2023-2024学年高二年级第一学期高二数学期末考试卷

2023-2024学年第一学期期末考试

XX高级中学高二数学试题卷

考试时间：120分钟分数：150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、班级等填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用0.5mm黑色字迹的中性笔直接在答题卡上对应的答题区域内作答，写

在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，考生只需交答题卡。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知直线乙过A(2,2⑹，8(4,0)两点，且/J*则直线的倾斜角为()

A.巴B.&C.生D.

6336

22

2.已知双曲线C?-3=1(。>0/>0)的离心率为后则渐近线方程是()

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±y/3xD.y=±-x

23

3.“a=3”是“直线6+2y+3a=0和直线3x+(a-l)y+7=0平行”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D,既非充分也非必要条件

22

4.M是双曲线亍暇=1上一点，点耳耳分别是双曲线左右焦点，若|回=5,则配卜

()

A.9或1B.1C.9D.9或2

5.已知圆C:f+/=1,直线/：尸2户6相交，那么实数b的取值范围是()

A.(-3,1)B.(-°°,-75)C.(6，+co)D.(一乖,石)

6.已知耳、B是椭圆的两个焦点，满足5,皿的点/总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是

().

A.(哈B.(0,今C(*,1)

22

7.已知椭圆方程为=+4=1（。>6>0）,其右焦点为尸（4,0）,过点尸的直线交椭圆与48两点.若

ab

四的中点坐标为（1，T）,则椭圆的方程为（）

8.已知直线/：（m-l）x+（m+l）y-3»i+l=O与圆。：尤2+产=30交于A,B两点,当|AB|取得最小值时,

过A,8分别作/的垂线与x轴交于C,。两点，贝!I|CD|=（）

A.875B.975C.10>/5D.14

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项

是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得。分.

22

9.已知方程式+工=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）

4-tt-1

A.当1</<4时，曲线C是椭圆

B.当/>4或/<1时，曲线C是双曲线

C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<,<3

D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，贝!k>4

10.下列说法正确的是（）

「「5万、

A.直线％cos6+"y+2=0的倾斜角的范围是0,—U—，^

B.直线（3+m）x+4,-3+3m=0（m£R）恒过定点（-3,-3）

C.曲线G：/+/+2x=0与曲线。2：/+'2-4x—8y+机=0恰有三条公切线，则机=4

D.方程/X+4）2+.一-4）2+1=6表示的曲线是双曲线的右支

22

11.已知双曲线C：2-匕=1的焦点分别为£，F],则下列结论正确的是（）

A.渐近线方程为3x±4y=0

22

B.双曲线C与椭圆二+匕=1的离心率互为倒数

259

C.若双曲线C上一点P满足|P耳|=2怛阊，则△即入的周长为28

D.若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6

22

12.已知椭圆M:：+!=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳卜百6（疯0）,过点尸?且垂直于,轴

的直线与该椭圆相交于A,B两点,且|旗|=1,点尸在该椭圆上，则下列说法正确的是（）

A.存在点尸，使得/的尸弱=90°

B.若/耳产工=60。，贝！JS△再时=[

C.满足鸟为等腰三角形的点尸只有2个

D.|尸胤-归阊的取值范围为12后,2否]

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.与椭圆工+尤=1有公共焦点，且离心率为:的双曲线方程为___.

1232

14.求圆/+丁一4>+3=0上的动点P至U直线3x-4y-2=。星巨离的最大值__.

15.已知双曲线工-21=1（机和椭圆L+2L=1有相同的焦点，则上+?的最小值为___.

mn54mn

16.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由

光源点4（0,-2）射出的两条光线与6。：炉+,2=1分别相切于点加、N,称两射线AN上切点上方

部分的射线与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆。的"背面".若以点网氏2）为圆心，：•为半径的圆

处于。的"背面"，贝!I厂的最大值为.

四、解答题：（70分，17题10分，其他题每题12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知菱形ABCD中，A（-4,7）,C（2,-3）,BC边所在直线过点P（5,9）.求：

⑴AD边所在直线的方程；

（2）对角线8。所在直线的方程.

18.已知圆C:/+y2+2x-4y-4=0.

⑴从圆外一点P（2,D向圆引切线，求切线方程；

⑵若圆C2:Y+V=4与圆。相交于O,E两点，求线段DE的长.

JT

19.如图，在三棱柱A5C-A笈G中，平面B4GC,已知/BCG=；,BC=1,AB=ClC=2,点

E是棱CG的中点.

