河北省唐山一中2024届数学高二年级上册期末调研模拟试题含解析

河北省唐山一中2024届数学高二上期末调研模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的

位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小

星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，002,00.,OQ分别

是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，则第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角约为()

C.2D.3

2.用反证法证明命题"a,BGN,如果而可以被5整除，那么a,B至少有1个能被5整除.”假设内容是()

A.a,b都能被5整除B.a,分都不能被5整除

C.a不能被5整除D.a,〜有1个不能被5整除

3.在平面直角坐标系中，已知一ABC的顶点4(—3,0),5(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上，则顶点C的轨迹方

程为O

2222

A.土一二x>2)B±-二1(%>3)

4595

2222

c.^-+Z-=l(O<x<2)D.A-+^=1(O<X<3)

4.已知命题。：若直线/的方向向量与平面a的法向量垂直，贝“〃。；命题小等轴双曲线的离心率为0,则下

列命题是真命题的是()

b.P八qB.(-、p)八(-q)

C.pv(->q)

5.已知圆弓：。—2)2+(,一3)2=1,圆C2：(x—3)2+(y—4)2=9,M,N分别是圆G，C2上的动点，尸为x轴上的

动点，则以|PM|+|PN|的最小值为()

A50-4B.V17-1

C.6-272D.V17

6.设圆a：(x-l)2+(y-l)2=9和圆。2：(x+iy+(y+2)2=4交于A,B两点,则线段A8所在直线的方程为()

A.2x+3y+4=0B.3x—2y+1—0

C.2x+3y—3—0D.3x—2y=0

22

7.已知点R是双曲线5-台=1的左焦点，定点A(L4),P是双曲线右支上动点，则|尸尸|+「山的最小值为().

A.7B.8

C.9D.10

8.三棱柱ABC—4耳G中，AB=a，AC=b，A,A=c9若B1M=2MC、,则AM=()

12,21

A.-ciH—bcB.一ciH—b7c

3333

127——2-1

C.—ciH—bcD・-a—br+c

3333

9.如图，四面体0-A5C,G是底面△ABC的重心，OA=a,OB=b,OC=c,则OG=()

o

12,2111

A—a+—b+—cB.—aT—bzH—c

333333

22-22-21

C.—ci-\—bH—cD.—aH—bH—C

333333

x+y-l>0

10.已知实数，，y满足＜%-y-1«。，则z=x+y的最大值为()

x+2y-2<0

54

A.-B.-

33

C.2D.l

333

11.已知X=log25,,=22，z=—,则下列判断正确的是()

2

A.x<z<yB.x<y<z

C.z<x<yD.z<y<x

12.如图，在正方体ABC。—中，AB+B©+DDi=()

A.*B.AQ

C.BXDD.BD[

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=sinx+2cos%—l在点处的切线方程为

22

14.已知点尸是双曲线工-匕=1右支上的一点，且以点尸及焦点6,B为定点的三角形的面积为4,则点尸的坐标

124一

是_____________

15.写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在y轴上的双曲线标准方程_________.

16.中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之

意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯

笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）阿基米德（公元前287年…公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，

他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率乃等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆

22

C:=+多=1（。〉6〉0）的面积等于2兀，且椭圆C的焦距为.

ab

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P（4,0）是％轴上的定点，直线/与椭圆C交于不同的两点AB,已知A关于丁轴的对称点为河，3点关于原

点的对称点为N,已知P、M,N三点共线，试探究直线/是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说

明理由.

18.（12分）在ABC中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,^.ccosB+bcosC=--—

2cosA

（1）求角A

（2）若0=26，b+c=6,求ABC的面积

19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，已知直线/：mx—（2—机）y—4=0与直线“：x+y—2=0的交

点M在第一三象限的角平分线上.

（1）求实数m的值；

（2）若点P在直线/上且|PM|=日|PO|,求点尸的坐标.

22

20.（12分）已知椭圆C:j+==l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为过右焦点工作直线/交C于

ab

4（.％）,5（々，%），其中X〉0,%<0，A幽的周长为4后，。的离心率为弓.

（1）求C的方程；

（2）已知△AKg的重心为G,设54G和的面积比为a，求实数X的取值范围.

21.（12分）如图，正方体ABCD-A4CQ的棱长为2,E、歹分别是CB、CD的中点，点M在棱CG

上，CM=tCC,(0<?<1).

