2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只

有一个是符合题目要求的.

1.（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

2.（4分）若点A(a+b,1)与点8(-5,a-b)关于原点对称,则点尸（ɑ,b）的坐标是（）

A.(2,3)B.(3,2)C.(-2,-3)D.(-3,2)

3.（4分）抛物线y=f-6x+9的顶点坐标是（)

A.(0,-3)B.(-3,0)C.(0,3)D.(3,0)

4.（4分）将方程/+6x=0配方成（x+a）2=方的形式，则小匕分别为)

A.a=6,b=0B.a=-6,b=0C.α=3,b=9D.a=-3,b=9

5.（4分）在平面直角坐标系内，抛物线y=∕-40v+2与X轴的一个交点是A（-1,0）,另一交点为3,

则AB的长为（）

A.2B.3C.6D.8

6.（4分）如图,。。是BC的外接圆，AC是。。的直径，点P在Oo上，若NACB=40°,则NBPC

的度数是（)

B.45C.50°D.55°

7.（4分）有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），

然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使

方框中Ro个白球同时变成红球（Ro为程序设定的常数）.若最初放入的白球数为400个，红球数为4

个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为了64个.则R）应满足的方程是（）

A.4（!+/?（））=64B.4（l+/?o）=400

C.4（1+??（））2=64D.4（!+/?（））2=400

8.（4分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及

世界数学发展产生过重要影响.在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道.原文：“今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为。。的直

径，弦AB_LC。于点E.CE=I寸，AB=Io寸，则可得直径CO的长为（）

A.13寸B.26寸C.18寸D.24寸

9.（4分）如图，将BC绕点C（0,-1）旋转180°得到△?!'B'C,设点A'的坐标为（4,b）,则

点A的坐标为（）

A.（-<7,-b）B.（-a,-⅛-1）C.（-<7,-b+∖）D.-a,-⅛-2）

10.（4分）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的

水平距离为6,”时，球达到最高点，此时球离地面3%已知球门高是2.44"?,若足球能射入球门，则小

明与球门的距离可能是（）

A.IOmB.8mC.6/nD.5m

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.（5分）若y=（m-I）"W-2x是二次函数，则∕n=.

12.（5分）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某

个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添

加在处（填写区域对应的序号）.

13.(5分)对于实数，小n,定义运算"※"：天※〃=m〃(m+n).例如，4JR2=4×2×(4+2)=48.若

Xi,X2是关于X的一元二次方程/-5x+4=0的两个实数根，则XiXx2=.

14.(5分)如图，AB是。。的直径，CD是弦，且。为源的中点.若No=30°,BC=2,解决下列问题：

(1)连接。C,则aOBC的形状是

(2)8。的长为.

三.(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.(8分)解下列一元二次方程：

(1)7-4X-5=0；

(2)2x(x+3)=X2+8X.

16.(8分)如图，将AABC绕点4逆时针旋转得到4A8'C1,延长CB交夕C于点£>,交AC'于点

E.若NBAB'=40°,求/C'DC的度数.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.(8分)如图，点A,B,C在。。上，余=2第，NA8C=38°,连接OA交BC于点M,求NAMC

的度数.

18.（8分）某网店专门销售某种品牌的学习用品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价X（元）

之间存在一次函数关系，如图所示.

（1）求y与X之间的函数关系式；

（2）当销售单价尤为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（10分）落一子而全局活.地摊经济一放开，不少地方出现了“千树万树梨花开”的景象，某人将每

件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经

试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件.

（1）写出每天所得的利润y（元）与售价X（元/件）之间的函数关系式.

（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？

20.（K）分）如图，在正方形48C。中，P是对角线AC上的一个动点（不与点A.C重合），连接BP,

将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,连接。尸交8C于点E,QP延长线与边4。交于点凡

（1）连接C。，求证：AP=CQ-,

（2）若正方形的边长为4,且尸C=3AP,求线段AP的长.

六.（本题满分12分）

21.（12分）如图所示，AABC在边长为的小正方形组成的网格中.

（1）将4ABC沿），轴正方向向上平移5个单位长度后，得到4A18∣C1,请作出AAIBICI,并求出AiBi

的长度；

（2）再将4Aι8ιCl绕坐标原点。顺时针旋转180°,⅛S∣JΔA2B2C2,

请作出^A282C2,并直接写出点氏的坐标.

七.（本题满分12分）

22.（12分）如图，四边形ABC。是Oo的内接四边形，BZ）是NABC的角平分线，过点。分别作。EL

AB,DFlBC,垂足分别为E、F.

(1)求证：AAEDgACFD;

(2)若AB=I0,BC=S,NABC=60°，求BO的长度.