⑴求证：£3,平面ABC；

(2)求平面AB,E与平面4瓦£夹角的余弦值；

22

20.已知圆G：(尤+3)2+y2=9,C2:(x-3)+y=l,动圆M与圆G，C?均外切，记圆心知的轨迹为曲

线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵斜率为4的直线/过点G，且与曲线c交于A,8两点，求AG/出的面积.

，v21

21.已知椭圆+的离心率为左、右焦点分别为耳，F2,。为坐标原点，且

I咽=4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点(2,0)的直线/与椭圆C交于M,N两点，点08,0),求证：kMQ+kNQ=0.

22.已知椭圆C:1y+V=l(a>b>0)的左焦点为尸(-2,0),点2,

在C上.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过产的两条互相垂直的直线分别交C于A8两点和P,Q两点，若的中点分别为M,N,证明：直

线MN必过定点，并求出此定点坐标.

2023-2024学年第一学期期中考试

盐田高级中学高二数学答案

1.A

【详解】因为直线，过A（2,2右），3（4,0）两点，可得勺=叱8=一若，又因为/1心所以

k,-k,=-y/3xk,=-1,可得用=立，贝！Itana=走，因为aeQn）,所以a=$,故选：A.

’1””与336

2.B

【详解】e=-=y[5,[=5==^,2=2,故选：B

aaaa

3.A

【详解】若两直线平行且不重合，则3=2工号二"=3或。=-2,“=3是两直线平行的充分不必要条

3a-17

件.

【详解】M是双曲线;=1上一点，所以]；：；，由双曲线定义可知|幽团-幽剧=2。=4,

所以|崛|=1或者9,^\MF2\＞c-a=2,所以眼引=9,故选：C

5.D

【详解】圆C的圆心为（0,0）,半径为1,由于圆与直线/相交，所以瞿＜1,解得-0＜。＜石.故选：D

6.B

【详解】由已知满足用耳上峥的点M总在椭圆内部，则以0为圆心c为半径的圆在椭圆内部，与椭

圆没有公共点，则cvZ?,//＜。2一，,.2,故选：B

22

7.C

=i

【详解】设A（”）I（%2,%）,代入椭圆的方程可得4+冬=1,4+4-两式相减可得：

abab

。一%）9+々）+（%一%）6+幻=0.由匹+%=2,必+%=-2,&二及="=：,代入上式可得:

abx\~xi1-43

2-21222"Il

/+#x：=o,化为/=3〃.又C=4,c=a-b,得/=24,廿=8.国椭圆的方程为:---1----1.

248

8.C

【详解】圆。：必+丁=30,圆心为0(0,0),半径r=/:(x+y-3)m一x+y+l=0

x=2/、

,由得丫=1，/过定点尸(2,1).

—x+y+l=0

设/与x轴交于点E,当|明最小时，OP1AB,%=；,

%AB=—2,贝!I

tanZAEO=2,cos/AEO=

5

\AE\..

因为|州=石，所以|AB|=2j30-5=10.在ZXACE中,\CE\=—!―!—，在△ABDE中,

cosZAEO

BE\BE\

|叶\\，所以|C£>|=|CE|+|£>'=网.幽网=10瓶.选：C.

cos/BEDcosZAEOcosZAEOcosZAEOcosZAEO

9.BC

【详解】对于A,当”|5时，4-?=|3=f-l,则曲线C是圆，A错误；

对于B,当r>4或/<1时，(4—)"1)<0,曲线C是双曲线，B正确；

对于C,若曲线C是焦点在X轴上的椭圆，贝!|4T>r-1>0,解得l<r<|,C正确；

对于D,若曲线C是焦点在〉轴上的椭圆，则…1>4—>0,解得［</<4,D错误.故选：BC.

10.ACD

【详解】对于A,直线的斜率％=-^-cosOE［-今当，，直线的倾斜角的范围是［。电旁㈤故A正

确；对于B：直线方程整理为：%(x+3)+(3x+4y-3)=0,

由0x分+3一=30=。，解得\x\==—33'故该直线恒过定点®)，故B错误;

对于C•.•曲线C/(x+l)2+y2=i曲线G«_2)2+(y-钎=20-根有三条公切线，两条曲线均为圆，故

20-m>0,即机<20,且两圆的位置关系为外切，故圆心、星巨d=|GG|="(2+l)2+42=5=j20—加+1,解

得：m=4,故C正确；

对于D,设P(x,y),A(-4,0),8(4,0),贝！］方程等价为|尸8|=6<|AB|=8,则根据双曲线的定义可

知，P的轨迹是以A、8为焦点的双曲线的右支，故D正确；故选：ACD.