(I)三棱锥c-EK0、的体积分别为X、％,当f为何值时，匕最大？最大值为多少？

(II)若4。//平面耳2M，证明：平面平面耳2M.

22.(10分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是矩形，M是”1的中点，N是的中点，PZU平面A5C。,

且PD=CD=4,AD=2

(1)求证：肱V〃平面PC。；

(2)求平面M5C与平面A5CZ)夹角的余弦值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】由五角星的内角为36。，可知ZBAO,=18°,又。Q平分第三颗小星的一个角，过。3作x轴平行线O3E,

则/。。3'=["16,即可求出直线A3的倾斜角.

【题目详解】Q。,。都为五角星的中心点，二。03平分第三颗小星的一个角，

又五角星的内角为36。，可知NB4Q=18°,

过Q作左轴平行线QE，则/。。3'=1"16,所以直线A3的倾斜角为18°—16°=2°,

故选：C

【题目点拨】关键点点睛：本题考查直线倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线AB的倾斜角，通过几何关

系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.

2、B

【解题分析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a,

bGN,如果ab可被5整除，那么a,b至少有1个能被5整除.”的否定是“a,b都不能被5整除”

考点：反证法

3、A

【解题分析】根据图可得：IC4I-|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、3为焦点，实轴长为6的双

曲线的右支，从而写出其方程即得

【题目详解】解：如图设ABC与圆切点分别为。、E、F,

则有|A£>|=|AE|=5,\BF\=\BE\=1,\CD\=\CF\,

所以|C4|-|CB|=5-1=4

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、3为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），

即c=3、a=2,又02=储+〃2,所以匕2=5，

22

所以方程为L—2L=I（X〉2）

45V7

故选：A

【解题分析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.

【题目详解】因为“若直线/的方向向量与平面。的法向量垂直，贝！1/〃。或/ua"，所以〃为假命题;

对于等轴双曲线，a=b,所以离心率为e=$='♦+"=叵1=后,所以g为真命题.

aaa

所以夕八4假命题，故A错误；

(—>p)△(—>《)为假命题，故B错误;

为假命题，故C错误;

为真命题，故D正确.

故选:D

5、A

【解题分析】求出圆G关于x轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径，然后求解圆A与圆G的圆心距减去两个圆的半

径和，即可求出|/>m|+|9|的最小值.

【题目详解】圆G关于x轴对称圆的圆心坐标42,-3),半径为1,圆的圆心坐标为(3,4),半径为3,

易知，当三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，

\PM\+\PN\的最小值为圆A与圆G的圆心距减去两个圆的半径和,

即：|叫1-3-1=J(3-2)2+(_3-q_4=5挺-4.

故选：A.

注意：9至12题为多选题

6、A

【解题分析】将两圆的方程相减，即可求两圆相交弦所在直线的方程.

【题目详解】设4(和弘),3(々,巴)，

因为圆G：(x-l)2+(y-l)2=9①和圆G：(x+iy+(y+2)2=4②交于A,3两点

所以由①-②得：T龙—6y—8=0,

即2x+3y+4=0,

故A(Xj，必),Bg,上)坐标满足方程2x+3y+4=。，

又过AB的直线唯一确定，

即直线AB的方程为2%+3y+4=0.

故选：A

7、C

【解题分析】设双曲线的右焦点为作出图形，根据双曲线的定义可得|PE|=|PM|+4,可得出

I尸盟+|?H=4+|尸M+利用A、尸、拉三点共线时|PP|+|P4|取得最小值即可得解.

22

【题目详解】•••厂是双曲线上-匕=1的左焦点，

412

a=2,b=2^/^,c=4,尸(-4,0),

设双曲线的右焦点为则M(4,0),

由双曲线的定义可得忙可—|0叫=4,则忸同=忸闸+4,

22

所以归月+|刑=4+忸M+|网>4+|AM|=4+7(4-1)+(0-4)=4+5=9,

当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，

因此，|尸耳+|可|的最小值为9.

故选：C.

【题目点拨】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：

(1)求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题;

(2)圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.

8、A

【解题分析】利用空间向量线性运算及基本定理结合图形即可得出答案.

【题目详解】解：由A3=a，AC=b>AA=C，若4"=2MG，

得AM=想+AG+6"

=AAl+AC+^ClBi

=AAl+AC+^CB

=A41+AC+|(AB-AC

=M+|AC+|AB

33

故选：A.

