相切于E、RG三点，过点C作OO的切线交

AD于点N,切点为M.当CNL4O时，。。的半径为.

14.若扇形的圆心角为90。，半径为6,则该扇形的弧长为.

15.若关于X的方程χJkx+9=0（k为常数）有两个相等的实数根，则k=.

16.△ABC与ANBC是位似图形，且AABC与AA，BC的位似比是1：2,已知AABC的面积是3,则BC的面积是

17.抛物线y=χ2-4x的对称轴为直线

4k

18.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，若点A在反比例函数V=—的图像上，点3在反比例函数y=2的图

XX

19.（10分）某校九年级（2）班A、B、C、。四位同学参加了校篮球队选拔.

（1）若从这四人中随机选取一人，恰好选中3参加校篮球队的概率是;

（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中8、C两位同学参加校篮球队的概率.

20.（6分）已知抛物线y=f+法一3（人是常数）经过点A（-l,0）.

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标.

（2）若点P（mj）在抛物线上，且点尸关于原点的对称点为尸

①当点尸落在该抛物线上时，求团的值；

②当点P'落在第二象限内，P'A?取得最小值时，求加的值.

21.（6分）在正方形ABCD中，AB=6,M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM,过点M作MN±CM,

交AB（或AB的延长线）于点N,连接CN.

感知：如图①，当M为BD的中点时，易证CM=MN.（不用证明）

探究：如图②，点M为对角线BD上任一点（不与B、D重合）.请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论.

应用：（1）直接写出AMNC的面积S的取值范围；

（2）若DM：DB=3:5,则AN与BN的数量关系是.

DCDC

22.(8分)如图L正方形AMG的边长为2a，点B在AE上,且Aβ=2∙

GF

□图】

(1)如图2.将线段AB绕点A逆时针旋转，设旋转角为α(θ<α<36θ),并以AB为边作正方形ABCD,连接

OG,E8,试问随着线段AB的旋转，BE与OG有怎样的数量关系？说明理由；

1«2

(2)如图3,在(1)的条件下，若点8恰好落在线段DG上，求点B走过的路径长(保留万).

23.(8分)如图，在平面直角坐标系中，AABC三个顶点的坐标分别为A(2,3)、B(1,1)、C(5,1).

(1)把ABC平移后，其中点A移到点4(5,5),面出平移后得到的AA旦G；

(2)把ʌʌ用G绕点Al按逆时针方向旋转90。，画出旋转后得到的入4田2。2,并求出旋转过程中点用经过的路径长

(结果保留根号和不).

24.(8分)如图，已知反比例函数y=8的图象与一次函数y=x+b的图象交于点4(1,4),点5(-4,n).

X

(1)求"和Z>的值；

(2)求a0A5的面积；

⑶直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量X的取值范围.

25.(10分)如图1,抛物线y=χ2+∕λχ+c与X轴交于A(Y,0),B(IQ)两点，过点3的直线y=H+l分别与y轴

及抛物线交于点C,。

(1)求直线和抛物线的表达式

(2)动点P从点8出发，在X轴上沿的方向以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为，秒，当/为

何值时，APDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的/的值.

(3)如图2,将直线BD沿>轴向下平移4个单位后，与X轴，,轴分别交于£,F两点,在抛物线的对称轴上是否

存在点M，在直线M上是否存在点N,使。M+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点"，N的坐标，若

不存在，请说明理由.

26.（10分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1,在建立平面直角坐标系后，AABC的顶点均在格点上.

（1）以点A为旋转中心，将AABC绕点A逆时针旋转90。得到AABlG,画出AABiCi.

（2）画出AABC关于原点。成中心对称的AA2b2G,若点C的坐标为（-4,-1）,则点。2的坐标为.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、C

【分析】易证AAOESZ∖A5C',然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得SAME：S四边形BCED的值.

-AEAD↑

【详解】V—NA=NA,

ABAC^"3

：・∆ADESAABC,

：.S^ADE:S^ABC=1:9,

工SAADE:S四边形BCED=ItS9

故选C.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是

解此题的关键.

2、D

【分析】旋转后的几何体是圆柱体，先确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的表面积公式计算即可求解.

【详解】解：π×3×2×4+π×32×2

=24π+18π

=42π(cm2)；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键.

3、C

【解析】先求出根的判别式b2-4ac=(-1)2-4×l×(-1)=5>0,然后根据一元二次方程的求根公式为

X/士扬-4竺,求出这个方程的根是X=-(T)±*-I'-4X1X(-口=生叵.故选配

2a2×12

4、C

【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得.

【详解】解：8χ-l=0,

∙"∙X2-8Λ+16=1+16»即(X-4)2=17,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键.

5、B

【分析】逆用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积.