11.CD

【详解】设双曲线C的实轴长为2a,虚轴长为劝，焦距2c,由题意可知：°=3］=4,C=A/77^=5.

4

且焦点在“轴上，对于选项A：双曲线。的渐近线方程为y=±1x,即4x±3y=。，故A错误；

对于选项B：双曲线C的离心率。=£=\设椭圆《+《=1的长轴长为2q,短轴长为纥，焦距2q,则

a3259

）c4_j

4=5,4=3,6=后孑=4,可得椭圆的离心率q='=三，且ey=£Wl,所以双曲线C与椭圆

4。3

22

二+二=1的离心率不互为倒数，故B错误；

259

对于选项C：由双曲线的定义可知：忸耳卜|世|=2忸闾%|=2a=6,可得俨国=2归阊=12,

所以△尸斗鸟的周长为6+12+10=28,故C正确;

对于选项D：若从双曲线C的左、右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为2°=6,

故D正确；故选：CD.

12.ABD

22__

【详解】由椭圆M言+方=1的左右焦点分别为川-"。）、耳（"0）,贝!lc=g=E^，

将行有代入，+/=1,则,+/=1,解得y=±J,则«若,《百，一?'由=贝（I

2—=1,即廿=9,将其代入片-^=3,可得片-5=3,化简可得（2a+3）（a—2）=0,由。＞0,解的

a22

a=2,所以二+y2=i.对于A,当点尸为椭圆的上顶点时，/月尸耳最大，如下图：

4

%

p

*由椭圆〃：；+丁=1,则|PO|=1,|P阊=2,在RtOPB中,ZPOF2=60,

2兀

易知此时/片尸耳=120,所以」月2月的取值范围为0,y,故A正确；

对于B,根据题意可作图如下：

F设=阊=〃，则"?+〃=2a=4,\FtF2\=2c=2y/3,在耳中，根据余

弦定理，则cosN.PF,「。』用，所以COS60°="+"、12,整理可得〃加=:，贝!|

-21尸耳卜|尸引2mn3

SFiPFi=1­|P^I•|Pf；I-sinZf；P^=|mnsin60=弓，故B正确；

对于C,设|尸凰=〃2,怛玛|=〃，贝!h〃+〃=4,忸叫=2c=26,当〃=〃=2时，耳为等腰三角

形，易知此时P的坐标为（0,1）或（0T）,当加=|耳阊时，名为等腰三角形，此时机=26，设

P(%y)，

贝卜4____________,消去y化简可得3/+8瓜-32=0,由A=（8石『一4x3x（-32）=576>0,贝！|

小（无+百）+y2=2^/3

方程有解，故C错误；

对于D,设怛耳|=加，|尸叫=”,贝！）m+〃=4,则=（加+4-4〃?〃=16—，

附「+|尸工『一|耳闾2

在△片「"中，根据余弦定理可得:cosZFPF=

X22•附卜|尸闾

22(m+n)2—2mn—122

m+H-12由选项可知

贝！IcosZFlPF2==--l,化简可得利”=A

2mn2mnmncosZFXPF2+1

贝！/片即

0°<^FXPF2<120°,112cos2—g,/we[1,4],所以16-4/削e[0,12],解得

〃?-“©[-26,2@,故D正确.故选：ABD.

333

【详解】焦点为（3,0）,（—3,0）则c=3,因双曲线的离心率为Q,贝!|e=：r=:=:故”=2,

b=y/c2—a2=小,

22

所以双曲线的标准方程为：―-3=1

45

14.3

|-4x2—2|

【详解】圆心坐标为（0,2）到直线3%-4y-2=0的距离为2=#彳萧=2,所以圆上点到直线距

离的最大值为d+r=2+l=3

15.9

22

【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆,+3=1的焦点分别为点（-1,。）与点（1,。），