9、B

【解题分析】根据空间向量的加减运算推出OG=；(OA+O3+OC),进而得出结果.

【题目详解】因为OA=〃,OB=bOC=c，

1

所以OG=OA+AG=OA+§(A3+AC)

=OA+-(OB-OA+OC-OA)

1--1-1-1-

=-{OA+OB+OQ=-a+-b+-c,

3333

故选:B

10、A

【解题分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求出z的最大值.

【题目详解】作出可行域如图所示，

由2=工+y可知丁=一九+2,此直线可用由直线y=—%平移得到，求Z的最大值，即直线y=—X+2的截距最大,

卜x+-21y—二2=。0的交点4]_415

当直线y=—x+z过直线《时Z取最大值，即Zmax=——F—=—

333

故选：A

【解题分析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定苍％z的大小关系，则问题得解.

32l3

【题目详解】因为x=log2w<log22=l，即x<l；又y=22=2后〉±=z〉l,故，>z>x.

22

故选：A.

12、B

【解题分析】根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有AB+34=A4，A4+4G=AG，即可知

AB+BC+DDt所表示的向量.

【题目详解】•；DD[=BB、,而AB+34=AB],AB]+4G=A£,

AB+4G+DDX=AC(,

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2x+y—%=0

【解题分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.

【题目详解】y=cosx—2sinx,—2,曲线y=sinx+2cos%-1在点处的切线方程为

y=-2——,即2,x+y—7r=0

故答案为：2x+y-7r=0

14、（V15,±l）

22

【解题分析】由题可得P到X轴的距离为1,把y=±l代入土-匕=1,得X=可得P点坐标

124

【题目详解】设P（x,y）,x>0

由题意知c2=/+/=12+4=16,所以c=4,

则耳（T,0）,耳（4,0）

由题意可得Sp*2=TGg||y|=4|y|=4ny=±l,

22

把,=±1代入土上=1,得“历，

124

所以P点坐标为（、后±1）

故答案为：（而'，土1）

2

15、匕一炉=1（答案不唯一）

3

【解题分析】根据已知条件写出一个符合条件的方程即可.

22_

【题目详解】如（-龙2=1,焦点在y轴上，令3―#=0,得渐近线方程为'二士也》，

其中y=氐的倾斜角为60.

2

故答案为：乙―必=1（答案不唯一）.

3

16、3

【解题分析】根据给定条件，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，利用等比数列前〃项和公式计算作答.

【题目详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列｛«„｝（«eN*/<9）,公比q=2,前9项和为1533,

于是得S9="；—：）=1533,解得q=3,

所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.

故答案为：3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）C:—+/=1;（2）直线恒过定点（一1,0）.

4-

22

【解题分析】（1）根据椭圆C的焦距可求出2c,由椭圆。：二+3=1（。〉6〉0）的面积等于27得〃必=2»,求

a"b~

出a,b,即可求出椭圆C的标准方程；

（2）设直线/:%=阳+/,4>1，%）,3>2，%），进而写出为N两点坐标，将直线/：%=阳+。与椭圆。的方

程联立，根据韦达定理求%+%，%,%，由尸、加、N三点共线可知号物=kpN,将为+%，%,%代入并化简,

得到想方的关系式，分析可知/经过的定点坐标.

22

【题目详解】（1）椭圆C:j+2r=l（a〉6〉0）的面积等于2»,.ab=2»，

ab

:.ab=2,椭圆。的焦距为26，.,.ZCMZVL

ab=2

…2c=2^/^a=2,b=1,

«2+b2=c2

r2

二椭圆方程为C:土+y2=l

4-

（2）设直线/：%=阳+乙4>1，必）,3（孙力）,则〃（-再,％）,Nlf,—yJ,P、"、N三点共线，得

+4)+y2a+4)=0,

直线/:%=阳+/与椭圆。交于48两点，石=myx+t,x2=my2+tyl(my2+t+4)+y2(myi+t+4)=0,

，2冲M+”+4)(%+%)=°，

2mt

%+%=―-T~7

m+4

x=my+t

〃—4

由＜X22J得(加+4)y2+2mty+4—4=0,<

—+y=1

I4-

A>0

2mt

X+%=―-T-T

m+4

/—4

代入2冲［%+。+4)(%+%)=。中，

加2+4〉产

产-4(2mt

—+(/+4)—=0,r.2根(产-4)+«+4)(—27加)=0,

m2+4'\m2+4

8m(/+l)=0

当机=0,直线/方程为x=/,则M、N重合，不符合题意;

当/=-1时，直线/：X=阳-1,所以直线/恒过定点（T0）.

