2022-2023学年陕西省渭南市澄城县高一（下）期末数学试卷-普通用卷

2022-2023学年陕西省渭南市澄城县高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若集合4={-1,0,1},B=[0,1,2},则4nB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.[0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.已知复数z=(2--)(2+i),则z=()

A.3-iB.3+iC.-3+4iD.3+4i

3.已知命题p：BxER,2x-1<0,那么-^是()

A.3xGR,2x-1>0B.3xeR,2x-1>0

C.Vxe/?,2x-1<0D.Vxe/?,2x-1>0

4.已知sin。与cos。是方程/+gx+m=o的两个根，则实数m的值为()

A.B.5C.D.

5.在△力BC中，角4,B,C所对的边分别是，a,b,c,a=2,b=VT，B=24则cos4=()

A.6B.虫CTD.口

3243

6.在△ABC中，a=l,b=，？，A=45。，则满足此条件的三角形的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.无数个

7.若向量2=(1,1),3=(2,5)，c=(3,x),满足(81一3)1=30，则%=()

A.6B.5C.4D.3

8.若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为()

A.V-3B.C与D.3

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知函数/(x)、g(x)定义域均为R,且/'(X+4)+/(_%)=2,/(2x+l)为偶函数，若

g(x)=-/(2-x),则下面一定成立的是()

A./(0)=1B.g⑶=0

C./(2023)=/(3)=1D.g(2024)=g(0)=-1

10.光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加

且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生(这部分学生人数少于全校

学生人数)进行调查，并将调查结果绘制成了如图两个不完整的统计图：则()

A.选取的这部分学生的总人数为500人

B.合唱社团的人数占样本总量的40%

C.选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人

D.选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125

11.已知函数/'(x)=|sinx|+cos|x|,则下列结论正确的有()

A./(%)为偶函数

B./(x)的最小值为-

C./(%)在区间［一区一争上单调递增

D.方程f(x)=g在区间［0,4兀］内的所有根的和为87r

12.已知函数/'(x)=若a<b<c,且/(b)<f(c)</(a),则()

A.a<1B.b>1C.c>1D.ac>1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若把总长为207n的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是.

14.血263。皿203。+s讥83。5讥23。的值为.

15.从4,5,6,7这4个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，百位上的数字是质数、

个位上的数字是合数的概率为.

16.在△ABC中，若4B=4,AC=m,cosB=j,若AABC中存在且唯一，则△ABC面积的

最小值为；此时m的值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知集合4={x\2a—1<%<a+3),集合B={y\y=x+3,2<%<4}.

(I)当a=?时，求4nB及aUB；

(n)若anB=A,求实数a的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知函数/(%)的定义域是(0,+8),满足/(2)=1,无>1时/。)>0,对任意正实数x,y,都

有fQy)"(x)+f(y).

(1)求/⑴,”4)的值；

(2)证明：函数/'(%)在(0,+8)上是增函数；

(3)求不等式f(x)-/(%-3)>2的解集.

19.(本小题12.0分)

为了了解学生考试时的紧张程度，现对100名同学进行评估，打分区间为[50,100],得到频率

分布直方图如下，其中a,b,c成等差数列，且a=0.01.

⑴求b,c的值；

(2)现采用分层抽样的方式从紧张度值在[60,70),[70,80)中共抽取5名同学，再从这5名同学

中随机抽取2人，求至少有一名同学是紧张度值在[60,70)的概率.

20.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=4sinx-cos(x+3)+1.

(1)求函数/(x)的单调递增区间：

(2)将/(X)的图象向左平移期个单位,得到g(x)的图象,求y=g(x)+/(|),xe[/，刍的值域.

21.(本小题12.0分)

已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角4,B,C的对边，且2as=

⑴求4

(2)若a=2,则△ABC的面积为C，求b,c.

22.(本小题12.0分)

如图，在棱长为a的正方体ABCC—4iBiGDi中，P为DD1的中点.