【详解】解：因为2a=5b,

所以a：b=5；2；

~.∙“5

所以^Γ=7^

h2

故选B.

【点睛】

本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题.

6、C

【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式求解.

【详解】解：Y方程有实数根

Λ∆=4-4a>0,

解得a≤l

故选C∙

【点睛】

本题考查一元二次方根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键.

7、D

【解析】试题解析：二次函数y=（x-l）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1,2）,对称轴为直线x=l,抛物线与X

轴没有公共点.

故选D.

8^A

【分析】先确定G点的坐标，再结合D点坐标和位似比为1：2,求出A点的坐标；然后再求出直线AG的解析式，

直线AG与X的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标..

【详解】解：∙.∙^ADC与AEOG都是等腰直角三角形

AOE=OG=I

∙∙∙G点的坐标分别为（0,-1）

TD点坐标为D（2,0）,位似比为1：2,

∙∙∙A点的坐标为（2,2）

3

.∙.直线AG的解析式为y=yx-l

2

.∙.直线AG与X的交点坐标为（§，（））

二位似中心P点的坐标是（∣,o].

故答案为A.

【点睛】

本题考查了位似中心的相关知识，掌握位似中心是由位似图形的对应项点的连线的交点是解答本题的关键.

9、D

【解析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分

母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是L逐一判断即可.

【详解】解：A、当。=0时，αx1+⅛x+c=O,不是一元二次方程；

B、Xl-I=(X+3)1整理得，6x+ll=0,不是一元二次方程；

C、X2+--5=Q,不是整式方程，不是一元二次方程；

X

。、XI=0,是一元二次方程；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键.

10、C

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD〃BE,由平行得相似，即aBEFs∕∖DAF,再利用相似比解答本题.

【详解】，：BE：EC=2:3,

：.BE:BC=2:5,

∙.∙四边形ABc。是平行四边形，

ΛAD=BC,AD//BE,

二BE:AD=2:5,BEFSDAF,

：.BF:FD^BE:AD^2:5,

SBFE∙SFDA=4:25>

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质.正确运用相似三角形的相似比是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)

7

11、≥——⅛k≠l.

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到攵≠0且V=G7)2-4&?(7)?0,然后求出两个不等式的公共

部分即可.

【详解】解：根据题意得Z≠0且V=G7»4々？(7)?0,

,,7

解得：k≥一■^且k≠l.

4

7

故答案是：k≥一一且k≠l.

4

【点睛】

本题考查了一元二次方程aχ2+bx+c=l(a≠l)的根的判别式△=b2-4ac:当4>1,方程有两个不相等的实数根；当△=1,

方程有两个相等的实数根；当AVL方程没有实数根.

12、1或1

【分析】设AC、43'交于点E,DC、Ac交于点F,且设A4'=X,则//=AA'=X,=4一X,列出方

程即可解决问题.

【详解】设AC、A'8'交于点E,DC、AC'交于点F,且设AA=X,则46=幽'=χ,4〃=4一X,

重叠部分的面积为X(4-X),

由X(4-x)=3,

解得X=I或1.

即A4'=l或1.

故答案是1或1.

【点睛】

本题考查了平移的性质、菱形的判定和正方形的性质综合，准确分析题意是解题的关键.

13、2或1.5

【分析】根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.

【详解】解：设半径为r,

VAD,AB,BC分别与OO相切于E、尸、G三点，AB=5,AD=6

ΛGC=r,BG=BF=6-r,

.*.AF=5-(6-r)=r-l=AE

ND=6-(r-l)-r=7-2r,

在RtZiNDC中，NC2+ND2=CD2,

(7-r)2+(2r)2=S2,

解得r=2或1.5.

故答案为：2或15

【点睛】

本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质，正确得出线段关系，列出方程是解题关键.

14、3π

【分析】根据弧长公式/=3求解即可.

180

【详解】扇形的圆心角为90°,半径为6,

90万X6

则弧长/==3兀

180

故答案为：3π.

【点睛】

本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键.

15、±1

【分析】根据方程χJkx+9=0有两个相等的实数根，所以根的判别式452-42。=0,即1Λ4X1X9=0,然后解方程即可.

【详解】Y方程χ2+kx+9=0有两个相等的实数根，

ΛΔ=0,BPk2-4×l×9=0,解得k=±l.

故答案为±1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程aχ2+bx+c=0(a邦)的根的根判别式△=b2-4ac：当△>(),方程有两个不相等的实数根;当△=(),

方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

16、1

【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可.

【详解】解：∙.∙Z∖ABC与AABC是位似图形，位似比是1：2,

Λ∆ABC^∆A,B,C,,相似比是1:2,

.二△ABC与AA,BQ,的面积比是1：4,又AABC的面积是3,

的面积是1,

故答案为1.