22

于是点（T0）与点（1,0）也是双曲线上-匕=1（〃?>0,〃>0）的两个焦点，因此〃2+"=1,最后使用基本不

mn

等式中“1"的代换，^»W-+-=f-+-^（m+«）=-+—+5>2.p^+5=9（当且仅当〃=2m时

mn\mn）mnVmn

14

取等号），因此上+?的最小值为9.故答案为：9

mn

16.11-4A/6

yt

【详解】如图设过A点的切线方程为y=kx-2,所以J[=1，解得k=±6>

所以直线AM的方程为>=石了一2,即石工一y一2=0,令y=2,解得力=手，

A

直线4V的方程为y=-gx-2,即瓜+y+2=0,令y=2,解得.》=_亚，因

"3

为圆8:(%“)2+仃-2)2=/处于圆。的“背面，，，所以aj一竽,孚],

当圆3与圆。外切且圆区与AM(或⑷V)相切时，〃取最大值,

由圆B与圆。外切得1储+4=厂+1，圆B与AM相切时叵二百=厂

,又--—,所以

2I33J

4-产=厂,所以。即/一22r+25=0,解得r=11+4#或r=11一4痣，结合

r_4V3组

aG〔FF

所以厂=11-4C，所以厂的最大值为同理圆8与4V相切时厂的最大值为11一46,

综上可得厂的最大值为故答案为：11-4指

17.(l)4x—y+23=0(2)3x-5y+13=。

【详解】(1)由已知得直线AD〃3C,又怎c=I9~+43=4,，心°=4.:仞边所在直线的方程为：

y-7=4(x+4),

gp4尤一y+23=0

7_i_353

(2)由已知得AC与5。互相垂直平分，又怎。=下三=-,且AC中点为(-1,2),.•.脸=?,

—4—235

...3D所在直线方程为：y—2=((尤+1),即3x_5y+13=0.

18.(l)4x-3y-5=0或x=2(2)4

【详解】(1)由题圆C的方程可化为(x+l?+(y-2)2=9,

|_左_2+1—24

当切线的斜率存在时，设切线方程为y-l=%(x-2),即丘-y+l-2左=0,于是।&+甘匕3,

解得左=],切线方程为4尤-3、-5=。，当切线的斜率不存在时，得切线方程为x=2,

综上，切线方程为x=2或4x-3y—5=0.

（2）把两圆方程相减可得直线DE的方程：尤-2y=0,圆心G（0,0）刚好在直

线DE上，则DE是圆Cz的直径，故|国=4.

19.（1）证明见详解；（2）平;

【详解】（1）底面BCG耳中，已知乙BCG=］，BC=1,GC=2,由余弦定理得

jr_

22

QB=BC-+CjC-2BC-C1C-cos-=5-2xl=3=C©-BC?,所以_L8C,又AB上平面BB^C,

C18u平面84GC,所以AB1G8,又ABBC=B,AB、BCu平面ABC,所以J■平面ABC；

（2）由（1）可知46、BC、GB三直线两两垂直，可以5为原点，建立如图

所示的空间直角坐标系，则

4（0,0,2）、4卜1，62）、E、B,（-1,73,0）,所以

B,E=|,-^,ol5lA=(l,-^,2),B1A=(0,0,2),

3A/3,八

m-BE=0—a--------Z?=0

设平面A片E与平面A瓦E的法向量分别为m=（q,b,c）,"=（x,y,z）,则有x22，及

mBA=0

}a-y/3b+2c=0

2z=0

n-BE=0一

1:35/3八，取〃=1=>万=\/3,c=l,取x=l=>y=J3,z=0即机=(1,6,1),77=。,百,0),

小31A-0—x---y=0

122,

设平面阴£与平面4座的夹角为a'贝"os"局7nM=而4=看2A/5;

20.(l)x2-^-=l(^>l)(2)2477

8

【详解】（1）由题意可知：圆G的圆心G（-3,0）,半径外=3,圆C2的圆心G（3,o）,半径弓=3,

|MCj-3=|MC2|T，C-

由条件可得BP|MC1|-|MC2|-2<|C1C2|,则根据双曲线的定义可知，点/是以

G为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，贝（Ja=l,c=3,可得

b1=c2—a2=8,

2

所以曲线C的方程为了24=1（北1）.

（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为〉=±26%,所以斜率为4的直线与双曲线的右支有两个交

点A,B，/：y=4(x73)，A(再,％),8(尤2，%)

y=4兀-12

2y2得4?-12x+19=0,A>0,玉+%2=12>0,王九2-19>0

x----=1

8

2

IM=Jl+B2kl-x2|=V1+16A/12-4X19=34,

1—12—12124124r~z

G（-3,0）到直线/的距离d=AC1AB=2x>x34=24Vry

22

如%+卧⑶证明见解析

2c=4

a1=16

c22

【详解】（1）依题意可得,解得〃=12,所以椭圆C的方程为土+匕=1.

a2c1612