(1)求BDi的长；

(2)求证：BO1〃平面APC.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】W：vA={-1,0,1}»B=[0,1,2)；

：.ACtB={0,1}.

故选：A.

进行交集的运算即可.

考查列举法的定义，以及交集的运算.

2.【答案】D

【解析】解：z=(2-；)(2+i)=(2+i)(2+i)=3+4i.

故选：D.

根据复数的乘法运算即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：根据题意，命题p：3%eR,2x-1<0,

那么-ip为：Vx€R,2x-1>0.

故选：D.

根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案.

本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：,•・s讥。与cos。是方程/+；%+?n=0的两个根，

・•・sind+cos0=两边平方得：(sin。+cosd)2=g,

・•・1+2sin9cos6=g,^sindcosd=一1.

BPm=sinOcosd=-

故选：D.

由一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数基本关系式求解.

本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查一元二次方程根与系数的关系，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为a=2,b=/%，B=2A,

由正弦定理可得急—,可得，L=―—,

sinBsinA2sinAcosA

所以。=焉，可得cosA=/=W=票

故选：C.

由已知利用二倍角的正弦公式以及正弦定理即可求解.

本题考查了二倍角的正弦公式以及正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为a=l,b=C，4=45。，

由正弦定理号=与，可得与=w，

解得sinB=?>1，

可得B不存在，即满足此条件的三角形的个数是0.

故选：

由已知结合正弦定理可求sbiB即可得解.

本题主要考查了正弦定理在三角形个数判断中的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：根据题意，向量五=(1,1),3=(2,5)，c=(3,x),

则8五一3=(6,3)，

若(83一万)々=30，则有(8五一万)々=18+3x=30，

解可得：%=4；

故选：C.

根据题意，由向量的坐标计算公式可得83-3=(6,3)，进而由数量积的计算公式可得(8五-尤)-

c=18+3x=30,解可得x的值，即可得答案.

本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式.

8.【答案】D

【解析】解：设球的半径为R,由题意可得4兀/?2=?兀R3,

解得R=3.

故选：D.

设球的半径为R,直接由球的表面积与体积相等列式求得R值.

本题考查球的表面积与体积公式，属基础题.

9.【答案】AD

【解析】解：由/(x+4)+/•(-x)=2,得函数f(x)关于(2,1)中心对称,

令》=-2得(2)=1,

・••f(2x+l)为偶函数，

・••/(I+2%)=/(I-2x),得f(x)关于％=，轴对称，

则"一x)=/(2+x)，

即/(x+4)+/(-%)=2等价为/(x+4)+/(2+%)=2,

即fQ+2)+f(x)=2,

得f(%+4)+f[2+x)=f[x+2)+f(x),

得/'(x+4)=/(%),即T=4是函数y=/(x)的周期；

•."(2)=1,.•./(())=/(2)=1,故A正确，

•••7=4是函数y=f(%)的周期，

••.”2023)=f(3),由已知条件无法求得/(3)=1,故C错误.

由。。)=一/(2-x)可知，9(3)=—/(—，)=一/(3)，所以B错误.

由g(x)=-/(2-X)可知两函数y=f(x)与y=g(x)关于(L0)中心对称，所以T=4是函数y=

g(x)的周期,

则g(2024)=g(0)=--(2)=-1,故。正确.

故答案选：AD.

根据条件判断f(x)关于(2,1)中心对称，同时判断/(x)关于x=1对称，根据对称性求出/(x)的周期

是4,利用函数对称性和周期性进行转化求解即可.

本题考查抽象函数的应用，根据条件判断函数f(x),g(x)的对称性和周期性，利用函数的对称性

和周期性进行转化求解是解决本题的关键，是中档题.

10.【答案】ABD

【解析】解：由题图知：选取人数为50+10%=500人，故合唱社团占比为需x100%=40%,

故AB正确，

所以机器人社团占比为1—20%-15%-10%-40%=15%,故该社团人数为500x15%=75

人，故C错误，

所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多(40%-15%)x500=125人，

故O正确.

故选：ABD.