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比

的平方是解题的关键.

17、x=l.

【分析】用对称轴公式直接求解.

b-4

【详解】抛物线y=3-4x的对称轴为直线X=-丁=-X=L

2a2

故答案为χ=l.

【点睛】

b

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式X=--是本题的解题关键..

2a

16

18、

~9

【分析】构造一线三垂直可得由相似三角形性质可得沁=（黑］,结合S/N84O=2得出

SΛAODIAoJ3

248

tjABCO=-，进而得出心℃=5,即可得出答案.

tjMOD99

【详解】解:过点8作BC_LX轴于点C,过点A作Ao_LX轴于点O,

.-.ZBOC+ZAOD=90°,

ZAOD+ZOAD=90°,

.∙.ΛBOC=ZOAD,

又NBCO=ZADo=9CP,

..ABCO^AODAf

Ro2

••・——=tanZBAO=-

AO39

.SABCo_4

∙∙S-9，

4

点A在反比例函数y=—的图像上，

X

:∙-×AD×DO=^xy=2,

148

SMCO=~^×BCxCO=§SMOD=§9

ΛW=7

经过点B的反比例函数图象在第二象限,

故反比例函数解析式为：丫=-瞿.即Z=弋•

故答案为：-与.

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，掌握反比例函数中k的几何意义和构造一线三垂

直模型得相似三角形，从而正确得出$08=5是解题关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）ɪ;（2）P（BC两位同学参加篮球队）=~

46

【分析】（1）根据概率公式P='（n次试验中，事件A出现m次）计算即可

n

⑵用列表法求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.

【详解】解：（l）P（B）=；

恰好选中B参加校篮球队的概率是,.

4

（2）列表格如下：

ABCD

A

(AB)(AC)(AD)

B

(BA)(BC)(BQ)

C

(CtA)(C,B)(CD)

D

(D1B)(Dc)

21

P（BC两位同学参加篮球队）=—=7

126

【点睛】

本题考查的是用列表法或树状图法求事件的概率问题，通过题目找出全部情况的总数与符合条件的情况数目与熟记概

率公式是解题的关键.

20、（Dy=（x-l）2-4,顶点的坐标为（1,-4）;（2）①町=JL%=—&；②〃?=2±巫.

【分析】（1）把坐标代入求出解析式，再化为顶点式即可求解；

（2）①由对称性可表示出F的坐标，再由P和F都在抛物线上，可得到m的方程，即可求出m的值；

②由点F在第二象限，可求出t的取值，利用两点间的距离公式可用t表示PM?,再由带你P'在抛物线上，可消去

ɪn,整理得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最小值时t的值，则可求出m的值.

【详解】⑴•••抛物线y=f+及一3经过点A(—1,0),

.∙.0=l—匕一3,解得b=-2,.∙.抛物线的解析式为y=/一2无一3.

Vy=尤2—2x-3=(x-l)2-4,.∙.顶点的坐标为(1,T).

(2)①由点P(加,。在抛物线y=/—2x—3上，有£=加一2加_3.

∙.∙P关于原点的对称点为P',有P'(τ%τ).

Λ-Z=(-w)2-2(-w)-3,即t=-τn2-2m+3,

nτ-2m—3——nr—Im+3»

解得n∖=ʌ/ɜ,nι2=.

②由题意知P'(τw,τ)在第二象限，；.一根<0,-t>0,即机>0,/<0.

则PmJ)在第四象限.

T抛物线y=/一2x-3的顶点坐标为(1,-4),Λ-4≤r<0.

过点P'作产"_LX轴，，为垂足，则”(—加,0).

TA(-1,0),t-m2-2m—3>

.∙.P'H^-12>AH^=(-w+l)^=m2-2m+∖=t+4.

当点A和〃不重合时，在用AP'A//中，P'=P'H2+AH2.

当点A和H重合时，AH=O,PA?=P"2,符合上式.

.,.p'A2=P'H2+AH2>即PT=r+r+4(-4≤z≤0).

记V=∕+∕+4(γ≤f≤o),则V=,+g)+£,

.∙.当Z=-二时，V取得最小值.

2

把,=—代入t=nr—2m—3,得一77=-2m—3,

22

曲徂2-√U2+√14

解得加I=——-——,m2=——-——，

由机>o,可知加=三叵不符合题意，.∙.m=2±巫.

22

【点睛】

此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质.

21、探究：见解析;应用：(D9≤S<1;(2)AN=6BN.

【分析】探究：如图①中，过M分别作ME〃AB交BC于E,MF〃BC交AB于F,证明AMFNgZkMEC(ASA)

即可解决问题.

应用：(D求出aMNC面积的最大值以及最小值即可解决问题.

(2)利用平行线分线段成比例定理求出AN,BN即可解决问题.