18、(1)A=一

3

⑵26.

【解题分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行求解即可;

（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.

【小问1详解】

cosA(ccosB+b-cosC)=-|-,

sinyl.

由正弦定理知,cosA-(sinC-cosB+sinBcosC)=——

即cosAsiMB+Cb^l^

又5+C=7i—A,且sinAwO.所以cosA=—,

2

由于Ae（O,乃）.所以A=q

【小问2详解】

由余弦定理得：a2=除+（?-2bc-cosA，

12=/J2+—匕。=(人+_3bc

又Z>+c=6,所以A=8

所以5AM=—-sinA=—x8x-2^3.

△AABC222

19、(1)3(2)(2,-2)

【解题分析】(i)求出直线人与直线y=x的交点坐标，代入直线/的方程可得加值；

(2)设P(a,4-3a),代入已知等式可求得。值，得坐标

【小问1详解】

x+y-2=0[x=l

由得〈,即M(LD

[y=xU=i

所以加一(2)-4=。，m=3

【小问2详解】

由(1)直线/方程是3x+y—4=0,p在直线/上，设P(a,4—3a),

则7(«-l)2+(4-3a-l)2=与&2+(4—3a)2,解得a=2,

所以P点坐标为(2,-2)

r2

20、(1)—+y2=1

2

(6-726+0、

(2)112，12J

【解题分析】(1)已知焦点弦三角形的周长，以及离心率求椭圆方程，待定系数直接求解即可.

(2)第一步设点设直线，第二步联立方程韦达定理，第三步条件转化，利用三角形等面积法，列方程，第四步利用韦

达定理进行转化，计算即可.

【小问1详解】

因为A3片的周长为4夜，。的离心率为日，

所以4a=40，所以a=四，c=l,

a2

又Z?2="2—=1，

2

所以椭圆C的方程为r工+>2=1.

2

【小问2详解】

方法一：(-1,0),居=(1,0),

+

〔的面积为B£GBOF、GOBAOF+J.AOB

BFGS=S+SGOFi+S=SBOFiX

111/、1/c、

=-]%+7%+%(%―%)=§(%-2%)，

A5耳的面积为

SABFi=yl-y2,

i%—2y2y32—2

则几=力一不，得=歹一T①

3(%—%)%32-1

设/:%=。+1,与椭圆C方程联立，消去y得（5+2b2+2h一1=0,

由韦达定理得力+%=-1，/为=」式•

r+2r+2

令％=

my2,②

m<0

则,（加+1）%=，1^可得也匹=王

mr+2

2一1

当方=0时，(1+1)=0

m

(m+1)2-4/、

4

当two时，m=­fN-，。)

1+?

所以T<('"+1)«0,又加<0

m

解得-3-2后<m<-3+2V2@

由①②③得-3-2瓜，＜-3+2后，解得嗒＜几＜喈.

所以实数彳的取值范围是

方法二：同方法一可得

BF。的面积为SBFG=—（y；-2_y2）,

ABF1的面积为SABF1=%-%，

°A-2

则％=4尸得3几=看一=1+」一,①

%y2

设/：X=O+1,与椭圆C方程联立，消去y得，2+2）丁+2打—1=0,

由韦达定理得%+%

tI2tI2

所以2+匹=短+%、（乂+%）12=正-2

%%%%%%厂+2

因为feR,所以-6<2+&〈-2

%X

解得-3-2也<且<-3+2/②

%

由①②解得且正<2<丝旦.

1212

（6-拒6+0）

所以实数彳的取值范围是V-，T-.

I1212J

21、（I）t=（II）见解析.

29

【解题分析】（I）由题可知，CM=2t,QM=2-2t,由K=；SMCF><CM和匕=；SAGB,4><GM，结合基本不

等式可求最值；

（II）连接4G交瓦R于点。，则。为4G的中点，可得M为CG中点，易证得ACLEZ"得平

面ABC。，所以A4］，ER,进而可证得