根据题图数据分析选取人数、合唱社团占比、机器人社团占比及其人数，并判断两社团人数数量

关系，即可得答案.

本题考查频率分布直方图以及统计相关知识，属于中档题，

11.【答案】ACD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4函数/'(%)=|sinx|+cos|x|,其定义域为R,有

/(—x)—|sin(—x)|+cos|—x\=|sinx|+cos|x|—

/(%),f(x)为偶函数，故A正确;

对于B,由cos(—x)=cosx,得cos|x|=cosx,/(x)=|sinx|+cosx,f(x+2n)=|sin(x+2n)\+

cos(x+2?r)=|sinx|+cosx=/(x),

所以函数/'(x)是以27r为周期的周期函数，/(%)=|sinx|+cosx=

(sinx+cosx,xG[2kn,2kn:+兀),

(-sinx+cosx,xG[2kn+n,2kn+2TT),'G'

h/~^cos(x—7),x6[2kn,2kn+TT),

即/(x)==fkez,故函数的图象如图:

{V2cos(x+-),%£\2kn+n,2krt+2兀)，

所以函数fQ)的最小值为-1,所以2错误；

对于C,由函数的图象，当g时，/(%)=-sinx+cosx=V_2cos(x+^),函数/(x)单

调递增，所以C正确;

对于。，函数/'(x)与直线y=3在区间［0,4兀］有四个交点，

则方程/(x)=；在区间［0,4兀］有四个根与<刀2<%3<%4，目“/=超/=2兀，所以/+%2+

x3+x4=8n,故。正确•

故选:ACD.

根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查函数与方程的关系，涉及分段函数的性质，属于中档题.

12.【答案】AC

【解析】解：由题意得/(x)=\lgx\=X<1>作出其图象如图:

在(0,1)上，函数是减函数；在(1,+8)上，函数是增函数，

a<b<c,.•.若c<1,则/(a)>/(/?)>/(c),不合题意，［c>1,C正确；

若a21,则/(a)</(b)</(c),也不合题意，••.()<&<1,A正确；

结合图象可知b可大于1,可小于1或等于1,3错误；

由/(a)>/(c),可得一lga>Ige,：.lga+Ige<0,：.Igac<0,

故0<ac<1,D错误.

故选：AC.

作出函数/(x)=|lgx|的图象，根据题意分类讨论，可确定a,b,c的范围，可判断4B,C,由

/(a)>/(c),利用对数的运算可得加ac<0,可判断D.

本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了函数的图象变换，以及数形结合的数学思想，属

于中档题.

13.【答案】257n2

【解析】解：设矩形的一边为笛垢则另一边为^><(20-2%)=(10-％)小，

所以y=%(10-%)<广+(-—力2=25,

2

当且仅当％=10-即％=5时，ymax=25m.

故答案为:25m2.

设矩形的一边为xm,则另一边为2X(2O—2X)=(1O-X)M,然后利用矩形的面积公式及基本不

等式即可求解.

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题.

14.【答案】1

【解析】解：cos263°cos2030+sin830sin23°

=cos(180°+83°)cos(180°4-23°)+sin830sin23°

=sin83°sin230+cos830cos23°

=cos60°

1

=2'

故答案为：

利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值化简即可得解.

本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中

的应用，属于基础题.

15.【答案埒

【解析】解：从4,5,6,7这4个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，

有：456,465,457,475,467,476,546,564,547,574,567,576,645,654,647,674,

657,675,745,754,764,746,756,765,

故共有24个不同的三位数，

这些三位数中，百位上的数字是质数、个位上的数字是合数的有564,574,546,576,754,764,

746,756,共8个,

故所求的概率为盘=

故答案为：g.

列出所有的基本事件，找出所求事件的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

16.【答案】16n4门

93

【解析】解：设BC=a,△4BC面积为S,由余弦定理得c°sB=《士《=也生这=2，

2ac8a3

所以3a2—16a+48-37n2=0①，由题意△ABC中存在且唯一，所以方程①有唯一解，

所以4=(-16)2-4x3x(48-3m2)=0,解得m=警或一=—殍(舍去)，

代入方程①得a=由cosB=|及。<B<兀得sinB=V1—cos2B=三^，

所以S=:acsinB=x|x4x=16^>

此时三角形的三边为4悔,殍，满足三角形成立条件，且巾=警.