【详解】解：探究：如图①中，过M分别作ME〃AB交BC于E,MF〃BC交AB于F,

图①

则四边形BEMF是平行四边形，

Y四边形ABCD是正方形，

ΛZABC=90o,NABD=NCBD=NBME=45。，

二ME=BE,

.∙.平行四边形BEMF是正方形，

二ME=MF,

VCM±MN,

ΛZCMN=90o,

VZFME=90o,

ΛZCME=ZFMN,

Λ∆MFN^∆MEC(ASA),

ΛMN=MC;

应用：(1)当点M与D重合时，ACNM的面积最大，最大值为1,

当DM=BM时，ACNM的面积最小，最小值为9,

综上所述，9≤S<1.

(2)如图②中，

图②

由(1)得FM〃AD,EM√CD,

•AFCEDM_3

"AB^5C^BD^5,

VAN=BC=6,

ΛAF=3.6,CE=3.6,

V∆MFN^∆MEC,

ΛFN=EC=3.6,

ΛAN=7.2,BN=7.2-6=1.2,

ΛAN=6BN,

故答案为AN=6BN.

【点睛】

本题是四边形的综合问题，考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等

知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.

7»

22、(1)BE=DG;(2)—

6

【分析】(1)利用已知条件得出ABE^.ADG(SAS),从而可得出结论

⑵连接AC,交3。于连接CG,可得出CG=AG,接着可证明ACG是等边三角形.，再找出

NGAB=15。,/EAB=105。，最后利用弧长公式求解即可.

【详解】解：(1)BE=DG.

理由如下：

由题意，可知A5=A。=2,NGA。=/EAB=α.

又AE^AG,

.-.δABE^ADG(SAS).

..BE=DG.

(2)如图，连接AC,交BO于连接CG.

四边形ABCZ）是正方形，

r.AC与BO互相垂直平分.

点B在线段DG上,

OG垂直平分AC.

..CG=AG.

由题意，知AD=Cr>=2,

.∙.AC=2√2∙

又正方形AEFG的边长为2√Σ，

AC-AG-

...ACAG=CG,即ACG是等边三角形.

.∙.ZC4G=60o.

.∙.NI=ZC4G-Z2=60°-45°=15°.

.∙.ZEAB=Zl+/GAE=15。+90。=105°.

则点3走过的路径长就是以A为圆心，AB长为半径，且圆心角为105。的一段弧的弧长.

105×2πlπ

即ππ--------二—

1806

所以点3走过的路径长是7一4.

【点睛】

本题是一道利用旋转的性质来求解的题目，考查到的知识点有全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定，旋转的

性质以及求弧长的公式.综合性较强.

23、（1）详见解析；（2）画图详见解析，好万

2

【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描点，从而可得到AABC,利用点A和4的坐标关系可判断AABC先向右平移3

个单位，再向上平移2个单位得到ΔA4G,利用此平移规律找到片、C的坐标，然后描点即可得到aA4G;

（2）按要求画即可，其中旋转9（）度是关键,根据弧长公式计算即可.

【详解】解：（I）如图，z∖44G即为所求.

（2）如图，4482G即为所求，

VA414G绕点A按逆时针方向旋转得,

，点3经过的路径长是圆心角为90。，半径为：AM=JI2+22=石的扇形4用员的弧长，

∙*∙I=-×2π×∖β=吏-汽.

42

即点5经过的路径长为：且乃

2

“

9-

8-

7-

6-

5-【点睛】

4-

3-

2'

1e

OL^

本题考查了平移变换、旋转变换，解题关键在于掌握作图法则.

24、（1）-1；（2）7.5；（3）x>l或-4VxV0.

【分析】（1）把A点坐标分别代入反比例函数与一次函数解析式，求出k和b的值，把B点坐标代入反比例函数解析

式求出n的值即可；（2）设直线y=x+3与y轴的交点为C,由SAAOB=SaAOC+S^BOC,根据A、B两点坐标及

C点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）利用函数图像，根据A、B两点坐标即可得答案.

【详解】（1）把A点（1,4）分别代入反比例函数y=£一次函数y=x+b,

X

得k=lx4,l+b=4,

解得k=4,b=3,

4

•・,点B（-4,n）也在反比例函数y=—的图象上，

X

4

.∙.II=----=-1；

-4

（2）如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C,

V当X=O时，y=3,

ΛC(0,3),

∙*∙SΔΛOB=SΔAOC+SΔBOC=R—×3×14—×3×4=7.5>

22

(3)VB(-4,-1),A(1,4),

.∙.根据图象可知：当x>l或-4VXVO时，一次函数值大于反比例函数值.

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=&中k的几何意义，这里体现了数形

X

结合的思想.

BI1lλ∕2

1

25、(1)y=