八.（本题满分14分）

23.（14分）如图，二次函数yι=-∙∣x⅛+c的图象与X轴、y轴分别交于点A（-1,0）和点8（0,2）,

图象的对称轴交X轴于点C,一次函数”=如什"的图象经过点8、C.

（1）求二次函数的解析式），1和一次函数的解析式

(2)点P在X轴下方的二次函数图象上，且SZXACP=33,求点尸的坐标;

(3)结合图象，求当X取什么范围的值时，有yι≤*∙

2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只

有一个是符合题目要求的.

1.【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180°,如

果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线

折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【解答】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

2.【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于0,6的方程组，进而得出答案.

【解答】解：；点A（。+力，1）与点B（-5,关于原点对称，

.ʃa+b=5

1a-b=-l

解得：卜=2,

lb=3

故点P（4,⅛）的坐标是（2,3）.

故选:A,

3.【分析】将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标.

【解答】解：抛物线y=∕-6x+9=（X-3）2,

.∙.该抛物线的顶点坐标为（3,0）,

故选：D.

4.【分析】把方程两边加上9,然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到。、6的值.

【解答】解：X2+6X=0,

X2+6X+9=9,

（X+3）2=9,

所以4=3,b=9.

故选：C.

5.【分析】先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性得到8点坐标，从而得到AB的长.

【解答】解：∙.∙抛物线的对称轴为直线X=-二蛆=2,

2a

而抛物线y=αx2-44x+2与X轴的一个交点是A(-1,0),

；・抛物线y="∕-4αt+2与X轴的另一交点为B的坐标为(5,0),

.'.AB—5-(-1)=6.

故选：C.

6.【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∕ABC=90°,进而求出NCAB,根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：：AC是。。的直径，

ΛZABC=90°,

ΛZACB+ZCAB=90°,

VZΛCB=40o,

J.ZCAB=90°-40°=50°,

由圆周角定理得：ZBPC=/CAB=50°,

故选：C.

7.【分析】原有4个红球，1分钟后红球数为(4+4RO)个，2分钟新增加的红球数为X(4+4Ro)个，由2

分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论.

【解答】解：根据题意得：4Ro+4+Ro(4Ro+4)=64,

即：4(I+??())2=64；

故选：C.

8.【分析】根据垂径定理得出AE的长，再利用勾股定理求解.

【解答】解：连接OA,ABlCD,

由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=^AB=5,OE=OC-CE=OA-CE,

2

设半径为r寸，由勾股定理得，OA2=Afi2+OE2=4E2+(OA-CE)2,

即？=52+(r-1)2,

解得：r=13,

所以CD=2r=26,

即圆的直径为26寸.

故选：B.

D

9.【分析】设点A的坐标是（x,y）,根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求

解即可.

【解答】解：根据题意，点A、A'关于点C对称，

设点A的坐标是（x,y）,

则空空=0,½=-l,

22

解得X--a,y--b-2,

点A的坐标是（-4，-b-2）.

故选：D.

10.【分析】建立直角坐标系，根据题意求出函数解析式，求y<2.44对应的X的值.

【解答】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=4G-6）2+3,

抛物线解析式为y=（X-6）2+3,

当X=Io时，y=互，生<2.44,满足题意,

33

故选：A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

II.【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可.

【解答】解：由y=5-1)M+1-2X是二次函数，得

ʃImI+1=2

lm-l≠O

解得tn--1.

故答案为：-1.

12,【分析】根据中心对称图形的概念解答.

【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，

故答案为：②.

13,【分析】根据根与系数的关系可得XI+X2=5,XIX2=4,根据新定义的运算法则求解即可.

【解答】解：∙.”ι,X2是关于X的一元二次方程f-5x+4=0的两个实数根，

ΛJCI+X2=5,XIX2=4,

.∙.xιX%2=xιx2(ΛI+X2)=4X5=20,

故答案为：20.

14•【分析】(1)利用圆周角定理可得∕CO8=2NO=60°,然后再根据等边三角形的判定方法即可解答；

(2)连接0。，利用(1)的结论可得OB=BC=2,然后再根据已知可得益=前，从而可得/A。。=

NooB=90°,最后利用等腰直角三角形的性质即可解答.

【解答】解：(1)AOBC是等边三角形,

理由：如图：

•.∙/£>=30°,

ΛZCOB=2ZD=60o,

,.∙OC=OB,

...△OCB是等边三角形,

故答案为：等边三角形；

(2)连接。D,

•••△0C8是等边三角形，

：.OB=BC=I,

；。为窟的中点，

AAD=BD.

：.ZAOD=ZDOB=-ZA0B=9Q°,

2

"：OB=OD,

：.BD=®OB=2限,

故答案为：2&.