故答案为：竽，殍.

根据余弦定理及三角形唯一存在建立方程求解边长，利用同角函数基本关系求出sinB,代入面积

公式求解即可.

本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题.

17.【答案】解:(I)当a=|时,4={x[4={y\y=x+3,2<x<4}={y|5<x<7],

则AClB={x|5<x<y],4UB={x[4<x<7].

(口)•••ZnB=4则4是B的子集，

①当4=0时，2a-1>a+3,解得：a>4；

2,(1—1WQ+3

②当4#。时，2a-1>5,解得3<a<4,

a+3V7

综上所述,ae(3,4)U(4,+8).

【解析】(I)当a=|时，求得集合4根据交集、并集的运算求解即可；

(H)AnB=a,贝必是B的子集，根据集合之间的关系即可求解.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

18.【答案】解：(1)因为对任意正实数x,y,都有f(町)=f(x)+f(y),

所以f(l)=/(l)+f(l)，即〃1)=0，

因为/"(2)=1,

所以/(4)=/⑵+"2)=2.

(2)证明:由/'(盯)=/(%)+((y)得/1(盯)-f(x)=/(y)=〃芝)，

任取*i，x2e(0,+oo),且％>x2,则)>1,

-/(x2)=/'(2•)>o,即/(Xi)>/(x2),

所以函数f(x)在(0,+8)上是增函数；

(3)由(1)知，/(4)=2,

因为〃久)一/。-3)>2,

所以/(x)>f(x-3)+”4),即/(x)>/(4(x-3)),

由(2)知，函数/(x)在(0,+8)上是增函数；

X>0

所以卜。-3)>0,解得3<x<4,

x>4(%—3)

故不等式/Q)-f(x-3)>2的解集为{x|3<x<4}.

【解析】(1)根据已知条件及赋值法即可求解：

(2)根据已知条件及函数单调性的定义即可求解；

(3)利用(1)(2)的结论及函数的单调性即可求解.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)设公差为d,则b=a+d,c=a+2d,

由(0.01+0.015+0.01+d+0.025+0.01+2d)x10=1,解得d=0.01,

b=0.02,c=0.03,

(2)由(1)可得［60,70),［70,80)的人数分别为20,30,

利用分层抽样可得从［60,70)中抽取2人，表示为4B,从［70,80)中抽取3人，分别为C,D,E,

从这5名同学中随机抽取2人，共有10种，分别为AB,4C,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,

其中来自[60,70)的有共有7种，分别为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,

故至少有一名同学是紧张度值在[60,70)的概率为卷.

【解析】(1)根据频率分布直方图的纵坐标和等差数列的性质即可求出b，c的值.

(2)先利用分层抽样可得从[60,70)中抽取2人，表示为4,B,从[70,80)中抽取3人，分别为C,D,

E,再根据概率公式即可求出.

本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样，及古典概型的计算公式是解题的关键.

20.【答案】解:⑴由题,/(%)=4sinx(^cosx-sinx)+1=V"^sin2x4-cos2x=2sin(2x+凯

令2kir—<2x+^<2kn+与，解得上兀—%<kir+，，

40L3O

故有/"(x)的单调递增区间为[/OTkez.

(2)将f(x)=2sin(2x+*)的图象向左平移整个单位，

得到g(x)=2szn[2(x+卷)+g=-2cos(2x+1).

•••g(x)+居)=-2cos(2x+今+2sin[x+^)=­2[1-2sin2(x+^)]+2sin(x+看).

4t=2sin(x+4，则g(x)+居)=t2+t-2=(t+1)2-

当xe[-亨，刍时,X+看6[-看，争,t6[—1,2],

故当t=—"时，g(x)+居)