三.(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.【分析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

【解答】解：(I)X2-4X-5=0,

(X-5)(x+l)=0,

%-5=0或x+l=0,

x∖=5fX2=-1；

(2)2x(x+3)=X2+8X,

2r-+6x=x+8x,

Λ2-2X=0,

XG-2)=0,

X=O或X-2=0,

Xl=O,X2=2.

16.【分析】由旋转的性质得到∕BAC=N"AC',ZC=ZC1,进而推出NCAC'=40°,根据三角

形内角和定理证得/C'DC^ZCAC',即可求得/COC的度数.

【解答】解：Y将BC绕点A逆时针旋转得到△居&,

J.∕∖ABC^∕∖AB,C,

：.ZBAC=ZBfAC,,ZC=ZCz,

・；NBAB，=40°,

：.ZCACf=40o,

VZCDC=180o・NDEC'-Nu,NCAC'=180o-ZC-ZAEC,NDEC=ZAFC,

NC'DC=ZCACr=40o,

故NUQC的度数为40°∙

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.【分析】连接OCOB,根据圆周角定理推出NBoC的度数，再根据三角形外角的性质即可求解.

【解答】解：如图，连接OeOB,

VZABC=38°,

ΛZAOC=2ZABC=16o,

VAC=2AB,

∙,∙ZA0B=yZA0C=38°-

•：OC=OB,

ʌZOCB=ZOBC-∣(180o-ZBOC)

=/(180°-114°)

=33。,

ΛZAMC=ZOCB+ZCoA

=33°+76°

=109°.

18.【分析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案;

(2)直接利用销量X每件利润=总利润，进而得出答案.

【解答】解：（1）由题意得：（40k+b=300

I55k+b=150

解得：尸10.

lb=700

故y与X之间的函数关系式为：y=-10x+700;

(2)设利润为W=(χ-30)∙y=(χ-30)(-10x+700),

W=-I0X2+1000X-21000=-IO(X-50)2+4000,

V-10<0,

.∙.x=50时，W大=-10(50-50)2+4000=4000

答：当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元.

五.(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.【分析】(1)根据题中等量关系为：利润=(售价-进价)X售出件数，根据等量关系列出函数关系

式；

(2)将(1)中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值.

【解答】解：(1)由题意可得：y=(χ-8)[20-4(χ-9)J,

即y=-4∕+88x-448(9≤x≤14)；

(2)由⑴得:y=-4(χ-11)2+36,

.∙.当X=II时，y最大=36元，

答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元.

20.【分析】(1)由四边形ABC。是正方形，可得AB=8C,N4BC=90°.由图形旋转，可得BP=BQ,

NPBQ=90；从而，可证AAPB丝Z∖CQ8,故AP=CQ.

(2)如图.由四边形A8C。是正方形，NPAM=45°,故是等腰直角三角形且AM=P由勾

股定理，可得AC=4&,故4尸=&.

【解答】解：如图，过点尸作PM,AB于M,

(1)由题意得：PB=QB,∕PBQ=N2+N3=90°,

：四边形ABCD是正方形，

J.AB=CB,/ABC=/1+/2=90°,

ΛZ1=Z3,

在aAPB和aCQB中，

,AB=CB

<Nl=N3

BP=BQ

Λ∕∖ABP^/XCBQ(.SAS),

AP=CQ;

(2)由(1)知：ZABC=90°,AB=CB-,

在RtZ∖ABC中，NABC=90°,

Λ^C=VAB2+BC2=√42+42=4衣’

又∖∙PC=3AP,

.∖AC=AP+PC=AP+3AP=4AP=4yf2

：.AP=近,

故线段AP的长为√5∙

六.（本题满分12分）

21.【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A,B,C的对应点4,Bi,CI即可.

（2）利用旋转变换的性质分别作出Ai,Bi,。的对应点42,Bi,C2即可.

【解答】解：（1）如图所示，Z∖AιBιCι即为所求，AlBl=｛外+32=3&（cm）.

(2)如图，4A2B2C2即为所求，Bz(4,-4).

七.(本题满分12分)

22.【分析】(1)根据内接四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；

(2)根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可.

【解答】证明：(1)∙••四边形ABC。是。。的内接四边形，

ΛZA+ZBCO=180°,

又∙.∙NOCF+NBC0=18O°,

AZA=ZDCF,

:BD是NABC的角平分线，

DElAB,DFlBC,

IDE=DF,

NDEA=NF=90°,

在aAEQ与ACFD中

fZA=ZDCF

<NDEA=NF=90°，

DE=DF

Λ∆AED^∆CFD(AAS)

(2)V∆AED^∆CFD,

ΛAE=CF,BE=BF,

设AE=CF=X,则BE=10-χ,B尸=8+x,

即IO-X=8+x,

解得x=l,

在RtZkBFQ,NDBC=30°,设。F=y,则B